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Analysis » Integration » Fouriertransformation sin(w0*t)*rect(t)
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Universität/Hochschule Fouriertransformation sin(w0*t)*rect(t)
Luisbistdues
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 29.08.2008
Mitteilungen: 7
Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-03-20

\(\begingroup\)
Hallo,

ich benötige Hilfe bei der Fouriertransformation und hoffe auf Unterstützung, da ich mich schon etwas länger mit der Sache quäle.

Problem Teil1:
--------------
Ich möchte von von einer um den Nullpunkt symmetrischen Rechteckfunktion, die mit einem Sinus moduliert(multipliziert) wurde die Transformierte errechnen.

Ich habe die Sache so dargestellt:

\[x(t)=sin(\omega_0*t)*(\Theta(t+T)-\Theta(t-T))\]
Dann erhalte ich nach Integration:

\[x(\omega)=

\frac{1}{2\cdot(\omega+\omega_0)} \cdot e^{T \cdot i \cdot (\omega + \omega_0)}

-\frac{1}{2\cdot(\omega+\omega_0)} \cdot e^{-T \cdot i \cdot (\omega + \omega_0)}

-\frac{1}{2\cdot(\omega-\omega_0)} \cdot e^{T \cdot i \cdot (\omega - \omega_0)}

+\frac{1}{2\cdot(\omega-\omega_0)} \cdot e^{-T \cdot i \cdot (\omega - \omega_0)}

 \]
Das kann ich noch überführen in
\[
x(\omega)=
\frac{i}{(\omega+\omega_0)} \cdot \sin(T \cdot(\omega + \omega_0))

-\frac{i}{(\omega-\omega_0)} \cdot \sin(T \cdot(\omega - \omega_0))
 \]
Es fällt mir leider nichts mehr ein, wie ich das noch vereinfachen könnte.

Frage1: Stimmt das Ergebnis?


Problem Teil 2:
---------------
Jetzt habe ich das Ergebnis überprüfen wollen und nochmal anders gerechnet:

\[x(t)=\Im(e^{i \cdot \omega_0 \cdot t}*(\Theta(t+T)-\Theta(t-T)))\]
da ja gilt

\[

e^{i \cdot \omega_0 \cdot t}= \cos(\omega_0 \cdot t) + i \cdot \sin(\omega_0 \cdot t)

\]
Wenn ich das durchrechne kommt raus
\[
x(\omega)=\Im (\frac{2}{\omega-\omega_0}  \sin((\omega-\omega_0) \cdot T))=0
\] Das Ergebnis scheint Unsinn zu sein und zudem nicht dem vorherigen Ergebnis zu entsprechen.
Wie kann das denn sein?

Seltsamerweise ergbit
\[
x(\omega)=\Re (\frac{2}{\omega-\omega_0}  \sin((\omega-\omega_0) \cdot T))=\frac{2}{\omega-\omega_0}  \sin((\omega-\omega_0) \cdot T)
\] ein Ergebnis, dass man im Internet ähnlich findet, aber das müsste doch falsch sein, da ich den Realteil nehme. Zudem entspricht es nicht dem Ergebnis oben. Ist das etwa falsch?

Globale Frage:
--------------
Wie komme ich denn zu dem richtigen Ergebnis?
Habt Ihr Tipps für mich?

Grüße


\(\endgroup\)


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rlk
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.03.2007
Mitteilungen: 10319
Aus: Wien
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-03-21

\(\begingroup\)
Hallo Luisbistdues,
Dein erstes Ergebnis sieht qualitativ richtig aus, ich habe aber nicht nachgerechnet. Du solltest aber ein anderes Symbol für die Fouriertransformierte von $x$ verwenden. Das Symbol $*$ für die Multiplikation ist hier ungünstig, weil es zu Verwechslung mit dem Faltungssymbol $\star$ kommen könnte. Habt ihr den Faltungssatz schon gelernt?

