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Matroids Matheplanet Forum Index » Rätsel und Knobeleien (Knobelecke) » ** Brüche mit Blow Up Effekt
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Kein bestimmter Bereich J ** Brüche mit Blow Up Effekt
querin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-02-23


Für natürliche Zahlen 0 < a < b mit einer ungeraden Anzahl von Ziffern, wird für den Bruch a/b ein Blow Up Effekt definiert:

fed-Code einblenden

Im Normalfall wird der Wert eines Blow Up Bruches nicht gleich dem Wert von a/b sein. Daher die Aufgabe:

Finde natürliche Zahlen 0 < a < b mit einer ungeraden Anzahl von Ziffern und Endziffer ungleich 0*, sodass jeder Blow Up Bruch wieder zu a/b gekürzt werden kann.


Viel Spaß


*damit sollen triviale Lösungen wie 100/10000 ausgeschlossen werden.

//edit
ACHTUNG - ein kapitaler Denkfehler meinerseits, es tut mir sehr leid!
Im Dezimalsystem hätte die Aufgabe auch ohne Endziffer 0 und 100 < a < b höchstens einen Stern verdient.

Die eigentliche Pointe ist: Gesucht ist 0 < a < b, sodass das Kürzen aller Blow Ups zurück zu a/b gleichzeitig in allen Stellenwertsystemen mit Basis B > 1 funktioniert. Weil es auch im Binärsystem gelten muss, können a und b nur die Ziffern 0 und 1 enthalten (und dürfen nicht mit 0 enden).



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Dies ist eine Knobelaufgabe!
Der Themensteller hat bestimmt, dass Du Lösungen oder Beiträge zur Lösung direkt im Forum posten darfst.
Bei dieser Aufgabe kann ein öffentlicher Austausch über Lösungen, Lösungswege und Ansätze erfolgen. Hier musst Du keine private Nachricht schreiben!
StrgAltEntf
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Mitteilungen: 4141
Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-02-24


Hallo querin,

dein Beispiel erfüllt aber nicht den geforderten Bedingungen, noch nicht einmal im ersten Schritt, oder?

Lautet die Aufgabe also, überhaupt einen solchen Bruch zu finden oder zu zeigen, dass es einen solchen Bruch nicht geben kann?



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Triceratops
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Dabei seit: 28.04.2016
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Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-02-24


Dürfen die Brüche vor den Blow-Ups gekürzt oder erweitert werden?

@StrgAltEntf: Es soll die Existenz eines solchen Bruches gezeigt werden. Es wäre etwas zu einfach, wenn das Beispiel es bereits täte.



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querin
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Mitteilungen: 85
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-24


Hallo,

ich habe das Verbotene getan und die Aufgabenstellung nachträglich erweitert bzw. verändert. Es tut mir sehr leid und ich könnte es verstehen, wenn sich nun niemand mehr für die Aufgabe interessiert.


@ Triceratops:
Der Bruch a/b muss nicht vollständig gekürzt sein und darf vor den Blow-Ups weder gekürzt noch erweitert werden. Die Blow-Ups können (nicht vollständig) gekürzt werden, sodass sich wieder a/b ergibt.




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MartinN
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Dabei seit: 05.08.2016
Mitteilungen: 882
Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-02-24

\(\begingroup\)
Mit dem Edit habe ich mich noch nicht weiter auseinandergesetzt, aber offensichtlich ist folgendes eine Lösung:

\(z=\frac{\left[aa^na\right]}{\left[bb^nb\right]}; a,b,n\in\IN^+; 0<a<b<10\)
Wobei [...] die Ziffernreihenfolge der Zahl meint.

\(\endgroup\)


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querin
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-24


Hallo MartinN,

ja, das ist eine korrekte Lösung der ursprünglichen Aufgabe.

Danke für's Mitmachen!

