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Lineare Algebra » Vektorräume » Dualräume verstehen und Beweisaufgabe
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Universität/Hochschule J Dualräume verstehen und Beweisaufgabe
Mathsman
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-03-10


Hallo liebe Leute, auf unserem neuen Übungszettel gibt es mehrere Aufgaben zu Dualräumen und ich hab echt wenig Ahnung, warum es da geht. Vor allem tu ich mich sehr mit den Formalismen betreffend dieses Themas. Dualräume sind ja die Menge aller linearen Abbildung von einem Vektorraum V in einen Körper K oder? Nur tu ich mich schwer diese Eigenschaften anhand eines Beispiels anzuwenden.
Hier ein Beispiel:
fed-Code einblenden
Gut was zu zeigen ist, ist klar. Beginnend mit der Addition: Sei v1* und v2* aus dieser Menge. Ich würde versuchen zu zeigen v1*+v2* ist aus dieser Menge ebenfalls. Naja U ist Teilmenge vom ker v1* und auch von ker v2* per Angabe. Alle Elemente aus U und auch deren LK sind dann auch Elemente vom ker v1* und ker v2*. Naja heißt das dann auch nicht weil der ker einer linearen Abbildung auch ein Unterraum per Definition, dann immer noch alle Elemente aus U im ker v1*+v2* drinnen sein oder?
Ein weiteres Problem besteht dann darin die dim zu berechnen. Kann mir bitte jemand das Konzept der Dualräume versuchen zu erklären und was diese Funktionale sind? Und ein paar Kommentare zur Aufgabe wären auch sehr nett. Weil ich echt nicht weiß wie falsch oder richtig diese Überlegungen sind.
LG Mathsman



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Mathsman
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-10


Hat denn echt keiner eine Idee, wie man richtig angehen kann? Vor allem fürs Dimension finden, hab ich keinen Weg.
LG Mathsman



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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-03-10


zum ersten Teil von a). Das ist eindeutig zu viel Text. Hier solltest Du konsequent die Definitionen abarbeiten mit Beh.:, z.z.:, etc.

zum zweiten Teil. Schau Dir nochmal das Thema "Duale Basis" an und versuche eine geeignete Basis V zu wählen, s.d. U "schön einfach" aussieht.



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Mathsman
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-11


Oke ich versuchs mal ohne viel Schnörkel:
z.z.: Die Menge fed-Code einblenden ist ein Unterraum.
D.h. wir müssen zeigen:
1.) Menge ist nicht leer.
2.) Das Unterraumkriterium, d.h. Additivität und Multiplikation mit einem Skalar.

So beim 1.) tu ich mir eigentlich schon schwer, aber ich glaub der 0-Abbildung ist sicher drinnen, da sonst U Telmenge von ker v* kein Unterraum wäre.
2.) Additivität: Seien v1* und v2* aus fed-Code einblenden . Wir müssen zeigen v1*+v2* ist auch aus dieser Menge. Aufgrund der Linearität von v1* und v2* ist auch v1*+v2* aus dem Dualraum V*(ist ja die Menge aller linearen Abbildungen). Weiters ist der Unterraum U laut Angabe Teilmenge von ker v1* und auch Teilmenge von ker v2*. D.h. alle Elemente aus U und auch dessen Linearkombinationen sind auch Elemente von ker v1* und ker v2*. Nun wissen wir dass der ker einer linearen Abbildung ein Unterraum ist. Sprich daraus können wir schließen, dass der Unterraum U auch Teilmenge vom ker v1*+v2* sein muss. Das ist alles was zu zeigen war.
2.) Multiplikation mit einem Skalar: Kann man soweit ich sehe, im Wesentlichen die gleiche Argumentation führen. Einfach nur mit dem Unterschied, dass hier die Eigenschaft der Multiplikation mit einem Skalar bei linearen Abbildung und Unterräumen verwendet wird.

