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Mathematik » Topologie » Stetigkeit diskreter Funktionen
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Universität/Hochschule J Stetigkeit diskreter Funktionen
holsteiner
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-04-15


Moin,
ich habe eine Frage bezogen auf die formale Stetigkeit in der diskreten Mathematik. Für Funktionen über höchstens abzählbaren diskreten Mengen macht die Stetigkeit ja bekanntlich wenig Sinn, obwohl man sie formal definieren kann. Es gibt ja immer die diskrete Topologie, in der allen Mengen gleichzeitig offen und abgeschlossen sind. Ich habe folgendes Beispiel konstruiert, das mir ein wenig Kopfzerbrechen macht.

Sei folgende Topologie gegeben:


Es sei ein System offener Mengen durch die Intervalle  <math>I_{ab} \in \{ x | x\in \mathbb{Z}; a<x<b;~~~ a,b \in 2\mathbb{Z} \} \subset O </math> definiert.
Die leere Menge sowie die Menge <math>\mathbb{Z}</math> seien per Definition gleichzeitig offen und abgeschlossen. Die Intervalle sollen also nur dann offen sein, wenn das Minimum und das Maximum des Intervalls eine ungerade Zahl ist.

Lemma:
Die Menge der <math>I_{ab}</math>, deren beliebige Vereinigung, die leere Menge {} sowie die Menge <math> \mathbb{Z}</math>  bilden als System offener Mengen einen topologischen Raum.

Beweis:
die leere Menge {} und die Menge und beliebige Vereinigung sind definitionsgemäß Bestandteile des Mengensystems, der Durchschnitt von zwei Intervallen <math>I_{ab}</math> und <math>I_{cd}</math>  kann leer oder ein offenes Intervall sein,  je nachdem ob die beiden Intervalle gemeinsame Punkte haben oder nicht. Die Randpunkte des Durchschnitts von zwei Intervallen sind stets ungeraden Zahlen, damit ist das Intervall wieder offen.
<math>\diamond</math>
Es folgt, dass beliebige Mengen  von geraden Zahlen als Komplement offener Mengen abgschlossen sind, und beliebige Mengen von ungeraden Zahlen offen sind.

Sei nun eine Funktion f auf einer Teilmenge <math>U</math> von <math>\mathbb{Z}</math> definiert, <math>f : U \rightarrow B </math> mit <math> U \subset \mathbb{Z} </math>und <math> B \subset \mathbb{R}</math> definiert. Die Bildmenge B ist eine Menge diskreter Werte aus <math>\mathbb{R}</math>, der Raum <math>\mathbb{R}</math> sei mit der diskreten Topologie versehen.

Frage: Wann sind die Funktionen in diesem Beispiel stetig, wann unstetig?

Ich komme irgendwie nicht weiter, was an der unterschiedlichen Granularität der Topologien liegt. Ich finde nicht heraus, welche Funktionen stetig sind und welche nicht. Das Problem ist, Das alle Bildmengen offen sind, die Definitionsmengen aber nicht. Ich kann also für jede Funktion Mengen wählen, so das f unstetig ist, aber eben auch das Gegenteil. Ich weiß z.B. nicht, ob ich mir die Eigenschaft offen oder geschlossen im Bezug auf die Bildmenge wegen der diskreten Topologie  einfach frei wählen kann.

Andererseits habe ich versucht, eine geeignete Topologie für die Bildmenge  mit passender Granularität zu finden. Aber das ist mir irgendwie auch nicht gelungen.
 

Viele Grüße

holsteiner



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-04-15

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Hallo,

Betrachte zunächst mal nur den Fall $U=\mathbb Z$ und verwende, dass $f$ stetig ist, genau dann wenn $f$ in jedem Punkt stetig ist.
\(\endgroup\)


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darkhelmet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-04-15


Hi,

hast du schon bedacht, dass bei einer stetigen Abbildung in einen diskreten Raum alle Urbilder offen und abgeschlossen zugleich sein müssen?

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-04-15


Hallo holsteiner,

in Deiner Topologie auf $\Bbb Z$ ist eine Menge genau dann offen, wenn sie mit jeder geraden Zahl $2k$ auch deren ungerade Nachbarn $2k\pm1$ enthält.

Eine Abbildung $f\colon{\Bbb Z}\supseteq U\to{\Bbb R}$ ist daher genau dann stetig, wenn $f$ auf den Mengen $\{2k,2k\pm1\}\cap U$ konstant ist. Und das ist gleichbedeutend damit, dass $f$ auf den Zusammenhangskomponenten von $U$ (das sind die Teilmengen von $U$ ohne Lücken) konstant ist.

Grüße,
dromedar

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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holsteiner
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Aus: Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-15


Hallo,
vielen Dank für die Eure Antworten und für die Mühe, die ihr Euch mit meiner Frage gemacht habt.
 
@Nuramon:
Ich bin zunächst auch mit dieser Menge nicht weitergekommen. Nach der Antwort von dromedar ist mir jetzt alles klar.

@darkhelmet:
Danke, das ist eine wesentliche Anmerkung. Damit wird klar, dass auch für den Definitionsbereich nur eine diskrete Topologie sinnvoll ist.

@dromedar:
Vielen Dank, das war der entscheidende Hinweis. In dem Moment, in dem man eine Zusammenhangskomponente auf mehr als einen Punkt abbildet, bekommt man einen Widerspruch. Das liegt, wenn ich richtig nachgedacht habe daran, dass man eine Zusammenhangskomponente nicht vollständig in offene Mengen zerlegen kann sondern dass immer nicht-offene Restmengen übrigbleiben, die dann in die diskrete Topologie abgebildet werden müssen. Daher ist die Funktionen offenbar genau dann stetig, wenn die Bildmenge der Zusammenhangskomponente nur aus einem Punkt besteht.

Als Ergebnis schieße ich, dass die Verwendung einer diskreten Topologie nur dann sinnvoll ist, wenn sie auf Definitionsmenge und Bildmenge angewendet wird.

Aber was ist mit dem anderen Weg, ich müßte für die Bildmenge eine Topologie mit ähnlicher Granulation entwickeln? Im Grunde könnte ich für die Bildmenge eine wie oben definierte Topologie verwenden, die aber nicht auf <math>\mathbb{Z} </math> sondern auf aufsteigenden (oder absteigenden) Folgen aus <math>\mathbb{R} </math>definiert ist. Dazu müssen diese Folgen also irgendwie geordnet sein. Aber wenn f nicht monoton ist gibt es auch hier Probleme, dann geraten die Punkte durcheinander.

Ich denke, an dieser Stelle kommt man auch nicht weiter?


Vielen Dank

holsteiner

@edit:Ok, Ich hake erstmal ab.








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holsteiner hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
holsteiner hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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