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Strukturen und Algebra » Polynome » Polynomdivision Beweis
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Universität/Hochschule Polynomdivision Beweis
Wirkungsquantum
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-03-10

\(\begingroup\)
Hallo,
ich hab eine Frage zur Polynomdivision:
Wenn ich beispielsweise von der Funktion $p(x)=x^3+x^2-2x$ den Linearfaktor $(x-1)$ abspalten will, dividiere ich ja das Polynom durch den Linerafaktor. Wenn ich nun Polynomdivision anwende wäre ja der erste Schritt
<math>
\polyset{style=C,div=:,vars=x}
\polylongdiv{x^3+x^2-2x}{x-1}
</math>
Was ich mich allerdings immer gefragt habe ist wieso das Verfahren so klappt (oder wie man das beweist), das man jeweils immer nur durch die höchste Potenz von Divisor teilen muss?
Danke im Voraus.

Grüße,



-----------------
$h=6,626⋅10^{-34} Js$
\(\endgroup\)


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Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 3644
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-03-10


Schau mal hier: proofwiki.org/wiki/Polynomial_Long_Division



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StrgAltEntf
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Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-03-10

  (x^3 + x^2 - 2x) : (x-1) = x^2 + 2x
 -(x^3 - x^2)
        2x^2 - 2x
      -(2X^2 - 2X)
         0 

Hallo Wirkungsquantum,

das funktioniert doch genau so wie du die schriftliche Division in der Grundschule gelernt hast.



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Kuestenkind
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Mitteilungen: 952
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-03-11

\(\begingroup\)
2018-03-10 22:55 - Wirkungsquantum im Themenstart schreibt:
$x^3+x^2-2x : (x-1) = x^2...$

Da fehlen aber Klammern, ansonsten gilt Punkt vor Strich.

2018-03-10 23:34 - StrgAltEntf in Beitrag No. 2 schreibt:
  (x^3 + x^2 - 2x) : (x-1) = x^2 + 2x
 -(x^3 - x^2)
        2x^2 - 2x
      -(2X^2 - 2X)
         0 


Schöner mit \(\LaTeX\):
LaTeX
\polyset{style=C,div=:,vars=x}
\polylongdiv{x^3+x^2-2x}{x-1}


<math>
\polyset{style=C,div=:,vars=x}
\polylongdiv{x^3+x^2-2x}{x-1}
</math>

Vorteil ist zudem, dass man nicht selbst rechnen muss.  smile

Einen schönen Sonntag wünscht,

Küstenkind
\(\endgroup\)


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Wirkungsquantum
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 10.03.2015
Mitteilungen: 442
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-11

\(\begingroup\)
Hallo,
danke für die Antworten.

2018-03-10 23:14 - Triceratops in Beitrag No. 1 schreibt:
Schau mal hier: proofwiki.org/wiki/Polynomial_Long_Division
Danke für den Link, ich schaus mir mal an.

2018-03-10 23:34 - StrgAltEntf in Beitrag No. 2 schreibt:
das funktioniert doch genau so wie du die schriftliche Division in der Grundschule gelernt hast.
Mir gings weniger um das Verfahren an sich sondern mehr um den ersten Schritt, wo man nur durch das x geteilt hat (und nicht durch die -1).

2018-03-11 12:26 - Kuestenkind in Beitrag No. 3 schreibt:
2018-03-10 22:55 - Wirkungsquantum im Themenstart schreibt:
$x^3+x^2-2x : (x-1) = x^2...$

Da fehlen aber Klammern, ansonsten gilt Punkt vor Strich.

2018-03-10 23:34 - StrgAltEntf in Beitrag No. 2 schreibt:
  (x^3 + x^2 - 2x) : (x-1) = x^2 + 2x
 -(x^3 - x^2)
        2x^2 - 2x
      -(2X^2 - 2X)
         0 


Schöner mit \(\LaTeX\):
LaTeX
\polyset{style=C,div=:,vars=x}
\polylongdiv{x^3+x^2-2x}{x-1}


<math>
\polyset{style=C,div=:,vars=x}
\polylongdiv{x^3+x^2-2x}{x-1}
</math>

Vorteil ist zudem, dass man nicht selbst rechnen muss.  smile
Danke für den Hinweis bzgl. der Klammern.
Wegen dem Latex: Oh ach so kannte die Funktion noch gar nicht, danke für den Tipp, werde es mal im Startpost entsprechend anpassen.
Dir ebenfalls einen schönen Sonntag.

