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Lineare Algebra » Lineare Abbildungen » Darstellungsmatrix bestimmen mit ker f und im f
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Universität/Hochschule Darstellungsmatrix bestimmen mit ker f und im f
Mathsman
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-03-08


Hallo liebe Leute, ich bräuchte Mal wieder bei einer Aufgabe euren Rat. Und zwar scheitere ich daran, die Matrix einer linearen Projektionsabbildung zu finden, wo die lineare Hülle von Kern und Bild gegeben sind. Bisher haben wir diese nämlich nur über die Basen und dann die Bilder eben jener konstruiert. Jetzt steh ich bei folgender Aufgabe eben an:
fed-Code einblenden
Danke für jegliche Antworten und Hinweise,
LG Mathsman



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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-03-08

\(\begingroup\)
Hallo Mathsman,

entscheidend ist, dass p eine Projektion ist, d.h. \(p^2 = p\). Daher kennt man (wahrscheinlich aus einer früheren Aufgabe) \(p|_{Im}\)  und eine passende Beziehung zwischen Kern und Bild.
\(\endgroup\)


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Mathsman
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-08


Hi erstmal danke für die Antwort. Wir hatten in Lin Alg 1 tatsächlich ein Beispiel zu Projektionsabbildungen. Da wurde die Abbildung an sich schon mal als solches definiert. Nämlich:
fed-Code einblenden

Allerdings mussten wir bei diesem Beispiel dann nur zeigen, dass sie linear und idempotent ist. (p(p(v)= p(v) für alle v aus V). Weiters kenn ich sonst nur als Beziehung zwischen dim im p + dim ker p = dim V, was aber ja generell für lineare Abbildungen gilt. Eine Beziehung zwischen ker und im wie du meinst hab ich jetzt weder bei den Übungszettel noch bei den Vorlesungsunterlagen gefunden.
Bitte um ein bisschen mehr Aufklärung
LG Mathsman



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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-03-08

\(\begingroup\)
Mit der Darstellung V=U+W läßt sich doch schon etwas anfangen. Hier hast Du bereits zwei Kandidaten dafür. Zum Bild: Für ein \(x\in Im(p)\) kannst Du \(p^2=p\) verwenden, um \(p(x)\) auszurechnen.
\(\endgroup\)


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Mathsman
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-08


Ich glaub ich steh immer noch an. Meinst du mit den zwei Kandidaten für U und W das Bild und den Kern von p? Mit dem Satz dim im p + dim ker p = V würde das ja dann zusammen passen.
Und auch zum 2. hab ich eine Frage: Wenn ich es richtig verstanden hab, kann ich einmal einen Vektor aus dem Bild hernehmen, zum Beispiel V1:= (1,2,1,0)^t und das dann in die Beziehung p^2 = p einsetzen. Dann würde folgen: p(V1) = V1, was hieße dass alle Linearkombinationen des im p Fixpunkte wären???. Hab ich das richtig verstanden oder meinst du damit was anderes?
LG Mathsman



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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-03-08


Du bist schon auf dem richtigen Weg, hast es aber etwas unorthodox aufgeschreiben. Soweit ich das sehe kannst Du nun für eine Basis (b_i) (welche?) die Bilder p(b_i) angeben und damit dann auch zu einer Matrix gelangen.



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Mathsman
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-08


Hmm, ganz sicher bin ich mir nicht aber bildet dann nicht einfach, die Basis des Bilds von p, weil sie Fixpunkte sind die darstellende Matrix. Nur dann stellt sich mir die Frage, warum auch der Kern von p angegeben war. Ich schätze Mal der Grund dafür ist die Eindeutigkeit, die ja auch in der Aufgabe gefragt wird. Nur seh ich da das Argument dafür nicht. Kommt es daher, dass dim im f + dim ker f = dim V eine direkte Summe darstellt. D.h. jedes v aus V nur eine Darstellung sich zusammensetzend aus der linearen Hülle von Kern und Bild besitzt?
LG Mathsman



