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Mathematik » Schulmathematik » Beweisübung Teil III (Legendre I)
Thema eröffnet 2018-02-22 09:34 von
Bekell
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Seite 7   [1 2 3 4 5 6 7]   7 Seiten
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Schule Beweisübung Teil III (Legendre I)
Primentus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.240, eingetragen 2018-03-23


2018-03-23 18:03 - Bekell in Beitrag No. 238 schreibt:
Insgesamt brauchen wir für Legendre aber mehr. Ich denke an eine Kombination der KPT-Folge mit einer der größten unterwurzligen Teiler ist notwendig, ich seh nur noch nicht, wie. In den größten unterwurzligen Teilern (guT) sind die subquadratischen Faktorsymmetrien versteckt, die in jedes interq. Intervall hineingehören.  

Da bin ich leider wieder an einem Punkt, wo ich nicht mehr verstehe was Du meinst - z. B. was diese Kombination darstellen soll und was eine subquadratische Faktorsymmetrie sein soll.

2018-03-23 18:03 - Bekell in Beitrag No. 238 schreibt:
Ich hab noch soviel Ideen, was abgetastet werden kann, nur ich hab die zeit nicht... jetzt muß ich auch noch 3 Wochen nach Amerika Rumurlauben, und hab überhaupt keine Lust und auch keinen Laptop, womit ich dort was machen könnte.

Oh, drei Wochen lang ganz ohne einen Rechner? Na da werde ich Dich auf jeden Fall vermissen als Initiator dieses Threads. Dann bekommen wir ja längere Zeit gar keine Rückmeldung mehr von Dir. Aber ich gönne Dir den Urlaub - ein bisschen entspannen muss auch mal sein!

2018-03-23 18:03 - Bekell in Beitrag No. 238 schreibt:
Nochmal einen grundsätzliche Frage: Ich gehe davon aus, daß zu allen Deinen Mustern auch Realisationen in der Zahlenwelt existieren. Es gibt kein Muster, welches nicht auch wirklich existiert.

Also wenn Du mit Muster die Belegungen meinst wie z. B. 3,5,11,3 usw., dann ja - es existiert zu allen solchen Mustern eine Realisation in der Zahlenwelt, sprich eine Startzahl, weil diese sich ja stets mit dem chinesischen Restsatz berechnen lässt. Genauer gesagt gibt es aber zu jedem Muster sogar unendlich viele solche Startzahlen. Insofern gibt es also kein Muster, das in Wirklichkeit gar nicht existiert.

LG Primentus



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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.241, eingetragen 2018-03-23


2018-03-23 18:52 - Primentus in Beitrag No. 240 schreibt:

2018-03-23 18:03 - Bekell in Beitrag No. 238 schreibt:
Ich hab noch soviel Ideen, was abgetastet werden kann, nur ich hab die zeit nicht... jetzt muß ich auch noch 3 Wochen nach Amerika Rumurlauben, und hab überhaupt keine Lust und auch keinen Laptop, womit ich dort was machen könnte.

Oh, drei Wochen lang ganz ohne einen Rechner? Na da werde ich Dich auf jeden Fall vermissen als Initiator dieses Threads. Dann bekommen wir ja längere Zeit gar keine Rückmeldung mehr von Dir. Aber ich gönne Dir den Urlaub - ein bisschen entspannen muss auch mal sein!

rum-urlaub klingt irgendwie mehr nach kuba?

muss man sich jetzt hier abmelden? ich mach auch paar wochen rechnerpause, höchstens mal bischen mitlesen auf som smarten dingens... frohe ostern allerseits
haribo



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Primentus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.242, eingetragen 2018-03-23


2018-03-23 20:11 - haribo in Beitrag No. 241 schreibt:
muss man sich jetzt hier abmelden? ich mach auch paar wochen rechnerpause, höchstens mal bischen mitlesen auf som smarten dingens... frohe ostern allerseits
haribo

Hallo haribo,

natürlich muss man sich nicht explizit "abmelden", wenn man mal für einige Zeit nicht hier ist. Ist ja jedem seine Sache, wann und wie oft er/sie hier online ist. Bin nur bisschen überrascht momentan, weil das Thema doch gut an Fahrt aufgenommen hat und programmiertechnisch sehr interessant geworden ist, aber andererseits haben wir jetzt eh schon vieles "durchgekaut".

Bekells Themen sind auch meist sehr zeitintensiv, aber obwohl ich mich anfangs zurückhalten wollte, hab ich mich doch wieder packen lassen von dem Legendre-Thema. Wir hatten das aber eben auch letztes Jahr schon sehr ausführlich, aber durch die neuerlichen Threads sind jetzt doch nochmal einige neue Erkenntnisse dazu gekommen, was mich sehr freut.