Grüße,
h


-----------------
$h=6,626⋅10^{-34} Js$
\(\endgroup\)


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Kuestenkind
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Mitteilungen: 952
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-03-11

\(\begingroup\)
2018-03-11 13:17 - Wirkungsquantum in Beitrag No. 4 schreibt:
Mir gings weniger um das Verfahren an sich sondern mehr um den ersten Schritt, wo man nur durch das x geteilt hat (und nicht durch die -1).

Wie darf man das denn verstehen? Willst du etwa rechnen:

\(60:(10+2)\stackrel{?}{=}60:10+60:2\)

Dass nur durch \(x\) dividiert wird ist Blödsinn, es wird durch \((x-1)\) dividiert.

Gruß,

Küstenkind
\(\endgroup\)


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cis
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-03-11


2018-03-11 12:26 - Kuestenkind in Beitrag No. 3 schreibt:
<math>
\polyset{style=C,div=:,vars=x}
\polylongdiv{x^3+x^2-2x}{x-1}
</math>

Vorteil ist zudem, dass man nicht selbst rechnen muss.  

Wie hast Du das geschafft, das hier das Paket Polynom geladen wird?

Es bräuchte wirklich mal eine Informationsseite, die aufzeigt was hier alles mit LaTeX möglich ist.
Vermutlich wissen wissen keine 10 Nutzer, dass die TikZ-Bibliothek matrix verfügbar ist bzw. wie man sie herholt.

polynom.sty ist schick, seine CAS-Funktion funktioniert aber im allgm. nicht, wie im Handbuch angegeben wird.

Vielleicht könnte man einmal ein richtiges CAS hier einbinden. Da LaTeX schon da ist, bietet sich natürlich Sage/SageTeX an.

<math>
\polyset{style=C,div=:,vars=x}
\polylongdiv{x^3-2x+1}{x-3}

\polyset{vars=u}
2u^3+u^2-7u+3 = \polyfactorize{2u^3+u^2-7u+3}
</math>




[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]


-----------------
Wenn man alles ausgeschaltet hat, was unmöglich ist, bleibt am Ende etwas übrig, das die Wahrheit enthalten muß - mag es auch noch so unwahrscheinlich sein...
(Sherlock Holmes)
·



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Slash
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Aus: New York
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-03-11

\(\begingroup\)
2018-03-11 13:17 - Wirkungsquantum in Beitrag No. 4 schreibt:
2018-03-10 23:34 - StrgAltEntf in Beitrag No. 2 schreibt:
das funktioniert doch genau so wie du die schriftliche Division in der Grundschule gelernt hast.
Mir gings weniger um das Verfahren an sich sondern mehr um den ersten Schritt, wo man nur durch das x geteilt hat (und nicht durch die -1).
\sourceoff

Die Gegenprobe macht es vielleicht deutlich. Faktorisiert man ein Polynom mit zwei Faktoren(Polynomen), dann sind für die höchste Potenz des Polynoms nur die höchsten Potenzen der beiden Faktoren verantwortlich.

\(
(x-1)(x^2+2x)=(x^3+x^2-2x)
\)

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-03-11


2018-03-11 13:38 - cis in Beitrag No. 6 schreibt:
Wie hast Du das geschafft, das hier das Paket Polynom geladen wird?

Als Hobby-Hacker war das kein Problem.

Gruß,

Küstenkind

PS: Ich musste Martin nur fragen, ob er es hier implementieren kann. Für mehr reichen meine Hackerqualitäten auch nicht...



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cis
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-03-11


2018-03-11 13:51 - Kuestenkind in Beitrag No. 8 schreibt:
PS: Ich musste Martin nur fragen, ob er es hier implementieren kann. Für mehr reichen meine Hackerqualitäten auch nicht...

Ja, war mir schon klar, der kleine Dienstweg. polynom.sty rechnet mit dem Hornerschema, aber auch nur in nicht zu schweren Fallen.
=> Hättest Du ihn fragen können, ob er SageTeX einbinden kann?
Dann sind natürlich solche Polynomdivisionen etc. eine kleine Mikro-Nebenanwendung.  smile



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Wirkungsquantum
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-13

\(\begingroup\)
Hallo,

2018-03-11 13:28 - Kuestenkind in Beitrag No. 5 schreibt:
2018-03-11 13:17 - Wirkungsquantum in Beitrag No. 4 schreibt:
Mir gings weniger um das Verfahren an sich sondern mehr um den ersten Schritt, wo man nur durch das x geteilt hat (und nicht durch die -1).

