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Mathematik » Topologie » Affine Abbildungen sind Homöomorphismen
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Universität/Hochschule Affine Abbildungen sind Homöomorphismen
EmmaLuchs
Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 22.03.2018
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-03-22

\(\begingroup\)
Hallo allerseits,

ich möchte zeigen, dass die Abbildung $f: \mathbb{R^{n}} \rightarrow \mathbb{R^{n}}, x \mapsto Ax+b$ ein Homöomorphimus ist, wobei $A$ eine reguläre, reelle $n \times n$-Matrix und b einen Vektor aus $\mathbb{R^{n}}$ darstellt.


Ich muss also zeigen, dass $f$ bijektiv und stetig (im topologischen Sinn) ist und die Umkehrfunktion $f^{-1}$ ebenfalls stetig ist.

Die Bijektivität habe ich folgendermaßen gezeigt:
Die Injektivität ist mit der Regularität von $A$ klar.
Sei $x := A^{-1}y-A^{-1}b$, dann gilt $f(x)=y \, \forall \, y \in \mathbb{R^{n}}$, also ist $f$ auch surjektiv.

Wie ich die Stetigkeit von $f$ zeigen soll, ist mir aber nicht ganz klar. Ich weiß, dass die Topologie, die ich betrachte, von der euklidichen Metrik induziert wird und dass lineare Abbildungen (wie $f$) zwischen normierten Räumen stetig sind. Ist das als Begründung für die Stetigkeit von $f$ und der Umkehrfunktion $f^{-1}$ mit $f^{-1}(x)=A^{-1}x-A^{-1}b$ ausreichend?

Schon einmal vielen Dank für Eure Hilfe.
\(\endgroup\)


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Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 3644
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-03-22

\(\begingroup\)
Polynome sind stetig. Die Koordinaten von $f$ sind (lineare) Polynome.

Der Beweis der Bijektivität erfolgt durch Angabe einer Umkehrabbildung $f^{-1}$. Injektivität und Surjektivität sind nicht nötig.

Es ist $f^{-1}$ von derselben Gestalt wie $f$ (also affin), also auch stetig.

\(\endgroup\)


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EmmaLuchs
Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-24


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