So nun zur Dimension: Laut Vorlesung weiß ich, dass die Dimension von V und V* übereinstimmt. Beide haben demnach n Basisvektoren. Ich denke sehr schön wären zum Beispiel die Einheitsvektoren als Basis. Nur weiter hab ich jetzt keine Idee. Ich vermute ja, dass die Dimension von der Menge die zu untersuchen war, n-m ist, da dim V = dim V* und die Menge sich ja auf den ker v* bezieht und ich glaub ich irgendwie was mit der Beziehung dim ker + dim im = dim V zu tun hat. Zugegebenermaßen hab ich da aber wenig Ahnung.

Mit der Bitte um einen Kommentar,
LG Mathsman



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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-03-11

\(\begingroup\)
So beim 1.) tu ich mir eigentlich schon schwer, aber ich glaub der 0-Abbildung ist sicher drinnen, da sonst U Telmenge von ker v* kein Unterraum wäre.

Was ist denn \(ker(0^*)\)? \(0^*\in V^*\) bezeichnet hier die Nullabbildung.

zu 2) Das ist alles nur Text. frown Da müssen irgendwie Gleichungen auftauchen - wie z.B.: \(U\subseteq ker(v^*) \iff \forall u\in U: v^*(u)=0\).

\(\endgroup\)


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Mathsman
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-11


Oje das ist frustrierend, wenn meine Überlegungen so ins Falsche offensichtlich führen. Gut weiter geht's: V* ist ja die Menge aller linearen Abbildungen von einem V VR nach K. Wenn 0* die Nullabbildung ist, dann ist der ker(0*) ist demnach alles was in dieser linearen Abbildung abbildet, da ja alles auf 0 abbildet oder?

2.) Ja gut da haben wir mein größtes Problem, den Formalismus in diesem Thema. Gut, seien v1* und v2* aus fed-Code einblenden .
fed-Code einblenden

Ich versteh allerdings nicht so sonderlich gut, was rechts der Äquivalenz da steht. Kann man das so ähnlich wie bei Funktionen auffassen? (so an der Stelle u, ist das 0 usw...) Dann würde doch wieder aufgrund der Linearität von v1* und v2* die Aussage 3.) zu folgern sein oder?

Kann ist das zum Beispiel so schreiben:
0 = 0 + 0 = v1*(u) + v2*(u) = (aufgrund von linear) (v1*+v2*)(u)

Ich kenn mich offensichtlich so gut wie gar nicht aus. Bitte um mehr Hilfe!
LG Mathsman



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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-03-11

\(\begingroup\)
... dann ist der ker(0*) ist demnach alles was in dieser linearen Abbildung abbildet, da ja alles auf 0 abbildet oder?
Genau \(ker(0^*=V\).

Kann ist das zum Beispiel so schreiben:
0 = 0 + 0 = v1*(u) + v2*(u) = (aufgrund von linear) (v1*+v2*)(u)
Das ist der wesentliche Schritt. Dieses verwendest Du dann um 3) zu zeigen.

Das richtige Formulieren einer Lösung ist schon Teil dessen, was Du lernen mu0t. Schau Dir an, wie Euer Prof es in der Vorlesung/Skript macht - oder Musterlösungen aus den Übungen und versuch das Vorgehen zu kopieren.
\(\endgroup\)


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Mathsman
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-11


Na gottseidank ist auch mal was richtiges dabei. :-) Bleibt noch die Frage, nach der dim dieses Unterraums. Das weiß ich echt nicht wie ich das angehen soll. Wie geht man da am besten vor? Ich wähle eine Basis von V und U und dann? Mit der Bitte um Hilfe,
lg Mathsman



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Triceratops
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Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-03-12

\(\begingroup\)
Überlege dir einen Isomorphismus $U^{\perp} \cong (V/U)^*$. (Tipp: Homomorphiesatz.)

