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Mathematik » Stochastik und Statistik » Würfel: Erwartete Anzahl der Würfe, bis alle Ausgänge erzielt wurden
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Universität/Hochschule J Würfel: Erwartete Anzahl der Würfe, bis alle Ausgänge erzielt wurden
bruno_de_fetti
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 28.01.2018
Mitteilungen: 19
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-03-12


Hallo,
ich brauche Hilfe bei folgender Aufgabe:

"Für fed-Code einblenden , sei Z1, Z2,... ein fortgesetztes r-Würfeln mit den gleich wahrscheinlichen Ausgängen 1,...,r. Was ist die erwartete Anzahl der Würfe, bis erstmals alle r Ausgänge erzielt worden sind?"

Die Lösung ist fed-Code einblenden . Allerdings weiß ich leider nicht wie man darauf kommt.


Ich würde mich sehr über eure Hilfe freuen.

VG



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tactac
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 1240
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-03-12

\(\begingroup\) \(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]}\)
Man kann, wenn einem nichts besseres einfällt, ein Gleichungssystem mit r+1 Gleichungen lösen:
$E(n)$ sei die zu erwartende Anzahl an Würfen, von einem Zustand ausgehend, in dem bereits $n$ Ausgänge gesehen worden sind.
$E(0)$ ist dann die Antwort auf die globale Frage, und zu lösen ist das Gleichungssystem mit
$E(r) = 0$ und für alle $0 \leq n < r$:
$E(n) = 1 + (\frac n r \cdot E(n) + \frac{r-n}r \cdot E(n+1))$
Letzteres Schema ist leicht zu verstehen: Wenn noch nicht alle Ausgänge gesehen worden sind, muss noch mindestens einmal gewürfelt werden, und man landet dann bei der selben Anzahl bereits gesehener Ausgänge, oder bei einer um 1 erhöhten Anzahl -- mit Wahrscheinlichkeiten, die natürlich davon abhängen, wieviele Ausgänge schon gesehen worden sind.
\(\endgroup\)


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bruno_de_fetti
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 28.01.2018
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-12


Danke für die Antwort tactac. Deinen Lösungsweg mit den Gleichungssystemen verstehe ich leider nicht. In der Uni sah der Lösungsweg so aus:

fed-Code einblenden

Vielleicht kannst du mir den nochmal erklären? Das wäre sehr nett!



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tactac
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 1240
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-03-12


Man versteht am besten, was man sich selbst ausgedacht hat. Darum schlage ich vor, du fängst irgendwie an, dir etwas auszudenken. Sobald du dabei präzise genug wirst, und dafür argumentieren kannst, dass die gemachten Behauptungen stimmen könnten, bleibt nur noch Rechnerei übrig.



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bruno_de_fetti
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 28.01.2018
Mitteilungen: 19
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-12


Okay, dass werde ich mir zu Herzen nehmen. Morgen melde ich mich wieder.



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bruno_de_fetti
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 28.01.2018
Mitteilungen: 19
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-13


Wenn man einen Wert erwürfelt hat, wird immer ein Wert weniger für die folgenden Würfe als gültig angesehen. Das Spiel muss man dann so lange wiederholen, bis es nur noch einen Wert gibt, den man erreichen muss.

Und die fed-Code einblenden sind wie gesagt uniform auf 1,...,r verteilt.

Das habe ich mir ausgedacht.



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weird
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 4042
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-03-13


@bruno_de_fetti

Ein Blick in die Wikipedia

en.wikipedia.org/wiki/Coupon_collector's_problem#Calculating_the_expectation

kann natürlich auch nie schaden. Dazu müsste man allerdings wissen, wie das Problem heißt, was ich dir hiermit mitgeteilt habe.  wink



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bruno_de_fetti
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 28.01.2018
Mitteilungen: 19
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-13


Ich hätte nicht damit gerechnet, aber der Wikipedia-Artikel hat mir tatsächlich die Augen geöffnet! Vielen Dank für den Link! Ich hatte mir zwar schon den deutschen Artikel "Sammelbilderproblem" durchgelesen, aber nicht verstanden. Die englische Version habe ich verstanden. Danke!



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JoeM
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.10.2015
Mitteilungen: 328
Aus: Oberpfalz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-03-14


Hallo bruno_de_fetti,

mein Vorschlag zur Herleitung ....


viele Grüße

JoeM



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bruno_de_fetti
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 28.01.2018
Mitteilungen: 19
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-17


Danke JoeM. Das ist sehr informativ und hilfreich!



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bruno_de_fetti hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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