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Mathematik » Geometrie » Transformationsmatrix
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Kein bestimmter Bereich Transformationsmatrix
Andreas88
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-04-15

\(\begingroup\)
Sehr geehrte Damen und Herren,

ich versuche ein rechnerisches Problem schon seit längerer Zeit zu lösen, und habe schon einiges ausprobiert, aber ich denke, ich brauche doch fremde Hilfe.

Also, es gibt zwei windschiefe Geraden \({g_1}\) und \({g_2}\) im \(R^3\), die verbinde ich mit der dritten Geraden \({g_V}\), aber mit festgelegten Winkel \({\alpha _1}\) und \({\alpha _2}\). D.h bei der kürzesten Verbindung wären dann die Winkel zwischen der \({g_1}\) und \({g_V}\) gleich 90° und dasselbe gilt auch für \({g_2}\) und \({g_V}\). Um für beliebige Winkel zu lösen (das habe ich schon gelöst), habe ich das Koordinatensystem passend "gedreht", sodass die Geraden \({g_1}\) und \({g_2}\) haben nun folgendes Aussehen:
\[{\vec x_1} = {r_1}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
0\\
0
\end{array}} \right),{\vec x_2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
0\\
0\\
h
\end{array}} \right) + {r_2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\cos \beta }\\
{\sin \beta }\\
0
\end{array}} \right).\] Daraus wird die \({g_V}\) gebildet, dann die Winkel (Winkel zwischen zwei Vektoren), und nach \(r_1\) und \(r_2\) umgestellt. Die Werte \(r_1\) und \(r_2\) werden dann im CAD Programm weiter verwendet. Da das Programm passend die View drehen für mich kann, musste ich über die Transformationsmatrix keine Gedanken machen, nun aber habe ich ein anderes Problem, sodass es wohl am einfachsten zu lösen wäre, wenn man Transformationsmatrix bestimmen würde, und da habe ich Problem.

\(h\) ist der kürzeste Abstand zwischen den Geraden, \(\beta\) ist der Winkel zwischen den Richtungsvektoren, diese Werte musste ich im CAD Programm messen, in Excel \(r_1\) und \(r_2\) berechnen, im CAD die Verbindungsgerade \({g_V}\) einzeichnen.

Im aktuellen Problem vermute ich, dass ich "vorhersagen" muss, wie die \({g_V}\) aussieht (im nicht gedrehten Raum), genauer, ich muss die Steigung der Geraden berechnen (also \(\Delta z/\sqrt {{x^2} + {y^2}} \)). Die Idee war, im gedrehten Raum die \({g_V}\) ausrechnen, und mit Rücktransformation in nicht gedrehten Raum "umrechnen". Oder geht es einfacher (da nur die Steigung gesucht ist) ?

Ich würde mich über die Hilfe freuen, vielleicht hatte schon jemand so ein Problem (für die Geraden im gedrehten Raum die Transformationsmatrix bestimmen).

Mit freundlichen Grüßen
\(\endgroup\)


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holsteiner
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-04-15

\(\begingroup\)
Hallo Andreas88,
willkommen auf dem Matheplaneten!
Ich würde Deine Aufgabe etwas allgemeiner mit Vektorrechung lösen. Du brauchst auch etwas lineare Algebra. Es folgt eine Ableitung für beliebige Geraden die noch nicht irgendwie transformiert wurden.


Zunächst die zwei Gradengleichungen in etwas geänderter Schreibweise ganz allgemein:

<math> x,y,x_0,y_0,x_m,y_m \in \mathbb{R}^3; a,b \in \mathbb{R} </math>

<math> x =  x_0 + a x_m </math>
<math> y =  x_0 + b y_m </math>

Jede Gleichung beschreibt eine Gerade, x und y bezeichnen hier zwei Punkte jeweils auf den beiden Geraden. a und b sind Deine unbekannten Variablen <math>r_1</math> und <math>r_2</math>. Ich will nur nicht so viel tippen :-) Das ganze artet sonst in unheimlich viel Rechenkram aus.
Ich hab das auch jetzt nur so runtergerechnet, Bitte nachprüfen.

Jetzt haben wir es ganz einfach, der Vektor zwischen beiden Punkten auf verschiedenen Geraden  ist einfach
<math> x-y </math>.

Was wir benötigen ist den Abstand. der soll minimal sein.
Wir können aber auch das Abstandsquadrat minimieren, das ist einfacher.
Das ist von a und b abhängig.

Das Abstandsquadrat ist einfach das Skalarprodukt * , also

 <math> M =  | x-y|^2 =  (x-y)*(x-y) </math>

Das Minimum bekommen wir einfach raus, indem wir das Extremum von
<math>M(a,b)</math> bestimmen. Das geht wieder einfach, wir müssen die partiellen Ableitungen null setzen. Da es kein Maximum gibt ist der Extremwert o.b.d.A das Minimum.