Aber gut, wenn Du erstmal Pause machst, dann wünsche ich Dir eine schöne Zeit und schon mal frohe Ostern! smile

LG Primentus



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Bekell
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.243, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-23


2018-03-23 20:43 - Primentus in Beitrag No. 242 schreibt:
Bin nur bisschen überrascht momentan, weil das Thema doch gut an Fahrt aufgenommen hat und programmiertechnisch sehr interessant geworden ist, aber andererseits haben wir jetzt eh schon vieles "durchgekaut".

... also ich wollte den Thread jetzt nicht hier abbrechen, finde es grade äußerst spannend, und finde es deshalb superdoof, daß ich Dienstag los muß..... Obwohl ich wegen der großen Zahlen nicht mitprogrammiert habe, - mit Python bin ich noch nicht so weit, wie mit C++ - habe ich alle mitgelesen und weiß auch genau, wo wir stehen, und welche Fragen offen sind...... ich halte auch den Kompass immer auf das Grundproblem gerichtet, wenn man sich manchmal in den ach so interessanten Nebenproblemen zu verirren droht...

2018-03-23 20:43 - Primentus in Beitrag No. 242 schreibt:
Bekells Themen sind auch meist sehr zeitintensiv, aber obwohl ich mich anfangs zurückhalten wollte, hab ich mich doch wieder packen lassen von dem Legendre-Thema.

Dafür sei Dir mein Dank versichert, und Weird auch, der gerade an seinem PZ-Algorithmus bastelt...

2018-03-23 20:43 - Primentus in Beitrag No. 242 schreibt:
Wir hatten das aber eben auch letztes Jahr schon sehr ausführlich, aber durch die neuerlichen Threads sind jetzt doch nochmal einige neue Erkenntnisse dazu gekommen, was mich sehr freut.

Also, wir haben heute eine ganz andre Ebene erreicht, als vor einem Jahr. Wir haben eine Möglichkeit erkannt, den Beweis für ein ganz spezielles n zu generalisieren auf alle n, auch wenn diese letzten Endes bislang nicht geglückt ist. Selbst hab ich noch ne ganze Menge Ideen im Kopf, wobei ich glaube, daß eine gewisse mathematische Blödheit auch von Vorteil sein kann. Obwohl Cyrix mich einen "ganz normalen Fermatist" schimpfte, will ich doch mit dem Optimismus eines Amateurs noch weitermachen.

Auf jeden Fall wissen wir noch nicht genug über die Null- und einlöchrigen KPT-Folgen. Ich sehe zwar, daß es 0-löchrige Folgen gibt, aber verstehen, warum es sie geben kann, tu ich immer noch nicht. Ich müßte mal zwei analysieren.

Und eine Sache möchte ich noch festgehalten wissen: Man kommt in so einer Minigruppe schneller vorwärts! Eine Sache ist in diesem Forum besonders gut, im Gegensatz z. B. zu meinem C++ Forum. Man bekommt hier Antworten! Im C++Forum herrscht so ein pädagogischer Impetus, die wollen einen immer "zur Lösung hinführen", statt schnell zu sagen, was gefragt ist. Das führt dann dazu, daß ich in der Regel die Sache alleine schneller gelöst habe, als es mit dem Forum. Das ist hier Gott sei Dank anders.

Gute Nacht Euch allen!


-----------------
Das Schwierige ist nicht die Mathematik. Schwierig ist es zu formulieren, daß man selber versteht, was man sieht und die anderen auch!



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Primentus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.244, eingetragen 2018-03-24

\(\begingroup\)
2018-03-23 22:19 - Bekell in Beitrag No. 243 schreibt:
... also ich wollte den Thread jetzt nicht hier abbrechen, finde es grade äußerst spannend, und finde es deshalb superdoof, daß ich Dienstag los muß

Ja, natürlich können wir hier noch weiterschreiben. Vielleicht gibt es noch weitere neue Ideen oder Erkenntnisse oder sonstiges Wissenswertes.

2018-03-23 22:19 - Bekell in Beitrag No. 243 schreibt:
2018-03-23 20:43 - Primentus in Beitrag No. 242 schreibt:
Bekells Themen sind auch meist sehr zeitintensiv, aber obwohl ich mich anfangs zurückhalten wollte, hab ich mich doch wieder packen lassen von dem Legendre-Thema.
Dafür sei Dir mein Dank versichert, und Weird auch, der gerade an seinem PZ-Algorithmus bastelt...

