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Mathematik » Geometrie » Normale einer Ebene
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Universität/Hochschule Normale einer Ebene
loop_
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 05.12.2012
Mitteilungen: 767
Aus: Köln, Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-02-20

\(\begingroup\)
Schönen guten Abend MMPler,

ich habe eine Frage zur Bestimmung des Normalenvektors einer Ebene. Betrachte ich z.B. einer Ebene



so kann ich hier für diesen Winkel die Normale schnell angeben mit \((1,1,1)^T\). Gibt es eine Formel um diese Normale auch in Abhängigkeit dreier verschiedener Winkel (bezüglich der Koordinatenachse) zu bestimmen?

Lg
\(\endgroup\)


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lula
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 17.12.2007
Mitteilungen: 10774
Aus: Sankt Augustin NRW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-02-20


Hallo
 Kreuzprodukt von 2 Vektoren in der Ebene.
bis dann, lula


-----------------
Mein Leben ist zwar recht teuer,  aber dafür bekomm ich jedes Jahr umsonst eine Reise einmal um die Sonne



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loop_
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 05.12.2012
Mitteilungen: 767
Aus: Köln, Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-21


Hey Lula,

daran habe ich auch schon gedacht. Dafür müsste ich aber erstmal die Ebenengleichung konkret aufstellen bzw. zwei Vektoren bestimmen und überprüfen ob diese auf der Ebene sind.

Würde es auch gehen ohne konkret die Ebenengleichung aufzustellen?



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Kitaktus
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 5374
Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-02-21


Betrachtet man ein Dreieck aus zwei Achsenschnittpunkten und dem Ursprung, so ist das Verhältnis der Achsenabschnittslängen gleich dem Verhältnis der Sinuswerte der jeweils gegenüberliegenden Winkel.

Sind genügend viele dieser Winkel (bzw. vier "passende" Winkel) bekannt, dann kann man daraus das Verhältnis der Achsenabschnittslängen berechnen. Die Einträge im Normalenvektor sind umgekehrt proportional zu diesen Längen.



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loop_
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 05.12.2012
Mitteilungen: 767
Aus: Köln, Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-21

\(\begingroup\)
Demnach würde ich in dem Fall auf
\((\cos \alpha_1, \cos \alpha_2, \cos \alpha_3)\)
kommen. Sieht mir nicht so gut aus :D
\(\endgroup\)


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Kitaktus
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 5374
Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-02-22

\(\begingroup\)
Was sind denn $\alpha_1, \alpha_2$ und $\alpha_3$?

Kleine Korrektur: Es reicht die Kenntnis von zwei Winkeln, da sich der jeweils andere Winkel aus der Innenwinkelsumme des passenden rechtwinkligen Dreiecks berechnen lässt.
Alternativ kann man die Verhältnisse der Achsenabschnitte auch mit dem Tangens bzw. Cotangens eines geeigneten Winkels ausdrücken.
\(\endgroup\)


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DerEinfaeltige
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.02.2015
Mitteilungen: 1502
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-02-22

\(\begingroup\)
Annahme:

$\alpha$ sei der Winkel mit der $x$-Achse in der $xy$-Ebene.
$\beta$ sei der Winkel mit der $x$-Achse in der $xz$-Ebene.

Damit erhalten wir zwei Richtungsvektoren
$(1,\tan(\alpha),0)^T$
$(1,0,\tan(\beta))^T$

Und als Normalenvektor erhalten wir damit
$(\tan(\alpha)\cdot\tan(\beta),-\tan(\beta),-\tan(\alpha))^T$

Edit: Dummen Fehler korrigiert


-----------------
Why waste time learning when ignorance is instantaneous?
- Bill Watterson -
\(\endgroup\)


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Kitaktus
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Mitteilungen: 5374
Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-02-22

\(\begingroup\)
@DerEinfaeltige: Die Lösung kann nicht stimmen, da sie im Fall gleichlanger Achsenabschnitte (alle Winkel sind 45°) nicht auf den Vektor (1; 1; 1) (oder ein Vielfaches davon) führt.

Hier kommen m.E.n. zwei Probleme/Fehler zusammen.
Das eine Problem liegt bei den Vorzeichen. Entweder ist eines der Vorzeichen echt falsch, oder Du verwendest eine andere Definition der Winkel.

Als zweites stehen die Achsenabschnitte bei Dir scheinbar im Verhältnis $1:sin(...)$.
Richtig wäre aber $sin(...) : sin(...)$, was man noch kompakter ausdrücken kann, da die beiden Winkel zusammen 90° ergeben.

Ein fertiges Ergebnis habe ich bewusst nicht aufgeschrieben.
\(\endgroup\)


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DerEinfaeltige
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.02.2015
Mitteilungen: 1502
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-02-22

\(\begingroup\)
Ja, das Ergebnis ist offensichtlich falsch und statt $\sin$ muss es natürlich $\tan$ heißen.


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loop_
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-23

\(\begingroup\)
Danke für sehr guten und schnellen Antworten.

2018-02-22 09:38 - DerEinfaeltige in Beitrag No. 6 schreibt:
Annahme:

$\alpha$ sei der Winkel mit der $x$-Achse in der $xy$-Ebene.
$\beta$ sei der Winkel mit der $x$-Achse in der $xz$-Ebene.

Damit erhalten wir zwei Richtungsvektoren
$(1,\tan(\alpha),0)^T$
$(1,0,\tan(\beta))^T$

Und als Normalenvektor erhalten wir damit
$(\tan(\alpha)\cdot\tan(\beta),-\tan(\beta),-\tan(\alpha))^T$

Edit: Dummen Fehler korrigiert

Sollte es nicht eher $(\tan(\alpha)\cdot\tan(\beta),\tan(\beta),\tan(\alpha))^T$ sein? Damit würde man auch auf den gewünschten Normalenvektor im Startthread kommen. Ich muss mich auch für die eher unsaubere Antwort und Definition meinerseits entschuldigen.
\(\endgroup\)


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DerEinfaeltige
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.02.2015
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2018-02-23

\(\begingroup\)
2018-02-23 00:20 - loop_ in Beitrag No. 9 schreibt:

Sollte es nicht eher $(\tan(\alpha)\cdot\tan(\beta),\tan(\beta),\tan(\alpha))^T$ sein? Damit würde man auch auf den gewünschten Normalenvektor im Startthread kommen. Ich muss mich auch für die eher unsaubere Antwort und Definition meinerseits entschuldigen.

Ob die Winkel 45° oder -45° betragen hängt vom Betrachter ab.
Da müsste man vorher genau klären, wie es zu lesen ist.


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Kitaktus
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2018-02-27

\(\begingroup\)
2018-02-23 00:20 - loop_ in Beitrag No. 9 schreibt:
Sollte es nicht eher $(\tan(\alpha)\cdot\tan(\beta),\tan(\beta),\tan(\alpha))^T$ sein? Damit würde man auch auf den gewünschten Normalenvektor im Startthread kommen.

Das hatte ich ja schon in Beitrag #7 geschrieben.
\(\endgroup\)


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