<math> \min M(a,b) \Leftrightarrow \partial M/\partial a =0 \wedge \partial M /\partial b =0 </math>

So. nun setzen wir ein

<math> x-y = x_0-y_0 + a x_m -b y_m </math>

Es sei <math> p_0 = x_0-y_0 </math>

<math> M= (x-y)*(x-y) = (p_0 + a x_m -b y_m)*(p_0 + a x_m -b y_m)</math>
<math> M= p_0*p_0 + 2 p_0*(a x_m-b y_m) + (a x_m-b y_m)*(a x_m-b y_m)</math>

Nun nach a und b ableiten

<math> \partial M /\partial a = 2 p_0 *x_m + 2 a x_m*x_m -2 b x_m * y_m =0</math>
 sowie
<math> \partial M /\partial b = -2 p_0*y_m + 2 b y_m*y_m -2 a x_m * y_m =0</math>

Bitte lieber noch mal nachrechnen....

Diese Gleichungen fassen wir zu einem linearen Gleichungsystem zusammen.

<math> 0 = \left( \begin{array}{c} 2 p_0*x_m\\-2 p_0*y_m \end{array} \right)  + \(  \begin{pmatrix} 2 x_m*x_m & -2 x_m * y_m \\ -2 x_m * y_m & 2 y_m*y_m  \end{pmatrix} \)   \left( \begin{array}{c} a\\ b \end{array} \right)</math>

Nun können wir das nach a und b auflösen, indem wir die inverse Matrix bestimmen.
<math> \left( \begin{array}{c} a\\ b \end{array} \right)= -1/D
\(  \begin{pmatrix} 2 y_m*y_m & 2 x_m * y_m \\ 2 x_m * y_m & 2 x_m*x_m  \end{pmatrix} \)  \left( \begin{array}{c} 2 p_0*x_m\\-2 p_0*y_m \end{array} \right) </math>

D ist hier die Determinante der Matrix.

<math> D = 4 x_m*x_m y_m*y_m - 4 (x_m*y_m)^2  </math>

Das sieht zwar chaotisch aus ist aber ganz einfach. Es steht eine Bestimmungsgleichung für a und b da, die man oben in die Gleichungen einsetzen muss. Dabei ist * das Skalarprodukt.


Ich will das noch eben hinschreiben:

<math>a = -(y_m*y_m \cdot p_0*x_m - x_m*y_m\cdot p_0*y_m)/(x_m*x_m \cdot y_m*y_m - (x_m *y_m)^2)  </math>

 
<math>b = -(x_m*y_m \cdot p_0*x_m - x_m*x_m \cdot p_0*y_m)/(x_m*x_m \cdot y_m*y_m - (x_m *y_m)^2) </math>

Eine ziemliche Rechnerei. Ohne diese Ansätze wird es vermutlich noch komplizierter.

Wie geht es weiter? Du musst überall die Skalarprodukte einsetzen, z.B für
<math>p_0</math> ist in Deinem Beispiel einfach (0,0,h), y_m ist bei Dir (1,0,0). Wie man sieht ist das Skalarprodukt einfach (p_0 * y_m) einfach 0.
Die Gleichung ist ja ganz allgemein und kann für alle Gradengleichungen verwendet werden. Je mehr 0 in den Daten sind, desto einfacher die Rechnung.

Wenn Du a und b in <math>x= x_0 + a x_m</math>sowie <math>y=y_0 + b y_m </math>einsetzt, bekommst Du zwei Punkte x und y, (bei Dir x_1 und x_2). Durch diese Punkte geht die gewünschte Gerade mit minimalem Abstand.

Ich hoffe ich konnte Dir helfen. Etwas Mathematik ist für die Ableitung schon erforderlich, für das Einsetzen in das Ergebnis eher nicht, das ist reine Rechnerei. Da ich mich gerne verrechne, solltest Du alles noch mal nachrechnen.

Ich schau die Tage auch noch mal drauf, wenn noch Fehler drin sind korrigiere ich sie.

Falls noch was unklar ist melde Dich.

Viele Grüße

holsteiner



\(\endgroup\)


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Andreas88
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-16


Hallo Holsteiner

Danke für Deine Antwort

Ich habe Deinen Lösungsvorschlag durchgelesen, aber nicht durchgearbeitet (also auch nicht komplett verstanden)

Eine Frage habe ich aber schon: Deine Lösung findet nur die Gerade, die durch die Punkte mit dem kürzesten Abstand zwischen den Geraden g_1 und g_2 geht, richtig? Ich glaube, ich habe nicht ausreichend klar erklärt: r_1 und r_2 geben die Abstände von den Punkten mit dem kürzesten Abstand. Die Formel [in Abhängigket von Alpha 1 und Alpha 2, beta und h], für r_1 und r_2 habe ich schon (mit Mathematica). Nun aber ist bei mir Notwendigkeit entstanden, die Neigung der Geraden (g_V) zu berechnen, aber nicht im gedrehten Raum. Ich schreibe jetzt vom Handy im Bus, und TeX kann ich nicht, nur auf dem Computer. Ich werde zuhause nach dem Feierabend mehr Formeln benutzen.