Die Dimension ist daher $\dim(V)-\dim(U)$.
\(\endgroup\)


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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-03-12

\(\begingroup\)
Alternative:

Wähle für V eine Basis \(b_1,\ldots,b_n\), s.d. \(b_1,\ldots,b_k\) eine Basis von U ist ( dim U = k ). Dann schaut man sich die dazu duale Basis von \(V^*\) an.
\(\endgroup\)


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Mathsman
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-12


Hmm, Homomorphiesatz klingt durchaus interessant. Da müsste ich wahrscheinlich so eine lineare Abbildung: f: V*->U* definieren und dann dazu die Abbildung: f*: (V/U)* -> fed-Code einblenden

Zu 2. ja weil ich eine Basis für V mit dim V = m und dim U = k. Dann betrachte ich die duale Basis V* dazu und weiß aufgrund der Isomorphie, dass auch dim V* = m ist. Da auch U ein VR ist, folgt, dass dim U* = k. So jetzt brauch ich aber fed-Code einblenden . Laut Vorlesung haben wir einen Satz: fed-Code einblenden
fed-Code einblenden

Wenn ja bleibt nur noch die Frage ob b.) auch ein Unterraum ist, ich sag gefühlsmäßig ja weil das Unterraumkriterium immer noch durchgeht. Wobei ich nicht weiß ob er nicht leer sein kann? Zum Beispiel: 0* aus V* würde dann U=V implizieren. Ich seh da aber noch nicht per se irgendeinen Widerspruch



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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2018-03-12

\(\begingroup\)
Zu dem Hinweis von Triceratops kann ich jetz wenig sagen.

Zu meinem Hinweis:
2018-03-12 11:27 - TomTom314 in Beitrag No. 9 schreibt:
Alternative:

Wähle für V eine Basis \(b_1,\ldots,b_n\), s.d. \(b_1,\ldots,b_k\) eine Basis von U ist ( dim U = k ). Dann schaut man sich die dazu duale Basis von \(V^*\) an.

Aus der dualen Basis kannst Du ganz konkret eine Basis für \(U^{\perp}\) ablesen / raten. Hier mußt Du dann nur noch nachrechnen dass diese auch \(U^{\perp}\) definieren. Tip: \(\delta_{ij}\)

Zum Beispiel: 0* aus V* würde dann U=V implizieren.
Das ist schon der entscheidende Schritt. Nur ziehst Du den falschen Schluß daraus.
\(\endgroup\)


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Mathsman
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-12


Naja gut es gilt: <bi*, bj> = Kronikadelta als Zusammenhang für Unterraum und Vektorraum. Wir haben k lin. unabhängige Spaltenvektoren im U*. Da auch der orthogonal Raum ein Unterraum von V* ist, der allerdings nur auf den Ker eines Funktional abbildet, das heißt die Menge aller Funktionale, die ein u auf 0 abbildet. Folgt aufgrund der Dimensionsformel für ker und im also dim v = dim ker f + dim im f, die zu beweisende Aussage. Wahrscheinlich ist meine Argumentation immer noch nicht ganz richtig oder?

Zu b.) hab ich jetzt auch ne Idee. Wenn ich irgendwann dann sauber bewiesen habe, dass dim (Orthogonal Raum) + dim (U) = dim (V) gilt. Dann kann ich aufgrund der Implikation U = V schließen, dass dim (Orthogonal Raum) = 0 ist und da hätte ich den Widerspruch

LG Mathsman



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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2018-03-12

\(\begingroup\)
Vergiss die Dimensionsformel dim ker f + dim im f. Die wird Dir hier nicht viel nützen. U hat die Basis \(b_1,\ldots b_k\). Jetzt rate einfach mal welche Vektoren aus \(b^*_1,\ldots, b^*_n\) eine Basis von \(U^\perp\) bilden könnten. Du hast ja schon einen guten Tip für \(dim(U^\perp)\) abgegeben.
\(\endgroup\)


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Mathsman
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-12