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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-03-08

\(\begingroup\)
... dass dim im f + dim ker f = dim V eine direkte Summe darstellt
Das gilt, da p eine Projektion ist (allgemein ist das nicht gegeben). Um p zu beschreiben, benötigst Du eine Basis des \(\IR^4\). Was weißt Du denn jetzt schon über p?

linearen Hülle von Kern und Bild
"lineare Hülle" ist hier nicht nötig, das Kern/Bild bereits Untervektorräume sind. Du hast hier einfach nur erzeugende Vektoren dieser Räume vorgegeben.
\(\endgroup\)


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Mathsman
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-08


Oke langsam und nochmal der Reihe nach: Ich weiß dass das Bild aufgespannt wird durch die lineare Hülle L = { (1,2,1,0)^t, (1,0,-1,1)^t}. Weiters hab ich herausgefunden dass gemäß der Beziehung p^2 = p, gilt dass wenn ich zum Beispiel V1:= (1,2,1,0)^t in diese Beziehung einsetze als p(x), dann p(V1)=V1 gelten muss. So da wir eine Basis des R^4 aber suchen, uns das Bild aber nur die lineare Hülle von 2 Vektoren bereitstellt, brauchen wir noch 2 weitere Vektoren. Diese wird uns schätze ich wohl der Kern p liefern. Nur sehe ich echt nicht wie ich da weiter vorgehen soll...
LG Mathsman



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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-03-08


Damit hast Du
p((1,2,1,0)^t)) =...
p((1,0,-1,1)^t) =...
p((-1,-2,2,-1)^t) =...
p((2,-1,1,1)^t) = ...!? (Lücken füllen)

Was kannst Du mit diesem Ergebnis machen (darstellende Matrix von p bezüglich einer geeigneten Basis)?



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Mathsman
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-08


Gut damit folgt dann:
p((1,2,1,0)^t)) = (1,2,1,0)^t
p((1,0,-1,1)^t) = (1,0,-1,1)^t
p((-1,-2,2,-1)^t) = (0,0,0,0)^t
p((2,-1,1,1)^t) = (0,0,0,0)^t

Die vier Vektoren aus den linearen Hüllen von Bild und Kern sind linear unabhängig, d.h. sie bilden eine Basis. Das heißt dann wir sehen rechts die Vektoren, die die darstellende Matrix bilden oder?
LG Mathsman



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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2018-03-08


Die Bilder der Vektoren sind ja noch bezüglich der Standardbasis angeben. Daher siehe die Matrix von p bezüglich der 4 Vektoren schon etwas anders aus, d.h. die Bilder müssen auch als Linearkombination dieser vier geschrieben werden.

Danach benötigst Du noch einen Basiswechsel zurück zur Standardbasis.



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Mathsman
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-09


Oke den ersten Schritt bring ich glaub ich noch zusammen. Aufgefasst als Linearkombination der Basisvektoren würde sich dann die Matrix:
fed-Code einblenden
ergeben oder?
Nur was meinst du dann mit Basiswechsel zur Standardbasis? Meinst du damit, dass ich diese Vektoren, die ja jetzt bzgl. der Basis von Kern und Bild gegeben sind, bzgl. der Einheitsvektoren hinschreiben soll? Tut mir leid für die vielen Fragen.
LG Mathsman



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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2018-03-09


Das meine ich, bzw. ich gehe davon aus, dass dieses in der Aufgabe verlangt wird.



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Mathsman
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-09


D.h. die Matrix ist die Lösung für die Aufgabe oder? Und die Eindeutigkeit folgt aus der Eigenschaften der Projektionsabbildung.
LG Mathsman



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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2018-03-09

\(\begingroup\)
Die Matrix aus #12 ist noch nicht die Lösung. Du mußt noch \(p(e_i)\) ausrechnen, \(e_1,\ldots,e_4\) sind die Basisvektoren der Standardbasis.
\(\endgroup\)


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Mathsman
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-09


So hab ne Idee, ich hab die vier Vektoren aus Bild und Kern zur Verfügung von denen ich das p(x) kenne und versuche mittels Linearkombinationen die Einheitsvektoren draus zu basteln. Dies darf ich machen da ja die Projektionsabbildung linear ist. Sobald ich das geschafft habe kann ich direkt die Matrix ablesen. Wie richtig ist diese Überlegung?
LG Mathsman



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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2018-03-09


Das ist schon richtig. Das "basteln" wird überlicherweise beim Thema Basiswechsel besprochen und auch dort gezeigt, wie es ausgerechnet wird.