Ich möchte unterstreichen: Alpha 1 gibt den Winkel zwischen der Verbindungsgerade und g_1; Alpha 2 zwischen  der Verbindungsgerade und g_2 an, aber nicht nur für 90°, sondern mindestens zwischen 90° bis 180°. Dadurch wird es nicht einfacher.

Mehr später

Mit freundlichen Grüßen



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Andreas88
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-16

\(\begingroup\)
Hallo, nun versuche ich mit Formeln zu erklären, und vielleicht meine "Vermutungen", wie ich lösen könnte. Mein Wunsch ist natürlich möglichst einfache Formel (Steigung der Verbindungsgerade) zu bekommen, da ich Algebra nicht kann, hängt vieles von dem Ansatz ab.

Richtungsvektor der \(g_V\) im gedrehten Raum:\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{r_2}\cos \beta  - {r_1}}\\
{{r_2}\sin \beta }\\
h
\end{array}} \right)\]
Die Winkel zwischen der \(g_V\) und \(g_1\) und \(g_2\):

\[\left\{ \begin{array}{l}
\cos {\alpha _1} = \frac{{{r_2}\cos \beta  - {r_1}}}{{\sqrt {{h^2} + r_1^2 - 2\cos \beta  \cdot {r_1}{r_2} + r_2^2} }},\\
\cos {\alpha _2} = \frac{{{r_1}\cos \beta  - {r_2}}}{{\sqrt {{h^2} + r_1^2 - 2\cos \beta  \cdot {r_1}{r_2} + r_2^2} }}.
\end{array} \right.\] Nun, hat man nach \(r_1\) und \(r_2\) umgestellt, hat man die Entfernungen von den Punkten mit dem minimalem Abstand.

Dann könnte man so vorgehen:

\[x - y = {x_0} - {y_0} + {r_1} \cdot \frac{{{{\vec x}_m}}}{{\left| {{x_m}} \right|}} - {r_2} \cdot \frac{{{{\vec y}_m}}}{{\left| {{y_m}} \right|}}\] und dann die Steigung berechnen. Nachteil ist hier, dass man für \(r_1\) und \(r_2\) richtigen Vorzeichen einsetzen muss.

Man könnte, wenn ich die Drehungsmatrix bestimmen könnte (ist es doch möglich mit nur einer Drehung die Geraden in die Form \({{\vec x}_1}\) und \({{\vec x}_2}\) zu bringen?). Dann mit der Rücktransformation auf den nicht gedrehten Raum zu kommen?

Kann man Deinen Lösungsvorschlag noch für beliebige \({\alpha _1}\) und \({\alpha _2}\) adaptieren?

Mit freundlichen Grüßen
Andreas
\(\endgroup\)


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holsteiner
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-04-16


Hallo Andreas88,
ich hab Dein Problem jetzt verstanden.
Man kann die Formeln auch fűr beliebige Winkel entwickeln. Ich melde mich, alles genau aufzuschreiben dauert etwas.

Viele Grüße

holsteiner



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holsteiner
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-04-18


Hallo Andreas88,
die gestellte Aufgabe zu Lösen erfordert eine Menge Rechenaufwand. Bitte melde Dich nochmal, ob Du weiter an einer Lösung interessiert bist, dann versuche ich es weiter. Unter Umständen ist es sinnvoll, ein CAS zu benutzen, ich habe selbst aber außer wolframalpha keinen Zugang zu einem derartigen System.


Ich bleibe zunächst bei den von oben definierten Geradengleichungen. Im vorletzten Thread steht, wie man  <math>x_0</math> und <math>y_0</math> allgemein so ausrechnet, dass sie einen  minimalen Abstand haben. Ich hab die Lösung jetzt für allgemeine <math>\alpha, \beta</math> erweitert. Da es dann aber mehr als eine Lösung gibt, entsteht ein  nichtlineares Gleichungsystem, das nur mit sehr viel Rechnerei zu lösen ist. Möglicherweise kann man, wie Du vorschlägst, es durch geschickte Wahl der Parameter vereinfachen, aber ich weiss im Moment noch nicht welche das sind.

