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Moderiert von Spock Berufspenner
Dynamik im Festkörper » Thermische Eigenschaften » Elektronischer Beitrag zur spezifischen Wärme (klassisch)
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Autor
Universität/Hochschule J Elektronischer Beitrag zur spezifischen Wärme (klassisch)
Physiker123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-02-20

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Hallo zusammen,
ich beschäftige mich gerade mit dem Modell des freien Elektronengases. Ich möchte einen Ausdruck für die spezifische (auf das Volumen bezogene) Wärmekapazität bei konstantem Volumen herleiten.

Nach dem klassischen Gleichverteilungsatz beträgt die Energie jedes Freiheitsgrads (der quadratisch eingeht) im Mittel:

\[\frac{1}{2}k_B T\]
Bei \(N\) freien Elektronen würde ich daher eine spezifische Wärme von:

\[c_V=\frac{C_V}{V}=\frac{1}{V}\frac{\partial\langle U\rangle }{\partial T}\bigg|_V=\frac{3}{2} n k_B\]
erwarten. Wie bei einem klassischen Teilchengas. Im Marx Seite 274 (Festkörperphysik) lese ich jedoch:

\[c_V=2\cdot N\cdot 3\cdot \frac{1}{2}\cdot k_B=3Nk_B\]
Der Faktor \(2\) soll dabei die Spin- Entartung berücksichtigen. Das kann doch nicht richtig sein oder? Da die Wärmekapazität auf das Volumen bezogen wird sollte statt der Teilchenzahl die entsprechende Dichte auftauchen. Außerdem kennt man in der klassischen Physik gar keinen Spin.

Was sagt ihr dazu?

Grüße Florian


\(\endgroup\)


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Berufspenner
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-02-22

\(\begingroup\)
Moin


In der Tat ist die Betrachtung des Spins im klassischen Bild sehr irreführend und an der Stelle des Buches vielleicht auch als falsch zu erachten, wenn man auf die historische Entwicklung Bezug nehmen will. Abgesehen davon, dass das Drude Modell, woraus der Wert abgeleitet wird, eh voll daneben greift, hätten es die Autoren hier vielleicht wirklich etwas klarer differenzieren müssen. Zumindest konnte ich keine vergleichbare Argumentation in anderen Quellen finden. Stattdessen wird direkt die Herleitung nach der Sommerfeld Ergänzung unter Berücksichtigung der Fermi-Dirac Verteilung durchgeführt. Man müsste sich also vielleicht einmal historische Quellen anschauen, wie die Annahme und Herleitung der Wärmekapazität nach dem Drude Modell vorgenommen wurde.

2018-02-20 18:11 - Physiker123 im Themenstart schreibt:
Wie bei einem klassischen Teilchengas.
Wenn du den Vergleich mit einem klassichen Teilchengas ziehst, dann könntest du unter Berücksichtigung von kinetischer und potentieller Energie allerdings doch auf den Wert \(c_V = 3Nk_B\) kommen (siehe hier).


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Kornkreis
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-02-22

\(\begingroup\)
@Berufspenner: In einem idealen Gas gibt es doch keine potentielle Energie und man hat $c_V=\frac{3}{2}Nk_B.$ Außerdem, wie sollte die Wechselwirkung der Elektronen aufgrund ihrer Spins beschaffen sein, dass dann für $c_V$ gerade das doppelte rauskommt? Magnetische Phänomene seien mal außen vor gelassen und wären ja auch komplizierter zu behandeln.

Mich beschleicht der Verdacht, dass in dem Buch mit "Berücksichtigen wir noch die Spin-Entartung" einfach die doppelte Anzahl an Elektronen reingemogelt wurde (also $2N$ statt $N$ Elektronen), auch weil sich so die Gleichung schöner mit einem späteren Resultat (Gl. 7.2.10, falls du das Buch zur Hand hast) vergleichen lässt. Ich wäre aber auch erfreut, wenn jemandem noch eine plausible Erklärung einfällt wink In sonstigen Büchern oder Skripten ist mir so eine Ungeheuerlichkeit wie dieser eingeschobene Faktor 2 jedenfalls auch noch nie untergekommen biggrin
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Berufspenner
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-02-23


2018-02-22 23:42 - Kornkreis in Beitrag No. 2 schreibt:
@Berufspenner: In einem idealen Gas gibt es doch keine potentielle Energie und man hat <math>c_V=\frac{3}{2}Nk_B.</math> Außerdem, wie sollte die Wechselwirkung der Elektronen aufgrund ihrer Spins beschaffen sein, dass dann für <math>c_V</math> gerade das doppelte rauskommt? Magnetische Phänomene seien mal außen vor gelassen und wären ja auch komplizierter zu behandeln.
Du hast recht, in einem idealen Gas bzw. hier im (wechselwirkungs)freien Elektronengas ist die Annahme einer potentiellen Energie wirklich sinnlos... Ich finde die Textstelle eben auch etwas seltsam, weil die historische Ableitung der Wärmekapazität aus dem Drude-Modell keine quantenmechanischen Aspekte der Elektronen Berücksichtigt und an der Stelle altes und "modernes" vermischt werden.


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