LG



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MartinN
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Dabei seit: 05.08.2016
Mitteilungen: 882
Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-02-24

\(\begingroup\)
Aber es scheint noch deutlich mehr Lösungen zu geben, wie eine kleine Überlegung zeigt... nur zur Basis 2 funktionieren die nicht :D


Gesucht ist der Bruch: \(z_n = \frac{\left[pa^nq\right]}{\left[rb^ns\right]}\)
Wobei wir annehmen: \(|\left[p\right]|=|\left[q\right]|=|\left[r\right]|=|\left[s\right]| = k\)
(\(|\left[x\right]|\) gibt die Länge einer Zahl x mit der Ziffernreihenfolge \(\left[x\right]\) an).
Weiterhin sei: \(a,b,p,q,r,s,n \in \IN^+, p < r, a,b < 10\)

Damit ergibt sich: \(z_1 = \frac{10^{k+1}p + 10^ka + q}{10^{k+1}r + 10^kb + s}\)


Nun soll es für alle n gelten, also können wir auch deren Grenzwert für \(n \to \infty\) bestimmen:
\(\lim_{n \to \infty} z_n = \frac{\left[p,a^{\infty}\right]}{\left[r,b^{\infty}\right]}\)
Den Bruch mit 9 (je nach Basis: B-1) erweitern, liefert:
\(z_{\infty} = \frac{9p+a}{9r+b}\)


Dies sei jetzt beides identisch:
\(z_1 = z_{\infty}\\
\to 10^k \cdot (10bp + 9ar) + (9qr+qb)= 10^k \cdot (10ar + 9bp) + (9sp+sa)\\
(1)\ 10bp + 9ar = 10ar + bp \to ar = bp\\
(2)\ q(9r+b) = s(9p+a)\)

Damit lassen sich weitere Bsp. finden, etwa:
k = 1 (alles Ziffern); a = p = 2; b = r = 1
Somit aus (2): \(10q = 20s \to q = 6, s = 4\)
\(z_n = \frac{\left[22^n6\right]}{\left[11^n3\right]}\)
[wieder ziemlich offensichtlich]

Aber der Wert der so ermittelten Brüche berechnet sich nach (1) mit \(r = bp/a\):
\(z_{\infty} = \frac{9p+a}{9bp/a + b} = \frac{a}{b}\)


Mal ein komplexeres Bsp:
k = 3; a = 7; r = 111; b = 3, somit: p = 259
Somit aus (2): \(1002q = 2338s\), liefert etwa: q = 014, s = 006
\(z_n = \frac{\left[2597^n014\right]}{\left[1113^n006\right]}\)

Da lassen sich unzählige Bsp. generieren :D


Edit:
Ob es auch Bsp. mit unterschiedlichen k in Zähler und Nenner, d.h. die Zähler und Nenner sind unterschiedlich lang, gibt, wäre noch interessant ^^ Und wie man nur mit 1 und 0 sowas basteln könnte...

Ebenso könnte es noch andere Lösungen als die beiden Gleichungen (1) und (2) für die Ausgangsgleichung geben... Aber (1) und (2) lassen sich noch etwas einfacher darstellen:
(1) \(r = pb/a\)
(2) \(s = qb/a\)

\(\endgroup\)


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querin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-25


Sehr schön!
Damit ist gezeigt, dass es im Dezimalsystem Lösungen wie Sand am Meer gibt. Und mit deinen Formeln kann man alle finden, bei denen Zähler und Nenner die gleiche Länge haben.

Bleibt bei der ursprünglichen Frage eigentlich nur noch dieser Teilaspekt offen:

2018-02-24 21:29 - MartinN in Beitrag No. 6 schreibt:
Ob es auch Bsp. mit unterschiedlichen k in Zähler und Nenner, d.h. die Zähler und Nenner sind unterschiedlich lang, gibt, wäre noch interessant



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viertel
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Dabei seit: 04.03.2003
Mitteilungen: 26347
Aus: Hessen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-02-25


Da gibt es jede Menge Zahlen, bei denen der Nenner mehr Ziffern hat als der Zähler (allerdings rest mal alles im Dezimalsystem):