Also los:

<math> x,y,x_h,y_h,x_m,y_m \in \mathbb{R}^3; r_1,r_2 \in \mathbb{R} </math>

<math> x =  x_0 + r_1 x_m </math>
<math> y =  y_0 + r_2 y_m </math>

 <math>x_0</math> und <math>y_0</math> sind jetzt zwei beliebige Punkte auf jeweils einer Geraden. Es können natürlich auch die Punkte sein, für die die Geraden minimalen Abstand haben, aber das ist nicht notwendig.  Wenn man  für <math>x_0</math> und <math>y_0</math> die Punkte, die durch den minimalen Abstand definiert werden, einsetzt, sind die Punkte <math>r_1</math> und <math>r_2</math>  die wie bei Dir oben definierten Parameter.

Der Vektor zwischen beiden Punkten auf verschiedenen Geraden  ist einfach
<math> x-y </math>.

Jetzt wollen sollen die Verbindungsgrade jeweils einen definierten Winkel (<math>\alpha, \beta </math> zu den beiden Graden x und y.

Wir nutzen das Skalarprodukt:

<math>(x_x,x_y,x_z) * (y_x,y_y,y_z) = x_x y_x + x_y y_y + x_z y_z =   |(x_x,x_y,x_z)| * |(y_x,y_y,y_z)| \cdot \cos\phi </math>

wobei
<math>|x| = \sqrt{ (x*x)}</math>

<math>|x_m||x-y| \cos \alpha = x_m * (x-y) </math>
<math>|y_m||x-y| \cos \beta  = y_m * (x-y) </math>


Im Prinzip entspricht das dem Ansatz von oben, denn bei minimalem Abstand gilt


<math> 0 = x_m * (x-y) </math>
<math> 0  = y_m * (x-y) </math>

Somit kann die gleiche Rechnung für beide Fälle, Suche des minimalen Abstand und Suche des Abstands unter bestimmten Winkeln, verwendet werden.
Das letztere ist nur ungleich komplizierter.

Nun weiter:

<math> |x_m||g|\cos \alpha  = x_m * g = x_m * (x-y) </math>
<math> |y_m||g|\cos \beta   = y_m * g = y_m * (x-y)  </math>

<math> g = x_0-y_0 + r_1 x_m - r_2 y_m = x_d + r_1 x_m - r_2 y_m </math>

mit <math> x_d \in \mathbb{R}^3, x_d= x_0-y_0</math>.

Nun die Beträge:

<math> |x_m|^2 =  x_m*x_m</math>
<math> |y_m|^2 =  y_m*y_m</math>
<math> |g|^2 = ( x_d + r_1 x_m - r_2 y_m)*( x_d + r_1 x_m - r_2 y_m)</math>
<math> x_m*g = x_m*( x_d + r_1 x_m - r_2 y_m)</math>
<math> y_m*g = y_m*( x_d + r_1 x_m - r_2 y_m)</math>

Jetzt fängt die Rechnerei erst richtig an. Man muss beide Seiten ausmultipizieren und * ebenfalls komplett hinschreiben.

Im Prinzip erhält man ein Gleichungsystem,
das neben <math> r_1, r_2</math> auch deren Potenzen erhält.

Dies System ist nicht linear, die Auflösung ist eine ziemlich aufwendig.

Soweit bis hierher. Wenn Du weiter Interesse hast, melde Dich.
 

Viele Grüße

holsteiner






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Andreas88
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-18


Hallo :)

Da ich nur Steigung der Verbindungsgerade brauche, kann man nur Richtungsvektor der Verbindungsgerade betrachten. Der Richtungsvektor der Verbindungsgerade mit dem Minimalen Abstand wäre einfach (x_m)×(y_m).
Ich erinnere mich (glaube ich), dass das Kreuzprodukt der Vektoren kann man auch durch Gleichungssystem H•(x_m)=0 und H•(y_m)=0 ausrechnen (• skalarprodukt) (Da wäre die Differenzialrechnung nicht notwendig)

Sind x_m und y_m normiert, stelle ich mir gerade vor, dass es auch für beliebige Winkel Alpha machbar wäre. Muss aber noch testen. Natürlich bin ich an einer Lösung interessiert :) Aber ich möchte schon mal bei Dir bedanken, für Deinen Ansatz.
Ich werde meinen Ansatz testen (könnte erst am Wochenende passieren), dann melde ich mich. Du könntest in Zwischenzeit vielleicht auch meinen letzten Ansatz testen, ob ich mich nicht doch irre.

ps: die Lösung hat mindestens biquadrsrischen Minimalpolynom (wenn man mit einfachen Zahlen testet). Vorerst kannst Du Pause bei Deinem Ansatz einlegen. Vielleicht hast Du weitere Ideen. Ich bedanke mich schon mal. Ich werde mich noch melden (vermutlich in paar Tagen)

Mit freundlichen Grüßen
Andreas



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holsteiner
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-04-19


Hallo Andreas88,
Du hast recht mit den Steigungen. Dadruch wird einiges einfacher und damit besser lösbar. Ich hab meinen Beitrag 5 dahingehend korrigiert und melde mich wieder.

