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Mathematik » Topologie » Häufungspunkt offener Menge im normierten Raum
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Autor
Universität/Hochschule J Häufungspunkt offener Menge im normierten Raum
gere1001
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Dabei seit: 13.09.2016
Mitteilungen: 26
Aus: Österreich
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-02-19

\(\begingroup\)
Hallo,

weiß jemand warum für eine nicht leere offene Menge in
einem normierten Vektorraum, jeder Punkt auch ein Häufungspunkt dieser Menge ist ?

Häufungspunkt haben wir so definiert:
\( a\in V \) ist Häufungspunkt von \(O\subseteq V\)
genau dann, wenn \(\forall \epsilon >0 : \exists x\in O-a \wedge
d(x,a)<\epsilon\), wobei \(V\) den Vektorraum bezeichnet
und \(d\), die durch die Norm induzierte Metrik.

Danke g
\(\endgroup\)


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Triceratops
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Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 3644
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-02-19


Ist es dir denn für den Raum der reellen Zahlen klar?



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gere1001
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 13.09.2016
Mitteilungen: 26
Aus: Österreich
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-19

\(\begingroup\)
Sei \(A \neq\emptyset \in_{offen} \mathbb{R}\), dann gilt
für jedes \(a\in A\) gibt es ein \(r>0\), sodass \((a-r,a+r)\subseteq A\),
da jedes \(x\in (a-r,a+r)\) ein Häufungspunkt von dieser Menge ist und
insbesonders \(a\in (a-r,a+r)\) folgt die Behauptung.

Komm ich jetzt mit Hilfe der Norm auf die allgemeine Aussage ??
danke!
\(\endgroup\)


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TomTom314
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-02-19

\(\begingroup\)
Hallo,

kannst Du dann konkret eine Folge angeben, die a als Häufungspunkt hat? Diese läßt sich dann als Vorlage für den normierten Vektorraum verwenden. Ggf. ist es einfacher \(0\in O\subset V\) anzunehmen.
\(\endgroup\)


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gere1001
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Aus: Österreich
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-19

\(\begingroup\)
Meinst du \(f : \mathbb{N} \to A-a \) mit \(lim f =a\) für eine offene Menge
\(A\subseteq \mathbb{R}\) und \(a\in A\), denn dann würde
ich \(f\) so definieren, dass \(0<d(f(n),a)<\frac{1}{n+1}\) für
alle \(n\in \mathbb{N}\) gilt, weil ja \(a\) ein Häufungspunkt ist.

\(\endgroup\)


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TomTom314
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-02-19

\(\begingroup\)
... dann würde
ich \(f\) so definieren, dass \(0<d(f(n),a)<\frac{1}{n+1}\) für
alle \(n\in \mathbb{N}\) gilt, ...

Kannst Du denn auch ein explizites Beispiel für so eine Folge aufschreiben? Bisher hast Du nur beschrieben, welche Bedingung f erfüllen soll.
\(\endgroup\)


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gere1001
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-19

\(\begingroup\)
Wiso ich würde \(f\) so definieren:
\(\mathbb{N}\to^{H} Pot(A-a)-\emptyset \to^{Aus} A-a\) mit
\(H(n):=\{x\in A-a : d(x,a)<\frac{1}{n+1}\}\) diese kann ich immer
definieren und ist immer nicht leer, weil a ein Häufungspunkt ist und \(Aus\) bezeichnet eine Auswahlfunktion.
\(\endgroup\)


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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-02-19

\(\begingroup\)
Irgendwie ist das alles viel kompliziert, was Du aufschreibst. Was ich von Dir lesen möchte, ist eine ganz konkrete Folge \((a_n)_\IN; a_n:=\ldots\), für die z.B. gilt \((a_n)_\IN\subset (-1,1)\backslash\{0\}\) und 0 ist Häufungspunkt dieser Folge.
\(\endgroup\)


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gere1001
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-19

\(\begingroup\)
Okay, sorry, als zum Beispiel die Folge \(a_n:= \frac{1}{n+2}\) für diese
gilt \((a_n)\subseteq (-1,1)-0\) und lim \( a_n = 0\).
\(\endgroup\)


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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-02-19

\(\begingroup\)
Das war Schritt 0 :). \(a_n=1/n\) ist die Mutter aller konvergenten Folgen.

Damit kannst(solltest) Du nun zeigen, dass jeder Punkt einer offenen Menge \(A\subset \IR\) auch Häufungspunkt ist. Dieser Beweis läßt sich dann modifizieren, s.d. Du Dein Ausgangsproblem beweisen kannst.

\(\endgroup\)


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gere1001
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-19

\(\begingroup\)
ja okay wie ich oben geschrieben habe ist \(a\in A\) Häufungspunkt von
\(A\) offen in \(\mathbb{R}\), wenn \(a\in (a-r,a+r)\) auch Häufungspunkt
dieser Menge ist, für ein \(r>0\).

Dann definiere ich \(f\) wie folgt:
\(f:\mathbb{N}\to (-1,1)-0\to (-r,r)-0\to(-r+a,r+a)-a\)
\(f(n):=\frac{r}{n+2}+a\) und lim\(f=a\) somit ist \(a\) Häufungspunkt von
\(A\).
Passt soweit?
 