Wie darf man das denn verstehen? Willst du etwa rechnen:

\(60:(10+2)\stackrel{?}{=}60:10+60:2\)

Dass nur durch \(x\) dividiert wird ist Blödsinn, es wird durch \((x-1)\) dividiert.
Ich hab das ein wenig ungeschickt ausgedrückt. Ich meinte das man im ersten Schritt von der Polynomdivison (in diesem Beispiel $x^3$) erst durch x geteilt hat und dann $x^2$ notiert hat und was da die Unklarheit ist, ist das innerhalb des Verfahrens so vorgehen darf und eben nicht $x^3$ durch (x-1) teilen muss.

2018-03-11 13:42 - Slash in Beitrag No. 7 schreibt:
2018-03-11 13:17 - Wirkungsquantum in Beitrag No. 4 schreibt:
2018-03-10 23:34 - StrgAltEntf in Beitrag No. 2 schreibt:
das funktioniert doch genau so wie du die schriftliche Division in der Grundschule gelernt hast.
Mir gings weniger um das Verfahren an sich sondern mehr um den ersten Schritt, wo man nur durch das x geteilt hat (und nicht durch die -1).
\sourceoff

Die Gegenprobe macht es vielleicht deutlich. Faktorisiert man ein Polynom mit zwei Faktoren(Polynomen), dann sind für die höchste Potenz des Polynoms nur die höchsten Potenzen der beiden Faktoren verantwortlich.

\(
(x-1)(x^2+2x)=(x^3+x^2-2x)
\)
Ach so das verstehe ich, danke. Zu 100% verstanden hab ich aber noch nicht ganz, wieso beim ersten Schritt nur durch das x geteilt wird (das mit dem Grad hab ich jetzt verstanden nur eben wieso da das -1 nicht beachtet werden muss)?

Grüße,
h


-----------------
$h=6,626⋅10^{-34} Js$
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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2018-03-14

\(\begingroup\)
2018-03-13 22:51 - Wirkungsquantum in Beitrag No. 10 schreibt:
und eben nicht $x^3$ durch (x-1) teilen muss.

Das geht doch gar nicht bzw. das darf man gar nicht. Denn die -1 ergibt sich ja aus der Nullstelle x=1. Du würdest somit durch 0 dividieren.
\(\endgroup\)


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Squire
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2018-03-14


Es funktioniert auch in die andere Richtung:

  (-2x + x^2 + x^3) : (-1 + x) = 2x + x^2
   -2x +2x^2
           -x^2 + x^3
           -x^2 + x^3
               0
 
Grüße Squire




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Wirkungsquantum
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-19

\(\begingroup\)
Hallo,
danke für die Antworten.

2018-03-14 08:59 - Squire in Beitrag No. 12 schreibt:
Es funktioniert auch in die andere Richtung:

  (-2x + x^2 + x^3) : (-1 + x) = 2x + x^2
   -2x +2x^2
           -x^2 + x^3
           -x^2 + x^3
               0
 
Grüße Squire


Das ist sehr interessant, kannte das noch gar nicht.

2018-03-14 00:07 - Slash in Beitrag No. 11 schreibt:
2018-03-13 22:51 - Wirkungsquantum in Beitrag No. 10 schreibt:
und eben nicht $x^3$ durch (x-1) teilen muss.

Das geht doch gar nicht bzw. das darf man gar nicht. Denn die -1 ergibt sich ja aus der Nullstelle x=1. Du würdest somit durch 0 dividieren.
Ist das aber nicht das, was man in der Polynomdivision macht (durch (x-1) teilen)?

Grüße,
h


-----------------
$h=6,626⋅10^{-34} Js$
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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2018-03-20


2018-03-19 20:20 - Wirkungsquantum in Beitrag No. 13 schreibt:
Das geht doch gar nicht bzw. das darf man gar nicht. Denn die -1 ergibt sich ja aus der Nullstelle x=1. Du würdest somit durch 0 dividieren.

Ist das aber nicht das, was man in der Polynomdivision macht (durch (x-1) teilen)?

Ich würde sagen: nein. Man teilt durch einen Faktor, der nicht 0 sein darf. Und bei der Methode selbst teilt man ja durch x. Ich spreche hier allerdings nicht als Mathe-Messias, sondern teile nur mit, wie ich es sehe. wink



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Wirkungsquantum
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-21

\(\begingroup\)
Hallo,
aber wenn man bei der Funktion $f(x)=x^2-x$ den Faktor x raus dividieren würde, würde man doch sowohl in der Polynomdivision als auch beim "direkten dividieren" durch die Nullstelle (x) teilen oder sehe ich das falsch?


-----------------
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