Beachte, dass ungerade Funktioen wie $x$, $t\mapsto\sin(\omega_0 t)$ rein imaginäre Fouriertransformierte besitzen. Mir ist nicht klar, wie Du im zweiten Teil gerechnet hast, aber die Bildung des Imaginärteils vertauscht nicht mit der Fouriertransformation:$$\mathcal{F}\left(\Im(x)\right)\neq\Im\left(\mathcal{F}(x)\right)$$

Das dritte Ergebnis ist falsch, es fehlt dort der zu $\frac{\sin(T(\omega+\omega_0))}{\omega+\omega_0}$ proportionale Anteil.

Servus,
Roland


[Verschoben aus Forum 'Mathematik' in Forum 'Analysis' von rlk]
\(\endgroup\)


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Luisbistdues
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 29.08.2008
Mitteilungen: 7
Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-21

\(\begingroup\)
Hallo rlk,

vielen Dank für deine Rückmeldung.

Die Sache lässt mir einfach keine Ruhe, da ich offenbar mindestens ein Brett vor dem Kopf habe.
Ich habe gerade wieder ~3 Stunden "verblasen" und ich komme nicht weiter.

Du hast geschrieben:

2018-03-21 00:46 - rlk in Beitrag No. 1 schreibt:
, aber die Bildung des Imaginärteils vertauscht nicht mit der Fouriertransformation:$$\mathcal{F}\left(\Im(x)\right)\neq\Im\left(\mathcal{F}(x)\right)$$

Ich habe das gerade nachvollzogen und verstehe auch, dass du da Recht hast.

Aber man findet häufig den Fall, dass man im komplexen rechnet und dann das Ergebnis wieder ins nicht Komplexe überführt.

Beispiel:
Aber weshalb stimmt denn die Rechnung von Bronstein:



Wenn ich das verstehen würde, dann wären vermutlich die anderen Sachen auch klar.

Kannst du mir da weiterhelfen?

Grüße
\(\endgroup\)


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Luisbistdues
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
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Mitteilungen: 7
Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-21


Hallo nochmal,

jetzt habe ich das Bronstein-Ergebnis mal nachrechnen wollen in der Hoffnung eine Erleuchtung zu finden.

Leider drehe ich jetzt komplett durch, da ich etwas völlig anderes als Ergebnis erhalten habe. Leider finde ich auch hier den Fehler nicht.

Was mache ich nur falsch?

Bitte um Hilfe!!

Liebe Grüße
Louis

PS: Die etwas nach d aussehenden Zeichen sollen auch Alphas sein!!





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Luisbistdues
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 29.08.2008
Mitteilungen: 7
Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-22


Hallo zusammen,

hat wirklich niemand einen Tipp für mich?

Ich komme nicht zu dem Ergebnis im Bronstein... ich habe es gerade nochmals probiert.

Ich hoffe auf Unterstützung.

Liebe Grüße
Louis



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
rlk
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.03.2007
Mitteilungen: 10319
Aus: Wien
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-03-22

\(\begingroup\)
Hallo Louis,
die Rechnung in Beitrag  2 scheint ja auf der falschen Formel
$$\mathcal{F}f=\mathcal{F}\Re f^*\color{red}=\Re\mathcal{F}f^*$$
zu beruhen, was mich wundert, weil Bronstein als zuverlässige Quelle gilt. Was steht auf Seite 96?

Du kannst die Fouriertransformierte $\mathcal{F} f$ aber ausrechnen, indem Du $\cos(\omega_0 t)=\frac{1}{2}\left(\exp(\omega_0 t) + \exp(-\omega_0 t)\right)$ in das Fourierintegral einsetzt.

Habt ihr schon Distributionen wie $\mathcal{F}\cos(\omega_0 t)$ gelernt?

Weil $f$ weder gerade noch ungerade ist, besitzt $\mathcal{F}f$ sowohl reelle als auch imaginäre Anteile.

Ich hoffe, das hilft Dir,
Roland
\(\endgroup\)


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