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Moderiert von Wally haerter
Gewöhnliche DGL » Systeme von DGL » Umstellen eines DGLsystems
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Universität/Hochschule J Umstellen eines DGLsystems
gumpi91
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 06.01.2016
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-02-19

\(\begingroup\)
Zwei-komponentige Reaktions-Diffusionssystemem können mit folgendem System gewöhnlicher Differentialgleichungen ($c$ ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit, Details lasse ich weg) beschrieben werden:
$\frac{\textrm{d}^2u}{\textrm{d}z^2}+c\frac{\textrm{d}u}{\textrm{d}z}+f(u,v)=0,$
$\kappa\frac{\textrm{d}^2v}{\textrm{d}z^2}+c\frac{\textrm{d}v}{\textrm{d}z}+g(u,v)=0,$

mit $z=x-ct$ als \textit{moving frame} und $f(u,v)$ und $g(u,v)$ als Reaktionsterme.
Ich habe hier noch Probleme, die genaue Bedeutung der Ableitungen hierbei zu verstehen.
Wenn $u$ und $v$ die Wellenprofile im bewegenden Koordinatensystem beschreiben, was sagen dann die erste und die zweite Ableitung in diesem Falle? Ich würde denken, die erste sagt etwas aus, wie scharf das Wellenprofil ist. Und die zweite? Und weiß zufälligerweise jemand, woher das $\kappa$ kommt?

Ist es zulässig, die beiden Gleichungen jetzt gleichzusetzen? Sollte ja kein Problem sein.
Damit hätte ich dann einen Ausdruck für die Geschwindigkeit

$c=\frac{\kappa\frac{\textrm{d}^2v}{\textrm{d}z^2}+g(u,v)-\frac{\textrm{d}^2u}{\textrm{d}z^2}-f(u,v)}{\frac{\textrm{d}u}{\textrm{d}z}-\frac{\textrm{d}v}{\textrm{d}z}}.$

Ist das korrekt?

Dann weiß ich ja zumindest, dass für $c=0$ die "Schärfe" des Wellenprofils irrelevant ist. Zumindest für den Fall, dass die ersten Ableitungen dies aussagen. Ist das richtig?

Hier gibt es dann allerdings keine Möglichkeit weiterzurechnen, richtig?
Ich könnte natürlich noch umstellen und
$\kappa\frac{\textrm{d}^2v}{\textrm{d}z^2}-\frac{\textrm{d}^2u}{\textrm{d}z^2}=f(u,v)-g(u,v)$
erhalten. Aber habe ich hierdurch irgendetwas gewonnen? Kann ich daraus irgendeine Aussage gewinnen?

Ich hoffe, das war nicht zu verwirrend. Irgendwie habe ich das Gefühl, ich sehe gerade den Wald vor lauter Bäumen nicht.

Auch Antworten zu Teilen würden mir schon helfen...
\(\endgroup\)


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haerter
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Aus: Bochum
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-02-20


Hallo,

ich versuche mal, ein wenig Licht in das Durcheinander zu bringen.

Deine DGL sind sehr wahrscheinlich aus einem System partieller DGL

<math>U_t= \dfrac{\partial^2 U}{\partial x^2}+f(U,V)</math>

<math>V_t = \kappa\dfrac{\partial^2 V}{\partial x^2}+g(U,V)</math>

mit dem Ansatz <math>U(t,x)=u(x-ct)=u(z)</math>, <math>V(t,x)=v(x-ct)=v(z)</math> entstanden.
Daher ist <math>\kappa</math> ein Maß dafür, wie sich die Diffusionskoeffizienten
der beiden Spezies <math>U</math> und <math>V</math> unterscheiden, wobei der Diffusionskoeffizient
von <math>U</math> auf 1 normiert wurde.

Nun sind <math>u</math> und <math>v</math> die Wellenprofile der beiden Komponenten, d.h. <math>u'</math> ist
im wesentlichen die Steigung der <math>u</math>-Komponente und <math>u''</math> ihre Krümmung, analog für <math>v'</math> und <math>v''</math>.

Die beiden Gleichungen gleichzusetzen und nach <math>c</math> aufzulösen, ist formal
möglich, hilft aus meiner Sicht hier aber nicht viel weiter.
Beim Gleichsetzen geht ja auch Information verloren.

Was man üblicherweise jetzt sucht, sind spezielle Lösungen Deines Systems
für alle oder für spezielle Werte von <math>c</math> (es kann sein, dass es nur für
manche <math>c</math> bestimmte Lösungen gibt), zum Beispiel Lösungen, die für <math>z\to\pm\infty</math>
gegen eine Ruhelage konvergieren oder periodische Lösungen.
Das kommt dann aber auf die Form von <math>f</math> und <math>g</math> an, im allgemeinen wird man da
keine Aussagen treffen können.

Viele Grüße,
haerter


-----------------
"The best way to have a good idea is to have lots of ideas."
 - Linus Pauling



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gumpi91
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-20

\(\begingroup\)
Danke, das hat mir sehr geholfen. Die Information, woher das $\kappa$ kommt hat mir gefehlt.
\(\endgroup\)


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