Viele Grüße

holsteiner



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Andreas88
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-19

\(\begingroup\)
So, ich melde mich nun auch :)

Ich habe versucht zu lösen (aber nicht manuell)

Seien \({\vec a}\) und \({\vec b}\) Vektoren mit Länge 1.

Der Richtungsvektor der Verbindungsgerade ist dann \({\vec c}\).

Die Gleichungen:
\[\left\{ \begin{array}{l}
{a_1}{c_1} + {a_2}{c_2} + {a_3}{c_3} = \cos {\alpha _1},\\
{b_1}{c_1} + {b_2}{c_2} + {b_3}{c_3} = \cos {\alpha _2}.
\end{array} \right.\]
Es kommen aber Lösungen raus, die vom Parameter z.B \({c_1}\) abhängen, und dieser Vektor ist nicht eindeutig. Irgendwas stimmt nicht.
\[\vec c = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{c_1}}\\
{\frac{{{b_3}\left( {{a_1}{c_1} - \cos {\alpha _1}} \right) + {a_3}\left( {\cos {\alpha _2} - {b_1}{c_1}} \right)}}{{{a_3}{b_2} - {a_2}{b_3}}}}\\
{\frac{{{a_2}\left( {{b_1}{c_1} - \cos {\alpha _2}} \right) + {b_2}\left( {\cos {\alpha _1} - {a_1}{c_1}} \right)}}{{{a_3}{b_2} - {a_2}{b_3}}}}
\end{array}} \right)\]
Der Ansatz ist vielversprechend, aber irgendetwas übersehe ich :(

da ist mir was eingefallen:
vielleicht \(c_1^2 + c_2^2 + c_3^2 = 1\) fordern?

Und noch das:
\[\left\{ \begin{array}{l}
{a_1}{c_1} + {a_2}{c_2} + {a_3}{c_3} = \cos {\alpha _1},\\
 - {b_1}{c_1} - {b_2}{c_2} - {b_3}{c_3} = \cos {\alpha _2},\\
c_1^2 + c_2^2 + c_3^2 = 1.
\end{array} \right.\]
Mit freundlichen Grüßen
Andreas
\(\endgroup\)


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holsteiner
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-04-21


Hallo Andreas88,
ich glaube nicht das so geht. Die Richtung der Verbindungsgeraden ist nicht nur von den Richtungsvektoren der beiden anderen Geraden abhängig. Stell Dir einfach folgende Fälle vor:
a) <math>\vec a</math> und <math>\vec b</math> gehören zu sich kreuzenden Geraden.
b) Die gleichen Vektoren <math>\vec a</math> und <math>\vec b</math> gehören zu windschiefen Geraden.

In beiden Fällen sind die Richtungsvektoren <math>\vec a</math> und <math>\vec b</math> dieselben, das Ergebnis <math>\vec c</math> aber noch lange nicht.

Du musst die Fußpunkte mit berücksichtigen.
Ich hab auch mal weitergerechnet, aber es wird eine Rechnerei.

hier kommt der nächste Teil der Rechnung.


<math> |x_m| |g| \cos \alpha  =  x_m * g </math>
<math> |y_m| |g| \cos \beta    = y_m * g  </math>

<math> g= (x-y) = x_d + r_1 x_m - r_2 y_m </math>

<math> |x_m|^2 |g|^2 \cos^2 \alpha  -  (x_m * g)^2 =0 </math>
<math> |y_m|^2 |g|^2 \cos^2 \beta   -  (y_m * g)^2 =0 </math>


wir setzen

<math>g=x_d + g_m</math>
<math>g_m = r_1 x_m - r_2 y_m</math>

<math>|g|^2 = (x_d+g_m)(x_d +g_m) = x_d*x_d + 2 x_d * g_m + g_m*g_m</math>

<math>(x_m * g)^2 = x_m * x_d + x_m *g_m = (x_m * x_d)^2 + (x_m*g_m)^2 + 2 (x_m *x_d)(x_m * g_m)</math>

<math>(x_m*x_m) (x_d*x_d + 2 x_d * g_m + g_m*g_m)  \cos^2 \alpha -  (x_m * x_d)^2 + (x_m*g_m)^2 + 2 (x_m *x_d)(x_m * g_m)=0</math>
<math>(y_m*y_m) (x_d*x_d + 2 x_d * g_m + g_m*g_m)  \cos^2 \alpha -  (y_m * x_d)^2 + (y_m*g_m)^2 + 2 (y_m *x_d)(y_m * g_m)=0</math>
 
Wir sortieren nach Potenzen von <math>g_m</math>, wobei <math>A_x,C_x \in \mathbb{R}, B_x \in \mathbb{R}^3</math>