Nichts zu danken. Macht ja auf jeden Fall auch Spaß, sich den Primzahlen von unterschiedlichster Seite her zu nähern und etwas über sie herauszufinden.

2018-03-23 22:19 - Bekell in Beitrag No. 243 schreibt:
Auf jeden Fall wissen wir noch nicht genug über die Null- und einlöchrigen KPT-Folgen. Ich sehe zwar, daß es 0-löchrige Folgen gibt, aber verstehen, warum es sie geben kann, tu ich immer noch nicht. Ich müßte mal zwei analysieren.

Ja, noch wissen wir nicht alles über 1-löchrige und 0-löchrige Belegungen, d. h. da kann man sicherlich noch etwas herausfinden. Ich denke, Du hast Dich halt von Haus aus zu sehr auf die "Zentralanordungen" wie Du sie nennst, konzentriert. Teilweise zeigt es sich aber, dass ganz andere Belegungen zu Maximalabdeckungen führen. Das ist einfach das grundsätzliche Problem, wenn man sich nur bestimmte Zahlenbeispiele rauspickt und man dann denkt, dass die Beobachtungen, die man dabei macht, allgemeingültig sind. Aber es ist eben nicht so leicht, Gesetzmäßigkeiten zu finden, die auf alle $n$ anwendbar sind. Das sieht man ja auch schon an dem Bildungsgesetz, das ich für die Fallnummern suche. Dabei stellt man zwar einen Zusammenhang zu den chinesischen Resten fest, aber welche Fall-Nummerierungen zu Maximalbelegungen führen, ist doch bei jedem $n$ ein bisschen anders, so dass es schwierig ist, ein allgemeingültiges Gesetz dafür zu finden. Aber noch habe ich da nicht ganz aufgegeben.

Ich gebe aber schon zu, dass mich die Existenz der 0-löchrigen Belegungen der Länge $n$ auch sehr überrascht hat, die zumindest ab einem bestimmten $n$ auftreten.

LG Primentus
\(\endgroup\)


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Primentus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.245, eingetragen 2018-03-27

\(\begingroup\)
Hallo,

nun möchte ich wie angekündigt noch die Legendre-Funktion aus Beitrag #180 in der Mathematica-Version veröffentlichen. Hierbei sind allerdings noch von weird initiierte Zusatzoptimierungen gegenüber der Version aus Beitrag #180 mit eingeflossen. Symmetrische Lösungen werden nach wie vor aussortiert:
Mathematica
f[x_List] := Module[{z}, Return[Sum[Sign[x[[z]]], {z, 1, Length[x]}]]]
LegendreWeirdOpt3[n_, r0_:1] := 
  Module[{b, c, c0, i, j, h, m, M = 0, p = 2, r = r0, s, ss, 
    S = {Table[0, {k, 1, n}]}, t, T, U, V = {}},
    While[True,
      T = {}; b = True;
      If[p > 19, r = Min[r0, 1], If[p > 53, r = 0]];
      p = NextPrime[p];
      If[p > n, Goto["EndWhile"]];
      For[a = 1, a <= Length[S], a++,
        s = S[[a]];
        m = 0;
        U = {};
        For[i = 1, i <= p, i++,
          ss = s; c0 = f[ss];
          For[j = i, j <= n, j = j + p, If[s[[j]] == 0, ss[[j]] = p]];
          c = f[ss];
          If[c == c0, Continue[]];
          If[c > c0 + 1, b = False];
          If[c >= m - r, m = Max[c, m]; U = Append[U, ss]]
        ];
        M = Max[M, m];
        T = FlattenAt[Append[T, U], Length[T] + 1]
      ];
      ToExpression[StringJoin["CountQ[l_List]:=Module[{},If[Length[l]-Count[l,0]>=", 
        ToString[M - r], ",True,False]]"]];
      T = Select[T, CountQ];
      If[b, M = M - 1; V = Append[V, p]; Continue[]];
      S = {};
      For[a = 1, a <= Length[T], a++,
        t = T[[a]];
        U = Sort[{t, Table[t[[-k]], {k, 1, Length[t]}]}];
        If[! MemberQ[S, U[[1]]], S = Append[S, U[[1]]]]
      ];
    ];
    Label["EndWhile"];
    h = Max[n - M - Length[V], 0];
    ToExpression[StringJoin["Count2Q[l_List]:=Module[{},If[Length[l]-Count[l,0]==", 
      ToString[M], ",True,False]]"]];
    S = Sort[Select[S, Count2Q]];
    T = {};
    c = 0;
    Print["The subsequent patterns have got only ", ToString[h], " hole(s) actually, ", 
      "as you could replace 0-locations by any prime in ", ToString[V], ".\n"];
    For[a = 1, a <= Length[S], a++,
      s = S[[a]];
      c = c + 1;
      Print[c, ". ", s];
      T = Append[T, s]
    ];
    Return[]
  ]