Ja die Basis müssten laut meinem Tipp dann (bn+1*,...,bk*) bilden. Das muss ich halt noch zeigen, l.u. und Erzeugendensystem oder? Oder geht's schneller?
LG Mathsman



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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2018-03-12

\(\begingroup\)
kleiner Buchstabendreher \(b_{k+1}^*,\ldots, b_n^*\). Linear unabhängig sind diese schon (da Teil einer Basis). Zeigen mußt Du zwei Dinge:
1) \(b_{k+1}^*,\ldots, b_n^*\in U^\perp\).
2) Jedes \(u^*\in U^\perp\) ist eine Linearkombination der \(b_{k+1}^*,\ldots, b_n^*\).

zu 2) Hier fängt man mit \(u^*=\lambda_1 b_1^*+\ldots+\lambda_n b_n^*\) an und zeigt, dass \(\lambda_i\) für \(i\leq k\) null ist.
\(\endgroup\)


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Mathsman
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-13


Oke so richtig a gute Idee hab ich jetzt ad hoc für beide Sachen nicht:
1.) Wir sagen bk+1*,..., bn* ist eine Basis vom Orthogonal Raum. Das impliziert weil Basis, dass dann die Basisvektoren natürlich Element des Unterraums sind oder?
2.) Oke dann setz ich einmal so an: u* = b1* * l_1 + l_2 * b2* + ... + l_n * bn*.
So jetzt bin ich eher planlos, hatt das jetzt was mit dem Chronika Delta zu tun? In etwa so <bi*, bj> = Chronika Delta. Ne das wäre irgendwie nicht sinnvoll, bitte um ein bisschen mehr Hinweis. Vielleicht bin ich aber auch schon zu müde.

LG Mathsman



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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2018-03-13

\(\begingroup\)
Der Mathematiker heißt Kronecker.

Du mußt über die Aufgabe auch schon etwas nachdenken und die Definition von \(U^\perp\) verwenden. Ich möchte Dir das nicht einfach vorrechen. Mittlerweile hast Du große Teile der Lösung und solltest dann zumindest versuchen diese Teile selbstständig zusammenzusetzen.
\(\endgroup\)


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Mathsman
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-13


Oke ich versuch es weiter: Sei u* aus dem orthogonalen Raum und habe es eine Darstellung bzgl. der Basis vom Orthogonal Raum mit Lamba ungleich 0. Angenommen es gebe auch eine Darstellung bzgl. der Basis V*. Dann folge ein Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit der Basis, da Basisdarstellungen immer eindeutig sind. Folglich müssen alle lambda 1 bis k 0 sein.
Bitte um Kommentar,
LG Mathsman



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Mathsman
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-13


Jetzt hab ich auch den Widerspruch bei B. 0* muss nicht drinnen sein, denn das würde wie bereits gesagt U = V ergeben. Allerdings ist es leicht möglich, dass ein Unterraum nicht dieselbe Dimension haben, das heißt 0* wäre dann nicht im Unterraum drinnen.
Klingt fast plausibel find ich.
LG Mathsman



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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, eingetragen 2018-03-13

\(\begingroup\)
zu b) Ja, fed-Code einblenden ist genau dann ein Unterraum, wenn U=V gilt.

Zum zweiten Teil von a) die Bedingung \(U\subseteq ker(v^*)\) läßt sich mit der Basis \(b_1,\ldots, b_k\) umschreiben zu: \(v^*\in U^\perp\iff v^*(b_i)=0\ \forall i\leq k\), d.h. Du hast für \(u^*=\lambda_1 b_1^*+\ldots+\lambda_n b_n^*\in U^\perp\) k Gleichungen, die gerade passend \(\lambda_1=\ldots=\lambda_k=0\) liefern. Was Du in #18 geschrieben hast ergibt wenig Sinn.
\(\endgroup\)


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Mathsman
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-13


Vielen lieben Dank für deine Hilfe, oh gott ich bin dumm. Ja gut da muss ich noch
wohl ein bisschen üben, was das angeht...
LG Mathsman



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