<math>A_x = (x_m*x_m)(x_d*x_d) \cos^2 \alpha -  (x_m * x_d)^2</math>
<math>B_x = 2(x_m*x_m) x_d \cos^2 \alpha  - 2 (x_m *x_d) x_m</math>  
<math>C_x= (x_m*x_m)  \cos^2 \alpha </math>  


Ebenso für y,  <math>A_y,C_y \in \mathbb{R}, B_y \in \mathbb{R}^3</math>

<math>A_y = (y_m*y_m)(x_d*x_d) \cos^2 \beta -  (y_m * x_d)^2</math>
<math>B_y =   2(y_m*y_m) x_d \cos^2 \beta  - 2 (y_m *x_d) y_m</math>
<math>C_y = (y_m*y_m)  \cos^2 \beta  </math>


Und daraus folgt

<math>A_x+B_x * g_m  + C_x (g_m*g_m) - (x_m*g_m)^2  =0</math>

<math>A_y+B_y * g_m  + C_y (g_m*g_m) - (y_m*g_m)^2  =0</math>

 und nach einsetzen:


<math>A_x+(B_x * x_m)r_1 -(B_x * y_m)r_2   + C_x (x_m* x_m)r_1^2 - 2 (x_m *y_m) r_1 r_2  + (y_m*y_m) r_2^2,
- (x_m*x_m)r_1^2 -2 (x_m* y_m)r_1 r_2 + (y_m* y_m)r_2^2  =0</math>

So, nun bin ich erst mal wieder am Ende meiner Zeit angekommen.

Man sieht, man bekommt ein Gleichungssystem der Art

<math>c_1 + c_2 r_1 + c_3 r_2 + c_4 r_1^2 + c_5 r_2^2 + c_6 r_1 r_2=0</math>
<math>d_1 + d_2 r_1 + d_3 r_2 + d_4 r_1^2 + d_5 r_2^2 + d_6 r_1 r_2=0</math>

Die Konstanten <math>c_i, d_i \in \mathbb{R}</math> bekommt man nach nervtötender Rechnung und Sortierung der Terme  aus den verschiedenen Skalarprodukten der vorherigen Gleichung, z.B. im einfachen Fall <math>a_1 = A_x</math> u.s.w.

Damit ist das Spiel aber noch nicht zuende. Die Gleichung ist nichtlinear, es kann verschiedene Lösungen, auch gar keine Lösung geben.Allein diese Gleichung aufzulösen ist eine Sache für sich.

Denk Dir die beiden Geraden sind parallel, ein Winkel <math> \alpha</math> ist 30° der andere <math>\beta</math> ist 90°. Dann gibt es keine Lösung.



Zunächst bekommt eliminiert man <math>r_1 r_2</math> durch Subtraktion der Gleichungen.
Dann kann man mit der pq Formel diese Gleichung nach wahlweise z.B.nach <math>r_1</math> auflösen. Dann setzt man sie in eine der ursprünglichen Gleichungen ein. Es entsteht eine wilde Gleichung mit Wurzeltermen in Abhängigkeit von <math>r_2</math>.
Die Nullstellen dieser Gleichung sind dann endlich die Werte  <math>r_2</math>.

Ich empfehle dringend eine CAS System oder eine numerische Lösung der Problems. Das will man wirklich nicht alles durchrechnen. Ich glaube auch nicht, dass es einen einfacheren Weg gibt. Jeder andere führt zu einem ähnlich komplizierten Ergebnis. Lediglich die Skalarprodukte kann man durch geschicktes wählen der Parameter vereinfachen, das hast Du ja schon versucht.


Viele Grüße

holsteiner



 





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Andreas88
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Hallo Holsteiner