Start Program...
-------------------------------------------------------------------
111/10212 , 111/10323 , 111/10434 , 111/10545 , 111/11211 , 111/11322 , 111/11433 , 111/11544 , 111/12210 , 111/12321 , 111/12432 , 111/12543 , 111/13320 , 111/13431 , 111/13542 , 111/14319 , 111/14430 , 111/14541 , 111/15318 , 111/15429 , 111/15540 , 111/16317 , 111/16428 , 111/16539 , 111/17316 , 111/17427 , 111/17538 , 111/17649 , 111/18315 , 111/18426 , 111/18537 , 111/18648 , 111/19314 , 111/19425 , 111/19536 , 111/19647 , 111/20313 , 111/20424 , 111/20535 , 111/20646 , 111/21312 , 111/21423 , 111/21534 , 111/21645 , 111/22311 , 111/22422 , 111/22533 , 111/22644 , 111/23310 , 111/23421 , 111/23532 , 111/23643 , 111/24420 , 111/24531 , 111/24642 , 111/25419 , 111/25530 , 111/25641 , 111/26418 , 111/26529 , 111/26640 , 111/27417 , 111/27528 , 111/27639 , 111/28416 , 111/28527 , 111/28638 , 111/28749 , 111/29415 , 111/29526 , 111/29637 , 111/29748 , 111/30414 , 111/30525 , 111/30636 , 111/30747 , 111/31413 , 111/31524 , 111/31635 , 111/31746 , 111/32412 , 111/32523 , 111/32634 , 111/32745 , 111/33411 , 111/33522 , 111/33633 , 111/33744 , 111/34410 , 111/34521 , 111/34632 , 111/34743 , 111/35520 , 111/35631 , 111/35742 , 111/36519 , 111/36630 , 111/36741 , 111/37518 , 111/37629 , 111/37740 , 111/38517 , 111/38628 , 111/38739 , 111/39516 , 111/39627 , 111/39738 , 111/39849 , 111/40515 , 111/40626 , 111/40737 , 111/40848 , 111/41514 , 111/41625 , 111/41736 , 111/41847 , 111/42513 , 111/42624 , 111/42735 , 111/42846 , 111/43512 , 111/43623 , 111/43734 , 111/43845 , 111/44511 , 111/44622 , 111/44733 , 111/44844 , 111/45510 , 111/45621 , 111/45732 , 111/45843 , 111/46620 , 111/46731 , 111/46842 , 111/47619 , 111/47730 , 111/47841 , 111/48618 , 111/48729 , 111/48840 , 111/49617 , 111/49728 , 111/49839 , 122/13420 , 122/14640 , 122/19520 , 122/20740 , 122/25620 , 122/26840 , 122/31720 , 122/32940 , 122/37820 , 122/43920 , 133/10640 , 133/12635 , 133/14630 , 133/16625 , 133/18620 , 133/20615 , 133/21945 , 133/22610 , 133/23940 , 133/25935 , 133/27930 , 133/29925 , 133/31920 , 133/33915 , 133/35910 , 144/11520 , 144/15840 , 144/18720 , 144/25920 , 155/11625 , 155/14725 , 155/17825 , 155/20925 , 156/10140 , 166/10624 , 166/11620 , 166/12616 , 166/12948 , 166/13612 , 166/13944 , 166/14940 , 166/15936 , 166/16932 , 166/17928 , 166/18924 , 166/19920 , 166/20916 , 166/21912 , 177/10620 , 177/15930 , 177/16815 , 178/10235 , 178/11125 , 178/14240 , 178/15130 , 178/18245 , 178/19135 , 178/23140 , 178/27145 , 188/16920 , 189/11340 , 189/13230 , 189/15120 , 189/30240 , 189/32130 , 189/49140 , 199/10945 , 199/11940 , 199/12935 , 199/13930 , 199/14925 , 199/15920 , 199/16915 , 199/17910 , 211/23210 , 211/25320 , 211/27430 , 211/29540 , 211/44310 , 211/46420 , 211/48530 , 221/10829 , 221/11713 , 221/11934 , 221/12818 , 221/13923 , 221/15912 , 222/10212 , 222/10323 , 222/10434 , 222/10545 , 222/11211 , 222/11322 , 222/11433 , 222/11544 , 222/12210 , 222/12321 , 222/12432 , 222/12543 , 222/13320 , 222/13431 , 222/13542 , 222/14319 , 222/14430 , 222/14541 , 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999/11433 , 999/11544 , 999/12210 , 999/12321 , 999/12432 , 999/12543 , 999/13320 , 999/13431 , 999/13542 , 999/14319 , 999/14430 , 999/14541 , 999/15318 , 999/15429 , 999/15540 , 999/16317 , 999/16428 , 999/16539 , 999/17316 , 999/17427 , 999/17538 , 999/17649 , 999/18315 , 999/18426 , 999/18537 , 999/18648 , 999/19314 , 999/19425 , 999/19536 , 999/19647 , 999/20313 , 999/20424 , 999/20535 , 999/20646 , 999/21312 , 999/21423 , 999/21534 , 999/21645 , 999/22311 , 999/22422 , 999/22533 , 999/22644 , 999/23310 , 999/23421 , 999/23532 , 999/23643 , 999/24420 , 999/24531 , 999/24642 , 999/25419 , 999/25530 , 999/25641 , 999/26418 , 999/26529 , 999/26640 , 999/27417 , 999/27528 , 999/27639 , 999/28416 , 999/28527 , 999/28638 , 999/28749 , 999/29415 , 999/29526 , 999/29637 , 999/29748 , 999/30414 , 999/30525 , 999/30636 , 999/30747 , 999/31413 , 999/31524 , 999/31635 , 999/31746 , 999/32412 , 999/32523 , 999/32634 , 999/32745 , 999/33411 , 999/33522 , 999/33633 , 999/33744 , 999/34410 , 999/34521 , 999/34632 , 999/34743 , 999/35520 , 999/35631 , 999/35742 , 999/36519 , 999/36630 , 999/36741 , 999/37518 , 999/37629 , 999/37740 , 999/38517 , 999/38628 , 999/38739 , 999/39516 , 999/39627 , 999/39738 , 999/39849 , 999/40515 , 999/40626 , 999/40737 , 999/40848 , 999/41514 , 999/41625 , 999/41736 , 999/41847 , 999/42513 , 999/42624 , 999/42735 , 999/42846 , 999/43512 , 999/43623 , 999/43734 , 999/43845 , 999/44511 , 999/44622 , 999/44733 , 999/44844 , 999/45510 , 999/45621 , 999/45732 , 999/45843 , 999/46620 , 999/46731 , 999/46842 , 999/47619 , 999/47730 , 999/47841 , 999/48618 , 999/48729 , 999/48840 , 999/49617 , 999/49728 , 999/49839
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viertel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-02-25