Die Funktion kann beispielsweise wie folgt aufgerufen werden:
Mathematica
Timing[LegendreWeirdOpt3[43, 1]]
Erster Parameter ist $n$, der zweite ist in der Regel die Zahl 0. Da hierbei jedoch manchmal nicht alle Lösungen gefunden werden, ist in diesem Fall das Hochsetzen des zweiten Parameters auf 1 empfehlenswert wie im vorliegenden Beispiel. Nur in Ausnahmefällen sollte bzw. muss der zweite Parameter höher als 1 gesetzt werden. Man beachte: je höher der zweite Parameter gesetzt wird, desto länger ist die Berechnungszeit. Hierüber kann also gewissermaßen die Gründlichkeit vs. Schnelligkeit der Suche (d. h. mehr oder weniger greedy) gesteuert werden (Standard sollte 0 sein und nur bei Notwendigkeit vorsichtig erhöht werden).
Ergebnis:
Mathematica
The subsequent patterns have got only 0 hole(s) actually, 
as you could replace 0-locations by any prime in {29, 37, 41, 43}.
 
1. {3,7,13,3,11,5,3,31,7,3,5,23,3,19,17,3,0,0,3,0,5,3,7,0,3,5,11,3,13,
   7,3,17,19,3,23,5,3,11,31,3,5,13,3}
 
2. {7,3,13,5,3,31,11,3,5,23,3,19,17,3,7,13,3,11,5,3,0,7,3,5,0,3,0,0,3,17,
   19,3,23,5,3,7,31,3,5,11,3,13,7}
 
{3.17188, Null}

Es sei angemerkt, dass zwischen $n=60$ und $n=65$ ein paar hartnäckige Fälle auftreten, wo die Berechnungszeit stark ansteigt. Für andere $n$ bis $100$ lassen sich Lösungen jedoch zumeist sehr zügig ermitteln.

Vielen Dank, lieber weird, für diese Programmversion, die ich sehr gerne nach Mathematica portiert und inzwischen ausführlich getestet habe.

LG Primentus

Edit:
Ich habe die Funktion noch geringfügig ergänzt, damit der zweite Parameter r0 beim Aufruf auch weggelassen werden kann. In diesem Fall wird dann der Standardwert 1 verwendet.
\(\endgroup\)


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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.246, eingetragen 2018-03-28

\(\begingroup\)
2018-03-27 23:06 - Primentus in Beitrag No. 245 schreibt:
Es sei angemerkt, dass zwischen $n=60$ und $n=65$ ein paar hartnäckige Fälle auftreten, wo die Berechnungszeit stark ansteigt. Für andere $n$ bis $100$ lassen sich Lösungen jedoch zumeist sehr zügig ermitteln.

Ja, an diesen Fällen, beginnend mit $n=63$ hab ich mir echt die Zähne ausgebissen. Wie du weisst, habe ich da noch einiges ausprobiert, insbesondere ob man Lösungen für ein kleineres $n$ durch "Erweiterungen" am linken und rechten rechten zu Lösungen für ein größeres $n$ aufstocken kann. Dies klappt auch für viele $n$ sehr gut, z.B. kann man so aus den 0-löchrigen Lösungen für $n=47$ auch 0-löchrige Lösungen für $n=48$ und $n=49$ erhalten, aber hier gerade nicht. Andererseits sind dann aber oft viel größere Werte von $n$, wie eben der schon früher diskutierte Wert $n=94$ dann wieder machbar, wo also offenbar irgendwelche Zufälligkeiten eine Rolle spielen, die ich nicht ganz durchschaue. Wahrscheinlich werde ich es aber dann doch dabei belassen.

Vielen Dank, lieber weird, für diese Programmversion, die ich sehr gerne nach Mathematica portiert und inzwischen ausführlich getestet habe.

Vielen Dank auch dir für die wie immer gewissenhafte Übertragung meiner Programme in Mathematica, sowie auch für die Aufdeckung von unvollständigen bzw. fehlerhaften Ergebnissen, wie sie in den ersten Versionen des Programms noch sehr zahlreich waren.  wink
\(\endgroup\)


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