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Mathematik » Logik, Mengen & Beweistechnik » Endliche Menge, Faktorisierung von Abbildung
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Autor
Universität/Hochschule J Endliche Menge, Faktorisierung von Abbildung
Saki17
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-03-08

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Hallo,

Ich wollte wissen, ob mein Beweis zur folgenden Aussage in Ordnung ist.

Aussage. Eine Menge $A$ ist genau dann endlich, wenn für jede aufsteigende Folge von Mengen $X_0\subset X_1\subset X_2\subset \ldots$ mit Vereinigung $X:=\bigcup_{n\geq 0}X_n$ jede Abbildung $A\to X$ bereits über die Inklusion $i_n: X_n\to X$ für ein $n\geq 0$ faktorisiert. (Man kriegt also ein dreieckiges kommutatives Diagramm.)

Beweis. Sei $A$ endlich. Sei eine Kette $X_0\subset X_1\subset X_2\subset \ldots$ wie oben gegeben und sei $f: A\to X$ eine Abbildung. Wähle einen maximalen Index $k$, sodass $f(A)\subset X_k$ - dies ist möglich, denn es gibt nur endlich viele Möglichkeiten, die Elemente von $A$ nach verschiedenen $X_i$'s unter der Abbildung $f$ zu schicken. Definiere nun $g: A\to X_k,~ g(a):=f(a)$ für alle $a\in A$. Also $f=i_k\circ g$.

Umgekehrt erfülle die Menge $A=\{a_i;\, i\in I\}$ ($I$ sei eine beliebige Indexmenge) die Faktorisierungsbedingung. Wähle die Kette $X_n:=\{0,\ldots,n\}$ (für alle $n\in\IN_0$) und setze $X:=\bigcup_{n\geq 0}X_n$ und betrachte $f: A\to X,~ f(a_i)=i$. Nach der Voraussetzung findet man ein $n\geq 0$ und eine Abbildung $g: A\to X_n$ so, dass $f(a)=(i_n\circ g)(a)$ für alle $a\in A$. Wegen der Endlichkeit von $X_n$ und der Vorschrift von $f$ ist $A$ endlich.
(Hier habe ich eine Schwierigkeit. Mit "$n\geq 0$" meine ich $n\in\IN_0$, damit wird $X=\IN_0$. Aber ich weiß a priori nicht, ob die Menge $A$ abzählbar ist. Könnte ich das Problem lösen, indem ich sage "$f$ bilde alle Elemente von $A$, die nicht mit einer abzählbaren Teilmenge von $I$ indiziert werden können, auf 0 ab."?)

EDIT. Sorry, bei dem zweiten Teil vom Beweis sehe ich schon, dass die Definition von $f$ problematisch ist ($I$ muss keine Teilmenge von $\IN_0$ sein). Ich wollte lediglich eine Abbildung wählen, die die Menge $A$ injektiv in $X$ abbildet...
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darkhelmet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-03-08

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Ich denke, du hast die Probleme schon selbst richtig erkannt.

Mit deiner Definition von $X$ und den $X_n$ folgt aus der "Kettenbedingung" direkt, dass es keine Surjektion von $A$ auf $\mathbb{N}$ geben kann.
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Saki17
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-09

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Danke für deinen Hinweis!

Dass keine Surjektion von $A$ nach $\IN$ gibt, folgt also daraus, dass die Inklusion $i_n$ niemals surjektiv sein kann für alle $n\in\IN$?
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darkhelmet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-03-09

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2018-03-09 12:51 - Saki17 in Beitrag No. 2 schreibt:
Danke für deinen Hinweis!

Dass keine Surjektion von $A$ nach $\IN$ gibt, folgt also daraus, dass die Inklusion $i_n$ niemals surjektiv sein kann für alle $n\in\IN$?

Ja. Ich glaube, du bist ein wenig zu sehr auf die kommutativen Diagramme fixiert.

Dass eine Abbildung $f:A\rightarrow X$ "über die Inklusion $i_n:X_n\rightarrow X$ faktorisiert" heißt ja nichts anderes als $f(A)\subset X_n$. Man formuliert es hier wahrscheinlich über die kommutativen Diagramme, weil man es als Beispiel für irgendein kategorientheoretisches Konzept verwenden will.
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Saki17
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-09

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2018-03-09 13:04 - darkhelmet in Beitrag No. 3 schreibt:
Dass eine Abbildung $f:A\rightarrow X$ "über die Inklusion $i_n:X_n\rightarrow X$ faktorisiert" heißt ja nichts anderes als $f(A)\subset X_n$. Man formuliert es hier wahrscheinlich über die kommutativen Diagramme, weil man es als Beispiel für irgendein kategorientheoretisches Konzept verwenden will.
Danke für die "Übersetzung"! (Die Aussage kommt tatsächlich von einem Buch zur Kategorientheorie.)
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