Die sich kreuzende oder parallele Geraden liegen in einer Ebene (sind Spezialfälle), die man ausschließen kann. Für die windschiefe Geraden gilt mein letztes Gleichungssystem. Ich dachte nur, die "Lösung" will keiner sehen :)
\[{\vec c_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - \frac{{\sqrt { - {{\left( {{a_3}{b_2} - {a_2}{b_3}} \right)}^2}\left( {a_3^2\left( {{{\cos }^2}\left( {{\alpha _2}} \right) - b_1^2 - b_2^2} \right) + a_2^2\left( {{{\cos }^2}\left( {{\alpha _2}} \right) - b_1^2 - b_3^2} \right) + a_1^2\left( {{{\cos }^2}\left( {{\alpha _2}} \right) - b_2^2 - b_3^2} \right) + 2{a_3}{b_3}\cos \left( {{\alpha _2}} \right)\cos \left( {{\alpha _1}} \right) + 2{a_2}{b_2}\left( {{a_3}{b_3} + \cos \left( {{\alpha _1}} \right)\cos \left( {{\alpha _2}} \right)} \right) + 2{a_1}{b_1}\left( {{a_2}{b_2} + {a_3}{b_3} + \cos \left( {{\alpha _1}} \right)\cos \left( {{\alpha _2}} \right)} \right) + b_3^2{{\cos }^2}\left( {{\alpha _1}} \right) + \left( {b_1^2 + b_2^2} \right){{\cos }^2}\left( {{\alpha _1}} \right)} \right)}  + a_2^2{b_1}\cos \left( {{\alpha _2}} \right) + {a_2}{b_2}\left( {{b_1}\cos \left( {{\alpha _1}} \right) - {a_1}\cos \left( {{\alpha _2}} \right)} \right) - {a_1}b_2^2\cos \left( {{\alpha _1}} \right) + \left( {{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3}} \right)\left( {{a_3}\cos \left( {{\alpha _2}} \right) + {b_3}\cos \left( {{\alpha _1}} \right)} \right)}}{{a_1^2\left( {b_2^2 + b_3^2} \right) - 2{a_3}{a_1}{b_1}{b_3} + a_3^2\left( {b_1^2 + b_2^2} \right) - 2{a_2}{b_2}\left( {{a_1}{b_1} + {a_3}{b_3}} \right) + a_2^2\left( {b_1^2 + b_3^2} \right)}}}\\
{\frac{{\left( {{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3}} \right)\sqrt { - {{\left( {{a_3}{b_2} - {a_2}{b_3}} \right)}^2}\left( {a_3^2\left( {{{\cos }^2}\left( {{\alpha _2}} \right) - b_1^2 - b_2^2} \right) + a_2^2\left( {{{\cos }^2}\left( {{\alpha _2}} \right) - b_1^2 - b_3^2} \right) + a_1^2\left( {{{\cos }^2}\left( {{\alpha _2}} \right) - b_2^2 - b_3^2} \right) + 2{a_3}{b_3}\cos \left( {{\alpha _2}} \right)\cos \left( {{\alpha _1}} \right) + 2{a_2}{b_2}\left( {{a_3}{b_3} + \cos \left( {{\alpha _1}} \right)\cos \left( {{\alpha _2}} \right)} \right) + 2{a_1}{b_1}\left( {{a_2}{b_2} + {a_3}{b_3} + \cos \left( {{\alpha _1}} \right)\cos \left( {{\alpha _2}} \right)} \right) + b_3^2{{\cos }^2}\left( {{\alpha _1}} \right) + \left( {b_1^2 + b_2^2} \right){{\cos }^2}\left( {{\alpha _1}} \right)} \right)}  + \left( {{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2}} \right)\left( {a_1^2{b_2} - {a_1}{a_2}{b_1} + {a_3}\left( {{a_3}{b_2} - {a_2}{b_3}} \right)} \right)\cos \left( {{\alpha _2}} \right) - \left( {{a_3}{b_2} - {a_2}{b_3}} \right)\left( {{b_2}\left( {{a_1}{b_1} + {a_3}{b_3}} \right) - {a_2}\left( {b_1^2 + b_3^2} \right)} \right)\cos \left( {{\alpha _1}} \right)}}{{\left( {{a_3}{b_2} - {a_2}{b_3}} \right)\left( {a_1^2\left( {b_2^2 + b_3^2} \right) - 2{a_3}{a_1}{b_1}{b_3} + a_3^2\left( {b_1^2 + b_2^2} \right) - 2{a_2}{b_2}\left( {{a_1}{b_1} + {a_3}{b_3}} \right) + a_2^2\left( {b_1^2 + b_3^2} \right)} \right)}}}\\
{\frac{{\left( {{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} \right)\sqrt { - {{\left( {{a_3}{b_2} - {a_2}{b_3}} \right)}^2}\left( {a_3^2\left( {{{\cos }^2}\left( {{\alpha _2}} \right) - b_1^2 - b_2^2} \right) + a_2^2\left( {{{\cos }^2}\left( {{\alpha _2}} \right) - b_1^2 - b_3^2} \right) + a_1^2\left( {{{\cos }^2}\left( {{\alpha _2}} \right) - b_2^2 - b_3^2} \right) + 2{a_3}{b_3}\cos \left( {{\alpha _2}} \right)\cos \left( {{\alpha _1}} \right) + 2{a_2}{b_2}\left( {{a_3}{b_3} + \cos \left( {{\alpha _1}} \right)\cos \left( {{\alpha _2}} \right)} \right) + 2{a_1}{b_1}\left( {{a_2}{b_2} + {a_3}{b_3} + \cos \left( {{\alpha _1}} \right)\cos \left( {{\alpha _2}} \right)} \right) + b_3^2{{\cos }^2}\left( {{\alpha _1}} \right) + \left( {b_1^2 + b_2^2} \right){{\cos }^2}\left( {{\alpha _1}} \right)} \right)}  + a_3^2{b_2}\left( {\left( {{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2}} \right)\cos \left( {{\alpha _2}} \right) + \left( {b_1^2 + b_2^2} \right)\cos \left( {{\alpha _1}} \right)} \right) + {a_3}{b_3}\left( {\left( {{a_1}{a_2}{b_1} + \left( {a_1^2 + 2a_2^2} \right){b_2}} \right)\left( { - \cos \left( {{\alpha _2}} \right)} \right) - \left( {{a_1}{b_1}{b_2} + {a_2}\left( {b_1^2 + 2b_2^2} \right)} \right)\cos \left( {{\alpha _1}} \right)} \right) + {a_2}b_3^2\left( {\left( {a_1^2 + a_2^2} \right)\cos \left( {{\alpha _2}} \right) + \left( {{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2}} \right)\cos \left( {{\alpha _1}} \right)} \right)}}{{\left( {{a_3}{b_2} - {a_2}{b_3}} \right)\left( {a_1^2\left( {b_2^2 + b_3^2} \right) - 2{a_3}{a_1}{b_1}{b_3} + a_3^2\left( {b_1^2 + b_2^2} \right) - 2{a_2}{b_2}\left( {{a_1}{b_1} + {a_3}{b_3}} \right) + a_2^2\left( {b_1^2 + b_3^2} \right)} \right)}}}
\end{array}} \right)\] (Es gibt noch zweiten Vektor)
Die Lösung wird nicht ganz klar im Browser dargestellt (was vor der horizontalen Linie, ist im Zähler, drunter: im Nenner). Der Vektor ist der Länge 1, vielleicht gibt es was Vielfaches davon in einer einfacheren Form. Vielleicht gibt es hier Algebraiker, die das letzte Gleichungssystem aus dem Beitrag #8 lösen könnten, weil ich kann mir vorstellen, dass die jetzt von mir gepostete Lösung ist noch nicht in ihrer einfachsten Form.
Insgesamt wäre mir dieser Ausdruck interessant:
\[M: = \frac{{{c_3}}}{{\sqrt {c_1^2 + c_2^2} }}\] Mit freundlichen Grüßen
Andreas
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holsteiner
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Hallo Andreas,
so komplex die Formel auch sein mag, die Formel, aber
auch der Ansatz hängen nicht vom minimalen Abstand h
der Geraden ab. Das ist meiner Ansicht nach nicht richtig.
Kannst Du irgendwie zeigen, dass c nur von a und b aber nicht von h abhängt?