\(\begingroup\)
Und auch mit Nennerlänge 7 (sind aber längst nicht alle, da $r$ und $s$ [in der Notation von MartinN in Beitrag #6] jeweils nur bis 150 laufen):

Start Program...
-------------------------------------------------------------------
311/1205125 , 533/1399125 , 622/1205125 , 711/1333125 , 755/1038125 , 755/1189125 , 833/1296148 , 833/1306144 , 833/1326136 , 833/1336132 , 833/1346128 , 833/1356124 , 833/1376116 , 833/1386112 , 833/1396108 , 833/1406104 , 933/1205125 , 977/1099125
-------------------------------------------------------------------

Mit Nennerlänge 9 bei Zählerlänge 3 war aber nix zu finden.
Aber für Zählerlänge 5:
-------------------------------------------------------------------
11111/162487264 , 11111/162498375 , 11111/162531708 , 11111/162542819 , 11111/162565041 , 11111/162576152 , 11111/162587263 , 11111/162598374 , 11111/162631707 , 11111/162642818 , 11111/162653929 , 11111/162676151 , 11111/162687262 , 11111/162698373 , 11111/162731706 , 11111/162742817 , 11111/162753928
Und das geht endlos weiter …
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\(\endgroup\)


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2018-02-25


Noch ein paar mit anderem Zähler:
-------------------------------------------------------------------
11112/109819896 , 11112/109919904 , 11112/110019912 , 11112/110219928 , 11112/110319936 , 11112/110419944 , 11112/110519952 , 11112/110719968 , 11112/110819976 , 11112/110919984 , 11112/111019992
-------------------------------------------------------------------



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2018-02-25


Sieh an, da sind noch andere aufgetaucht:
-------------------------------------------------------------------
43553/109971325 , 43553/118681925 , 43553/127392525 , 43553/146991375
Das war alles für diesen Zähler
-------------------------------------------------------------------

Ui, und dann ging's wieder los:
-------------------------------------------------------------------
43554/200892825 , 43554/201981675 , 43554/202292775 , 43554/203381625 , 43554/203692725 , 43554/204781575 , 43554/205092675 , 43554/206181525 , 43554/206492625 , 43554/207581475 , 43554/207892575 , 43554/208981425 , 43554/209292525 , 43554/210381375 , 43554/210692475 , 43554/211781325 , 43554/212092425 , 43554/213181275 , 43554/213492375 , 43554/214581225
Wieder nur ein Ausschnitt für diese Zähler
-------------------------------------------------------------------



