Die Mathe-Redaktion - 18.06.2018 11:20 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
ListenpunktSchwätz / Top 15
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktAnmeldung MPCT Juli
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 706 Gäste und 26 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Folgen und Reihen » Komplexer Logarithmus als Potenzreihe darstellbar
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Komplexer Logarithmus als Potenzreihe darstellbar
radler223
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 01.07.2017
Mitteilungen: 9
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-02-21

\(\begingroup\)
Hallo zusammen,

ich hab hier grad folgende Aufgabe:

Es bezeichne ln der Hauptzweig des komplexen Logarithmus. Zeigen Sie, dass ln lokal in einer Potenzreihe entwickelt werden kann, d.h. zu jedem a \(\in\mathbb{C^-}\) gibt es eine Umgebung U von a und Koeffizienten \(c_n \in \mathbb{C}\) mit
\(
     ln(z) = \sum c_n(z-a)^n
\)
für alle \(z \in \mathbb{C}\).
In welchen Fällen liegt der Konvergenzbereich der Reihe nicht ganz in \(\mathbb{C^-}\)?

Soweit die Aufgabe. Wir haben in einer früheren Aufgabe bereits nachgerechnet, dass der ln auf der geschlitzten Ebene holomorph ist. Daher war jetzt meine Idee, die restlichen Bedinungen des Entwicklungssatzes von Cauchy-Taylor zu prüfen. Diese sind mMn erfüllt, sodass ich dann den ln als Potenzreihe entwickeln kann.

In der Musterlösung wird allerdings eine konkrete Potenzreihe angegeben, was aber in der Aufgabe mMn nicht konkret gefordert ist.

Passt da meine Idee auch oder habe ich irgendwo einen Denkfehler drin?

Danke schonmal
Radler 223
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
TomTom314
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.05.2017
Mitteilungen: 736
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-02-21

\(\begingroup\)
Hallo radler223,

im Prinzip ist die Richtung schon ganz OK. Eventuell habt Ihr schon das allgemeine Ergebnis:

holomorph => analytisch(in Potenzreihe entwickelbar).

Dann mußt Du hier nicht nochmal die Bedingungen nachrechnen. Für
In welchen Fällen liegt der Konvergenzbereich der Reihe nicht ganz in \(\mathbb{C^-}\)?
wird aber schon die konkrete Potenzreihe benötig, da Dir wahrscheinlich noch keine weiteren (abstrakten) Argumente zur Verfügung stehen, um etwas über den Konvergenzradius auszusagen.
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
radler223
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 01.07.2017
Mitteilungen: 9
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-21


Hallo TomTom314,

danke dir für deine schnelle Antwort :) Ja, für den zweiten Teil der Frage benötige ich dann wohl tatsächlich die konkrete Potenzreihe. Die Äquivalenz haben wir zum Ende der VL auf jeden Fall erhalten, ob wir die zum Zeitpunkt der Übung schon hatten, weiß ich nicht genau. Wollt mich nur nochmal versichern, ob das mit dem Entwicklungssatz von Cauchy-Taylor nicht auch einfacher geht.

Danke dir.

Radler223



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
TomTom314
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.05.2017
Mitteilungen: 736
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-02-21

\(\begingroup\)
Mir ist noch aufgefallen, das der Entwicklungssatz einen Zusatz über den Konvergenzradius hat, d.h. wenn eine auf einer Kreisscheibe \(B_r(0)\) holomorphen Funktion in 0 in eine Potenzreihe entwickelt wird, dann hat die Potenzreihe mindestens den Konvergenzradius r.

Wegen "\(Ln(0)=\infty\)" gilt dann, dass die Reihe \(\sum c_n(z-a)^n\) den Konvergenzradius \(|a|\) hat. Damit läßt sich die Aufgabe auch ganz ohne rechen lösen.
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2018 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]