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Moderiert von Curufin epsilonkugel
Mathematik » Analysis » Unklarheit bei Gleichung
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Universität/Hochschule J Unklarheit bei Gleichung
X3nion
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Dabei seit: 17.04.2014
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-03-08

\(\begingroup\)
Guten Abend zusammen,

ich verstehe folgende Identität nicht:


$\frac{1}{\pi} \int \limits_{0}^{2\pi} \left| \frac{\pi - x}{2} \right| dx = \frac{1}{4\pi} \int \limits_{-\pi}^{\pi}x^{2} dx$


Könnt ihr mir helfen?
Ich wäre euch echt dankbar! smile


Viele Grüße,
X3nion
\(\endgroup\)


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BerndLiefert
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Dabei seit: 21.10.2014
Mitteilungen: 354
Aus: Lehramtplanet
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-03-08


Hallo Xdreinion,

die Identität besagt, dass der Term auf der linken Seite und der Term auf der rechten Seite den gleichen Wert haben.



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X3nion
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 17.04.2014
Mitteilungen: 192
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-08


Hallo BerndLiefert,

das ist mir klar, aber wie man da drauf durch Umformen kommt.


Viele Grüśe,
X3nion



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Kuestenkind
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.04.2016
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-03-08


Klick.

Gruß,

Küstenkind



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X3nion
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-08

\(\begingroup\)
Na super,
also ein Fehler :-D
Es ist in einer Beweiskette im Lehrbuch, ich tippe nach dem Essen mal den ganzen Beweis ab.

Ich hatte das mal versucht aufzusplitten in

$\int \limits_{0}^{2\pi} \left| \frac{\pi - x}{2} \right| + \int \limits_{\pi}^{2\pi} \left| \frac{\pi - x}{2} \right|$ = $\int \limits_{0}^{2\pi} \frac{\pi - x}{2} + \int \limits_{\pi}^{2\pi}  \frac{x-\pi}{2}$.

Wäre das so okay?


Viele Grüße,
X3nion

\(\endgroup\)


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Kuestenkind
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Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 950
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-03-08

\(\begingroup\)
Kontrolliere doch selbst:

\(\displaystyle \underbrace{\int \limits_{0}^{2\pi} \left| \frac{\pi - x}{2} \right| \rm{d}x}_{=\frac{\pi^2}{2}} + \underbrace{\int \limits_{\pi}^{2\pi} \left| \frac{\pi - x}{2} \right| \rm{d}x}_{=\frac{\pi^2}{4}}=\underbrace{\int \limits_{0}^{2\pi} \frac{\pi - x}{2} \rm{d}x}_{=0} + \underbrace{\int \limits_{\pi}^{2\pi}  \frac{x-\pi}{2} \rm{d}x}_{=\frac{\pi^2}{4}} \)

Gruß,

Küstenkind
\(\endgroup\)


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X3nion
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-08

\(\begingroup\)
Hallo Kuestenkind,

\(\displaystyle \underbrace{\int \limits_{0}^{2\pi} \left| \frac{\pi - x}{2} \right| \rm{d}x}_{=\frac{\pi^2}{2}} + \underbrace{\int \limits_{\pi}^{2\pi} \left| \frac{\pi - x}{2} \right| \rm{d}x}_{=\frac{\pi^2}{4}} \)


wie rechnest du denn das Integral von einem Betrag aus? Das leuchtet mir nicht ein.
Hast du wolframalpha zu Rate gezogen?



Ich habe einmal das Beispiel abgetippt:

Es ging um das Beispiel der Funktion $\sigma: \IR \to \IR$ mit

$\sigma(x) = \frac{\pi - x}{2}$.

Die Fourier-Reihe ergibt sich nach Berechnung der Fourier-Koeffizienten als:

$\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2i} \left( \frac{e^{ikx}}{k} - \frac{e^{-ikx}}{k} \right) = \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{\sin kx}{k}$.

Diese Reihe konvergiert im quadratischen Mittel gegen $\sigma$ und die Vollständigkeitsrelation liefert:

$\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}} = \frac{1}{\pi} \int \limits_{0}^{2\pi} |\sigma(x)|^{2} dx = \frac{1}{\pi} \int \limits_{0}^{2\pi} \left| \frac{\pi - x}{2} \right|^{2}dx = \frac{1}{4\pi} \int \limits_{-\pi}^{\pi} x^{2} dx = \frac{\pi^{2}}{6}$.
 
Also die Summe der Reihe $\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}}$


Viele Grüße,
X3nion
\(\endgroup\)


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weird
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-03-08

\(\begingroup\)
Meiner Meinung nach ist der "richtige" Weg hier die Substitution

$u=x-\pi$

wonach das Integral übergeht in

$\frac1{2\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} |u|\,du=\frac1{\pi} \int\limits_0^{\pi} u\,du$

wobei man dann im letzten Integral dann wieder $u$ durch $x$ ersetzen darf.
\(\endgroup\)


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X3nion
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-08

\(\begingroup\)
Hallo weird und Danke für deinen Beitrag!

Mit u = $\pi - x$ ergibt sich:

$\frac{1}{\pi} \int \limits_{0}^{2\pi} \left| \frac{\pi - x}{2} \right|^{2}dx = \frac{1}{4\pi} \int \limits_{0}^{2\pi} \left| \pi - x \right|^{2}dx = \frac{1}{4\pi} \int \limits_{-\pi}^{\pi} |u|^{2}du$.

Aber Wieso gilt nun $\frac{1}{4\pi} \int \limits_{-\pi}^{\pi} |u|^{2}du = \frac{1}{4\pi} \int \limits_{-\pi}^{\pi} x^{2} dx$?


Viele Grüße,
X3nion
\(\endgroup\)


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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-03-08

\(\begingroup\)
Siehe z.B. hier:

www.math.uaa.alaska.edu/~afmaf/classes/math251/notes/integral_absolute.pdf

Bei deinem Startbeitrag fehlt das Quadrat. Damit ergibt sich:

\( \displaystyle \frac{1}{\pi} \int \limits_{0}^{2\pi} \left| \frac{\pi - x}{2} \right|^2 \rm{d}x =\frac{1}{4 \pi} \int \limits_{0}^{2\pi} \left| \pi - x\right|^2 \rm{d}x\stackrel{u=x-\pi}{=}\frac{1}{4\pi} \int \limits_{-\pi}^{\pi}|-u|^{2} \rm{d}u=\frac{1}{4\pi} \int \limits_{-\pi}^{\pi} u^{2} \rm{d}u   \)

Gute Nacht,

Küstenkind

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]
\(\endgroup\)


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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-08


Hallo Kuestenkind,

ahhh okay klar, nun macht es Sinn!
Und am Ende muss man nicht rück-substituieren, mann kann einfach die Variable u durch x ersetzen.


Vielen Dank nochmal an euch alle! Und sorry für's verschlamperte Quadrat, ich habe mein Schlampermäppchen schon weggelegt biggrin

Gruß X3nion



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