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2018-02-25


2018-02-23 21:51 - querin im Themenstart schreibt:
Die mittlere Ziffer von Zähler und Nenner wird durch eine ungeradzahlige Wiederholung ihrer selbst ersetzt, Anfangs- und Endziffern bleiben unverändert.
Das „ungeradzahlige“ kann nach meinen Versuchen durch „beliebige“ ersetzt werden:
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viertel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2018-02-25


Noch ein neuer Zähler:
-------------------------------------------------------------------
47553/108183075 , 47553/117693675 , 47553/120071325 , 47553/129581925 , 47553/139092525 , 47553/160491375
Das ist auch schon alles für diesen Zähler für 9-stellige Nenner
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-25


Hallo Viertel, vielen Dank für diesen reichhaltigen Fundus an Lösungen!

Könntest du bitte (in einem Hide Bereich) kurz erklären, wie du gezeigt hast, dass sich alle Blow Ups zu a/b kürzen lassen?

2018-02-25 18:26 - viertel in Beitrag No. 12 schreibt:
Das „ungeradzahlige“ kann nach meinen Versuchen durch „beliebige“ ersetzt werden:

Damit kann man doch prima Schülerinnen und Schüler "erschrecken" wink

Frage: Wie kann man den Bruch 622223/14222240 vereinfachen?
Antwort: Ganz einfach, die 2er kürzen sich weg und es bleibt 63/1440
Was? Zufall? - Na dann probiert mal mehr oder weniger 2er, das klappt immer!






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viertel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2018-02-26


Da habe ich gar nichts bewiesen biggrin
Voruntersuchungen mit Derive.
Dann die Zahlen per Programm generiert und Stichproben durch Derive gejagt.



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querin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-01


Kleiner Tipp, falls noch jemand interessiert ist:


Wenn man im Binärsystem sucht, findet man ziemlich einfach einen Blow-Up mit der gewünschten Eigenschaft. Dann kann man formal beweisen, dass das Beispiel für alle Basen B>1 funktioniert.




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querin
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Auflösung:

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MartinN
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2018-03-18

\(\begingroup\)
Schön ^^
Dann gibt es aber noch viele andere Lösungen...

Seien \(z_a,z_b\) zwei Ziffern in der jeweiligen Basis \(B\), dann sind folgende Zahlen:
\(A_{k,u} = z_a \cdot a_{k,u}\\
B_{k,u} = z_b \cdot b_{k,u}\)
auch zulässige Zähler und Teiler, mit (in Ziffernschreibweise):
\(a_{k,u} = [1(0)^k(0)^u(0)^k1]_B = B^{2k+u+1} + 1\\
b_{k,u} = [1(01)^k(0)^u(10)^k1]_B = (B^{2k+u+1} + 1) \cdot (B^0+B^2+...+B^{2k})\)

Und somit:
\(\frac{A_{k,u}}{B_{k,u}} = \frac{z_a}{z_b} \cdot \frac{a_{k,u}}{b_{k,u}}\\
= \frac{z_a}{z_b} \cdot \frac{1}{B^0+B^2+...+B^{2k}}\\
= \frac{z_a}{z_b} \cdot \frac{B^2-1}{B^{2k+2}-1}\)

Und dies ist unabhängig von u ^^



Edit:

\(b_{k,u}\) kann man sogar noch allgemeiner fassen mit \(\omega^k\) einer 2k-stelligen Zahl in der jeweiligen Basis:
\(b_{k,u} = [\omega^k1(0)^u\omega^k1]_B = (B^{2k+u+1} + 1) \cdot [\omega^k1]_B\)

Und damit:
\(\frac{A_{k,u}}{B_{k,u}} = \frac{z_a}{z_b} \cdot \frac{1}{[\omega^k1]_B}\)

\(\endgroup\)


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querin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-18


Gut beobachtet, Martin smile

Wenn es allerdings für alle Basen B>1 gelten soll, müssten deine Faktoren za=zb=1 sein. Es gibt auch noch viele andere 01-Lösungen, z.B.

a=111, b=10101 (kleinstes a,b)
oder unsymmetrische Ziffernfolgen wie
a=1001011, b=1101001
a=1000011, b=101001111






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