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Mathsman
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-10


Oke ich hab mal die Transformationsmatrix ausgerechnet: Diese lautet
fed-Code einblenden
Damit kann ich jetzt alles in die Einheitsbasis umrechnen. So und wie geht's jetzt weiter? Je mehr da darüber nachdenke, desto mehr komm ich durcheinander mit der Aufgabe. Bitte um Hilfe!
LG Mathsman
Edit: Muss ich jetzt einfach die Matrix der Linearkombinationen von oben mit dieser Transformationsmatrix multiplizieren?



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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, eingetragen 2018-03-10

\(\begingroup\)
Dann versuche ich mich Mal ein einer "Musterlösung".

p ist eine Projektion (erfüllt die Gleichung \(p^2=p\)). Daraus folgt, dass p diagonalisierbar ist mit Eigenwerten 0;1 und den Eigenräumen \(Ker(p)\), \(Im(p)\) und es gilt: \(\IR^4=Ker(p)\oplus Im(p)\).

Die vier Vektoren \(b_1=(1,2,1,0)^t, b_2=(1,0,-1,1)^t, b_3=(-1,-2,2,-1)^t, b_4=(2,-1,1,1)^t\) bilden eine Basis B mit \(Im(p)=<b_1,b_2>;Ker(p)=<b_3,b_4>\). Wegen der Diagonalisierbarkeit hat p bezüglich der Basis B dann die Matrix
\[P_B=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}\]
Ein Vektor \(u\in\IR^4\) hat bzg. der Standardbasis die Koordinaten \(x=(x_1,x_2,x_3,x_4)\) und bzg. B die Koordinaten \(y=(y_1,y_2,y_3,y_4)\). Dann gilt. \(x=T\cdot y\), wobei T als Spalten die Basis B enthält, d.h. \(T=(b_1,b_2,b_3,b_4)\).

Bezüglich der Basis B gilt nun \(p(y)=P_B\cdot y\). Um \(p(x)\) auszurechnen, muß x erst nach y umgewandelt, y mit Matrix multipiziert und das Ergebnis wieder zurück in die Standardbasis umgerechnet werden. Diese ergibt dann: \(p(x)= T\cdot P_B\cdot T^{-1}x\), d.h. p hat bezüglich der Standardbasis die Darstellung \(P_{\IR^4}=T\cdot P_B\cdot T^{-1}\).

Zur Probe. Es muß gelten \(P_{\IR^4}^2 = P_{\IR^4}\); \(P_{\IR^4}\cdot b_{1/2} = b_{1/2}\) und \(P_{\IR^4}\cdot b_{3/4} =0\).

Ich habe es nicht nachgerechnet, aber Deine Matrix A sieht nicht richtig aus.
\(\endgroup\)


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Mathsman
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-10


Oke vielen Dank, du hattest Recht die Matrix war falsch, weil ich sie falsch in den Fed eingegeben habe. Eigentlich lautet sie wie folgt: fed-Code einblenden
Ich les mir noch genauer deine Erklärungen durch, weil ich doch ein paar Sachen wie Eigenwerte noch nicht gemacht hab. Danke jedenfalls einmal.
LG Mathsman



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TomTom314
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Also aus der Matrix werde ich nicht schlau. Was soll diese jetzt leisten?



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Mathsman
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Das ist die Inverse zur Matrix T = (b1,b2,b3,b4), wenn ich mich nicht verrechnet habe.
LG Mathsman



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