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Mathematik » Analysis » Integration der Ableitung der Airyfunktionen
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Universität/Hochschule Integration der Ableitung der Airyfunktionen
Widerspruch
Neu Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 22.02.2017
Mitteilungen: 3
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-03-13

\(\begingroup\)
Hallo zusammen,

ich sitze immer noch an Airyfunktionen und habe dazu diesen Beitrag entdeckt, der eine Antwort auf die Frage ist, wie durch konkretes Nachrechnen gezeigt werden kann, dass die Airyfunktion erster Art die Airygleichung löst.

Darin wird so beiläufig erwähnt, partiell zu integrieren, als wäre die Lösung wirklich trivial. Ich komme aber gar nicht darauf, da ich nicht sehe, wie ich die Terme reduzieren soll, sodass sich der Integrand auch wirklich vereinfacht.
Außerdem ist das Kurvenintegral mit der in dem Beitrag gewählten Kurve doch gar nicht wohldefiniert, oder? Denn (komplexe) Kurvenintegrale sind nur für eine stetig differenzierbare Kurve definiert.

Ich bleibe also bei dem Punkt stecken, dass ich nach zweimaliger Ableitung erhalte
\[\frac{\mathrm{d}^2\mathrm{Ai}(z)}{\mathrm{d}z^2}=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int\limits_{C}^{}{\mathrm{d}t\ t^2\mathrm{e}^{\frac{t^3}{3}-zt}}\]
Egal welchen "Term", \(t^2\) oder \(\mathrm{e}^{...}\), ich nehme, die "Komplexität" des Integranden steigt an, oder stelle ich mich gerade wirklich dumm an?
\(\endgroup\)


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ReimerBruechmann
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.06.2017
Mitteilungen: 57
Aus: Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-03-14

\(\begingroup\)
Hallo $Widerspruch$,

für die Funktion

$$\tag{1} Ai(z) = \frac{1}{2\pi i} \int\limits_C \exp\left(\frac{t^3}{3} - zt\right)\, dt$$

erhalten wir nach zweimaliger Differentiation

$$\frac{d^2 Ai(z)}{dz^2} = \frac{1}{2\pi i} \int\limits_C t^2\exp\left(\frac{t^3}{3} - zt\right)\, dt,$$


sofern die Vertauschung der Integration und der Differentiation denn erlaubt ist! Dann folgt

$$\frac{d^2 Ai(z)}{dz^2} =
{ \frac{1}{2\pi i} \int\limits_C (t^2-z)\exp\left(\frac{t^3}{3} - zt\right)\, dt+\frac{1}{2\pi i} \int\limits_C z\exp\left(\frac{t^3}{3} - zt\right)\, dt}=
{ \left.\frac{1}{2\pi i} \exp\left(\frac{t^3}{3} - zt\right)\right\vert_C+\frac{z}{2\pi i} \int\limits_C \exp\left(\frac{t^3}{3} - zt\right)\, dt}=
{ \left.\frac{1}{2\pi i} \exp\left(\frac{t^3}{3} - zt\right)\right\vert_C+z Ai(z)}.$$


Sind wir also in der Lage zu zeigen, dass die Vertauschung der Grenzübergänge zulässig war und dass

$$0=\left.\frac{1}{2\pi i} \exp\left(\frac{t^3}{3} - zt\right)\right\vert_C$$

bei entsprechender Auslegung des Integrationsweges C ist, so folgt offensichtlich

$$\frac{d^2 Ai(z)}{dz^2} - z Ai(z)=0.$$

Der verwendete Weg C darf dabei nicht geschlossen sein, da die Formel (1) einen auf ganz $\mathbb C$ holomorphen Integranden hat und folglich dann einen Wert 0 zurückgibt.

Nicht jeder Autor verlangt einen stetig differenzierbaren Weg, z.B. Kapitel 185, Lehrbuch der Analysis, Teil 2, Heuser. Dort wird nur verlangt, dass der Weg rektifizierbar ist.

Gruß Reimer

\(\endgroup\)


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