\(\endgroup\)


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gere1001
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-19

\(\begingroup\)
Vielleicht hab ich es jetzt:

Sei also \(A\neq \emptyset\subseteq_{offen} V\), dann gibt es für jedes \(a\in A\)
ein \(r>0\) und \(U_r(a)\subseteq A\), nun reicht es zu zeigen, dass
\(0\in U_r(0)\) ein Häufungspunkt von \(U_r(0)\) ist, d.h.
es sollte ein \(g: \mathbb{N}\to U_r(0)-0\) mit lim \(g=0\) geben.

Weil \(U_r(0)\) offen ist kann diese Menge nicht nur aus \(\{0\}\) bestehen, also gibts ein \(m\in U_r(0)-0\).

Dann ist die Folge \(h: \mathbb{N}\to U_r(0)-0\), mit
\(h(n)= \frac{1}{n+1}m\) wohldefiniert und weil
lim\(\|h\|=0 \leftrightarrow\) lim \(h=0\) ist \(0\) ein Häufungspunkt
von \(U_r(0)\) und in weiterer folge a ein Häufungspunkt von \(U_r(a)\)
und daher einer von A.

Kann das jemand bestätigen?
\(\endgroup\)


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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2018-02-19

\(\begingroup\)
Das kling soweit ganz gut. Was Du im Beitrag #2 geschrieben hast, wird mit #10 bewiesen.

Bei #11 fehlt mir noch ein Argument für \(h(n)\in U_r(0)\) und auch dafür, dass es reich nur den Fall \(0\in U_r(0)\) zu beweisen.

Vielleicht hab ich es jetzt:
...
Kann das jemand bestätigen?
Dazu habe ich noch ein paar allgemeine Hinweise. Ein Beweis ist erst dann fertig, wenn Du davon überzeugt bist, dass er richtig und vollständig ist. Hier geht es dann auch um die Formulierung des Beweises. In den ersten Semestern wirst Du dazu gedrängt alle Beweis ganz streng auszuformulieren und später wird man dann etwas nachlässiger. Letzeres darfst Du Dir erst erlauben, wenn Du diese Lücken im Schlaf füllen kannst.

Vielleicht haben wir auch etwas aneinander vorbei geredet. Ich hatte aber den Eindruck, dass Du nicht ganz verstanden hast, was Du schreibst. Das hat mich geradezu herausgefordert noch ein weing nach zu bohren
\(\endgroup\)


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gere1001
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-19

\(\begingroup\)
Also zuerst mal:

Wenn \(m\in U_r(0)\), dann ist \(\|m\|<r\) und da
\(\frac{1}{n+1}\leq 1\) folgt daraus \(\frac{\|m\|}{n+1}\leq \|m\|<r \),
 weil \(\|m\|>0\), somit also \(h(n)\in U_r(0)-0\) für alle \(n\).

Weiters ist die Funktion \(f:U_r(0)\to U_r(a)\), mit \(f(x):=x+a\)
wohldefiniert und isometrisch.
Daher gilt \(lim f\circ h= f(lim\ h)=f(0)=a\).

Nur eine Sache bereitet mir noch Kopfschmerzen was ist mit dem Fall
wo der normierte Raum \(V=\{0\}\) ist mit der Nullfunktion als Norm,
denn in diesem ist ja \(\{0\}\) offen aber \(0\) ist ja kein Häufungspunkt von \(\{0\}\), daher ein Gegenbeispiel zum Satz. Also muss der Fall
\(V=\{0\}\) ausgeschlossen werden.

P.S. Danke für die Tipps. Ja ich weiß ich bin mir immer sehr unsicher..
ich studier auch nicht Mathematik deshalb fehlt mir da die Erfahrung..
\(\endgroup\)


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TomTom314
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2018-02-19

\(\begingroup\)
Das ist alles richtig.

Also muss der Fall \(V=\{0\}\) ausgeschlossen werden.

Hier fällt mir mein eigener Hinweis schmerzhaft auf die eigenen Füße. Bei meinen groben Überlegungen ist mir der Fall \(V=\{0\}\) entgangen, der natürlich ausgeschlossen werden muß.

 P.S. Danke für die Tipps. Ja ich weiß ich bin mir immer sehr unsicher..
ich studier auch nicht Mathematik deshalb fehlt mir da die Erfahrung.

Dafür hast Du ja dieses Forum, wo du pedantische Nachfragen und Hilfe zur Selbsthilfe bekommst. smile
\(\endgroup\)


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gere1001
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-20


Freut mich - vielen Dank für deine Hilfe  smile
Und ja dieses Forum ist wirklich zu schätzen.




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ASchop
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2018-05-18


Zum Beweis in Beitrag Nr.13: Natürlich ist U_r (0) nicht leer, da 0 element U_r (0). Doch dass auch ein m element U_r (0) mit ||m||>0 existiert, ist nicht ganz klar. Dies zu zeigen ist aber nicht sehr schwer: man benutze die Eigenschaften einer Norm.(Hierbei sei V nicht der Nullraum)



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2018-05-18


Hi gere1001,
ein Punkt einer Menge, der kein Häufungspunkt ist, ist ein isolierter Punkt der Menge.
Offensichtlich können offene Mengen für V ≠ {0} keine isolierten Punkte haben, daraus folgt die Behauptung.
Gruß Buri



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gere1001 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
gere1001 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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