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Mathematik » Schulmathematik » Beweis Irrationalität Wurzel 2
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Universität/Hochschule J Beweis Irrationalität Wurzel 2
timol
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-03-08


Hallo  smile

vor kurzem bin ich über den erstaunlich einfachen Beweis gestolpert, warum die Wurzel aus einer natürlichen Zahl entweder natürlich oder irrational sein muss:

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also ist entweder q^2 und somit auch q=1 oder die Wurzel ist eben irrational.

Jetzt gibt es ja den bekannten Beweis, warum die Wurzel 2 irrational ist, der meiner Meinung nach deutlich umständlicher ist:

fed-Code einblenden

Daraus ergibt sich dann der Widerspruch zu p und q teilerfremd.

Könnte man den Beweis nicht (wie beim 1. Beweis) nach dem 1. Schritt:
fed-Code einblenden
beenden, mit der Begründung q müsste 1 sein, offensichtlich ist aber die Wurzen aus 2 keine natürliche Zahl. Sie muss somit irrational sein. Wozu also der ganze Aufwand? Oder habe ich einen Denkfehler?

Viele Grüße
Timo



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BerndLiefert
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-03-08


Wie begründest du denn die Irrationalität im Fall q!=1?



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timol
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-08


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BerndLiefert
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-03-08


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timol
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-08


p und q sollen ja natürliche Zahlen sein, das habe ich nicht mehr dazugeschrieben, sollt ja klar sein  razz



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timol
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-08


Aber das ist doch auch dadurch klar, dass die teilerfremd sein sollen oder?



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BerndLiefert
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-03-08


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timol
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-08


Na damit, dass 49 und 25 teilerfremd sind, man den Bruch also nicht mehr kürzen kann und niemals eine 1 im Nenner stehen kann, wie das aber bei allen natürlichen Zahlen der Fall sein würde.



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BerndLiefert
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-03-08


Ok, jetzt verstehe ich deine Argumentation. Damit funktioniert das auch für 2 (ist ja nur ein Spezialfall).



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timol
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-08


Ok, gut danke :) Weißt du, warum dann der 2. Beweis viel bekannter ist, obwohl er länger und nicht wirklich einfacher ist?



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2018-03-09

\(\begingroup\)
Das Argument für $q^2=1$ wurde noch nicht genannt. Hier ist es: $n q^2 = p^2$ impliziert $q^2 \mid p^2$, mit der Teilerfremdheit folgt daher $q^2=1$.

Ja, der Beweis funktioniert dann so, ist aber auch nicht neu.
\(\endgroup\)


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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2018-03-09

\(\begingroup\)
2018-03-08 23:27 - timol in Beitrag No. 9 schreibt:
Ok, gut danke smile Weißt du, warum dann der 2. Beweis viel bekannter ist, obwohl er länger und nicht wirklich einfacher ist?

Ich greife die Frage mal ab. wink

Nur so, also durch die Konstruktion einer kleineren Lösung, wird wirklich deutlich, warum die Wurzel nicht rational sein kann. Da eben eine unendliche Verkleinerung nicht in den ganzen Zahlen möglich ist. Dieser Beweis mit Wurzel aus 2 soll immer als einfachstes Beispiel dienen diese Art der Beweisführung durch Widerspruch mittels "unendlichem Abstieg" zu veranschaulichen. Mit einem Spezialfall für eine kürzere Beweisführung kann man eher selten etwas veranschaulichen/vermitteln.

Wenn das Problem komplizierter wird, z.B. für die diop. Gleichung \(a^4+b^4=c^2\) nicht-triviale Lösungen zu finden, dann funktioniert die Beweisführung eben ganz genauso wie bei Wurzel aus 2, indem man eine kleinere Lösung konstruiert. Hätte jemand nur den Spezialfall mit dem kürzeren beweis kennengelernt, stünde er bei dieser neuen Aufgabe wohl auf dem Schlauch.

Es geht also einfach darum mit einem möglichst einfachen Beispiel eine Beweismethode zu vermitteln bzw. zu veranschaulichen. Daher wird man den kurzen Beweis eher selten finden.

Gruß, Slash
\(\endgroup\)


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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2018-03-09

\(\begingroup\)
Was ich bei all diesen Beweisen so überhaupt nicht verstehe, ist, dass man nicht einfach für eine natürliche Zahl $n$, welche ganz allgemein keine Quadratzahl ist, folgendermaßen argumentiert:

Angenommen, es existiert für $\sqrt n$ eine Darstellung

$\sqrt n=\frac pq$

mit positiven ganzen Zahlen $p$ und $q$, so folgt daraus sofort die Gleichung

$nq^2=p^2$

Da nun $n$ nach Voraussetzung keine Quadratzahl ist, gilt jedenfalls $n>1$ und $n$ muss auch einen Primfaktor $r$ besitzen, dessen Vielfachheit $\nu_r(n)$ in der Primfaktorzerlegung von $n$ ungerade ist. Damit ist aber dann, wenn man sich in der letzten Gleichung die Primfaktorzerlegungen von $p$ und $q$ eingesetzt denkt, die Vielfachheit $\nu_r(np^2)$ von $r$ der linken Seite dieser Gleichung ungerade, die Vielfachheit $\nu_r(p^2)$ von $r$ der rechten Seite aber gerade, was dann natürlich ein klarer Widerspruch zur Eindeutigkeit einer Primfaktorzerlegung ist. Also war die Annahme zu Beginn, dass es so eine Bruchdarstellung für $\sqrt n$ gibt, falsch!
\(\endgroup\)


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