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Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Polynome » Aut(L|K) eines Zerf.Körpers L von f \in K[X] irreduzibel operiert transitiv auf den Nullstellen?
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Universität/Hochschule Aut(L|K) eines Zerf.Körpers L von f \in K[X] irreduzibel operiert transitiv auf den Nullstellen?
Zweiti
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-02-22


Hallo,

Es geht um folgende Aufgabe:

Sei K ein K¨orper, sei f ∈ K[X] mit deg(f) > 1 und sei L ein
Zerf¨allungsk¨orper von f. Zeigen Sie:
(a) Aut(L/K) operiert auf der Menge X := {z ∈ L | f(z) = 0} und der zugeh¨orige
Gruppenhomomorhismus Σ : Aut(L/K) → SX ist injektiv.
(b) Ist f in K[X] irreduzibel, dann ist die Operation aus Teil (a) transitiv.

Ich verstehe (a). Warum gilt aber (b)? Ich habe einfach keine Idee.

Die Aussage scheint sehr wichtig zu sein, denn dadurch, dass jedes Bild einer Nullstelle (also aus deren Bahn) von f eines Automorphismus selbst Nullstelle von f ist und ein Element α0 existiert dessen Bahn gleich der Menge X ist, kann folgende Gleichungskette gefolgert werden:

[L : K] ≥ [K(α0) : K] = deg(µα0) ≥ |Oα0| = |G|

Außerdem findet der Satz in der Charakterisierung von Galoiserweiterungen Verwendung, weil dort dieses α0 das Element ist, das die ganze Körpererweiterung erzeugt.

Aber warum existiert denn nun dieses Element?

Viele Grüße



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ollie3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-02-22


Hallo,
das ist doch einfach der Satz vom primitiven element, den Beweis dazu
kannst du bei wikiversity direkt nachlesen.
Gruss ollie3



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Zweiti
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-22

\(\begingroup\)
Ich lerne mit einem Skript aus den Vorjahren alles, was sich dazu findet ist ein Verweis auf diese Aufgabe aus der damaligen Übung. Bücher oder Wikiversity helfen mir nicht wirklich weiter, weil dort meist noch zusätzliche Definitionen wie Seperabilität verlangt werden, was mich dann völlig verwirrt. Alleine auf Wikiversity finden sich nicht weniger als 4 scheinbar komplett verschiedene Versionen. In meinen Vorlesungsnotizen findet sich folgender Beweis:

Lemma D: \(K \subseteq L\) eine endliche Körpererweiterung mit \(L=\bigcup_{i=1}^{n}M_i\) für Zwischenkörper\(K \subseteq M_i \subseteq L\)
für \(i \in \left \{ 1..n \right \} \)

Bew.:

Wir können annehmen, dass n minimal ist und n>1 Sei \(x_i \in M_i \setminus \bigcup_{j \neq i}M_j\ \) für i=1,2.

Ist \(|K|=\infty\) so ex. \(\lambda , \mu \in K \) mit \( \lambda + \mu \) (?hier fehlt doch irgendwas?) und \( x_1 +\lambda x_2 , x_1+ \mu x_2 \in M \) (Was fehlt hier? hier ist doch bestimmt jeweils M_1, M_2 gemeint, denn was ist M?) für ein \(i \in \left \{ 1..n \right \} \) Schubfachprinzip). Dann ist \( x_2=(\lambda-\mu)^{-1}((x_1+\lambda x_2)-(x_1+ \mu x_2)) \in M_i \) und i=2

( geschweifte klammern unter lamda - mü mit \in K beschriftet,
  geschweifte klammern undter x_1 + \lambda x_2 mit \in M beschriftet, was auch immer das seien mag,
 geschweifte Klammern unter x_1+ \mu x_2 mit \in M_i beschriftet..)

Dies liefert den Widerspruch \( x_1 = ( x_1 +\lambda x_2 ) - \lambda x_2 \in M_2\) ??

Ich verstehe was von Bahnhöfen und auch was Schubfächern. Das ist schön, war es dann aber schon. Zum einen ist wahnsinnig knapp angebunden zum anderen habe ich in der Hektik auch noch gefühlt tausend Sachen falsch abgeschrieben. Vielleicht weiß jemand der versteht wie dieser Beweis geht was da stehen sollte.

Sei nun \(|K|<\infty\) ... Dann ist auch L endlich und nach Aufgabe 15 ist L* zyklisch. Sei x ein Erzeuger von L* und \(x \in M_i\) für ein \(i \in \left \{ 1..n \right \} \) Dann ist \(L=\left \{ 0 \right \} \cup L*=\left \{ 0 \right \} \cup <x> \subseteq M_i \)
Das verstehe ich sogar so halbwegs.

Ich brauche dringend Hilfe. Der Satz vom primitiven Element scheint der wichtigste Satz überhaupt zu sein. Alles baut darauf auf.
\(\endgroup\)


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Bai
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Dabei seit: 11.09.2014
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-02-22


Hi,

ich sehe gerade nicht, wie der Satz vom primitiven Element bei Aufgabe b) weiterhelfen sollte. Vielleicht redet ihr aber auch von etwas anderem - allgemein stellst du hier ziemlich viele voneinander unabhängige Fragen und mir ist nicht genau klar, was du nun geklärt haben möchtest.

Für deine Einstiegsfrage: Schau mal hier.



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Zweiti
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-22

\(\begingroup\)
Wenn ich die Einstiegsfrage verstehen würde, bräuchte ich die anderen Sätze auch nicht so dringend.

Aber warum ist \(\displaystyle\prod_{\eta\in\mathcal{O}_i}(X-\eta)\) das Minimalpolynom eines Elementes aus der Bahn, warum ist das Polynom aus K[x], wie geht ein dass die Nullstellen verschieden sind also seperabel und wie geht man bei der anderen Voraussetzung, dass f irreduzibel nicht seperabel ist vor?
\(\endgroup\)


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
TomTom314
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Dabei seit: 12.05.2017
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-02-22

\(\begingroup\)
Hallo Zweiti,

eine Vorlesung orientiert sich häufig an einem Lehrbuch. Es ist besser nach diesem zu lernen und Deine Aufzeichnungen nur zu verwenden, um zu sehen, was alles behandelt wurde. Persönlich würde ich für Algebra / Galoistheorie schon das Buch von Bosch* empfehlen. Ohne den Begriff separabel wirst Du eher nicht auskommen, da galoisch = (normal & separabel).

Zur Ausgangsfrage. \(\alpha_0\) ist keine ausgezeichente Nullstelle von f. Das funktioniert mit jeder NST. Zur Beweisidee. Du nimmst zwei Nullstellen \(\alpha_0,\alpha_1\), womit ein Isomorphismus \(\sigma:K(\alpha_0)\to K(\alpha_1)\) definiert wird. Ein passender Fortsetzungssatz liefert dann \(\sigma:L\to \overline L\), wobei \(\overline L\) einen algebraischen Abschluß von L bezeichnet. Da L Zerfällungskörper und somit normal ist gilt dann \(\sigma(L)\subseteq L\), also \(\sigma \in Aut(L/K)\).

*Das ist eine sehr subjektive Meinung, da ich "das Buch" live an der Tafel erlebt habe :)
\(\endgroup\)


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