Viele Grüße
holsteiner



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Andreas88
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\(\begingroup\)
Hallo Holsteiner

Kannst Du widerlegen? ;)

Ich versuche nur für das gedrehte Koordinatensystem:
Im gedrehten Koordinatensystem der Richtungsvektor der Verbindungsgerade ist: \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{r_2}\cos \beta  - {r_1}}\\
{{r_2}\sin \beta }\\
h
\end{array}} \right)\). Ist zwar nur der Richtungsvektor, aber er ist schon so lang, wie der Abstand zwischen den Schnittpunkten auf den Geraden. Die Steigung im gedrehten Koordinatensystem ist: \({M_g}: = \frac{h}{{\sqrt {r_1^2 - 2{r_2}{r_1}\cos (\beta ) + r_2^2} }}\). Hat man das Gleichungssystem aus dem Beitrag #3 nach \(r_1\) und \(r_2\) umgestellt, und in die \(M_g\) eingesetzt, dann sieht es so aus:\[\frac{h}{{h\sqrt { - \frac{{2{{\sin }^2}(\beta )}}{{4\cos \left( {{\alpha _1}} \right)\cos \left( {{\alpha _2}} \right)\cos (\beta ) + \cos \left( {2{\alpha _1}} \right) + \cos \left( {2{\alpha _2}} \right) + \cos (2\beta ) + 1}} - 1} }}\] \(h\) (und damit der minimale Abstand) fällt also raus. Nur die Steigung ist aus dem gedrehten Koordinatensystem. \(h\) ist aber eine skalare Größe, gilt also (die Aussage) auch für das nicht gedrehte Koordinatensystem.

Mit freundlichen Grüßen
Andreas
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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
holsteiner
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Hallo Andreas,
ich fasse mal zusammen. Ich fange an mit Beitrag 3:

<math>g_1 = \left(\begin{array}{c} r_1 \\ 0 \\0 \end{array}\right)</math>
<math>g_2 =  \left(\begin{array}{c} r_2 \cos \beta \\  r_2 \sin\beta \\ h\end{array}\right)</math>

<math>g_v = \left(\begin{array}{c} r_2  \cos \beta - r_1\\ r_2 \sin \beta \\ h\end{array}\right) </math>

<math>g_1 * g_v = r_1 (r_2 \cos \beta-r_1)</math>
<math>g_2 * g_v = r_2 \cos \beta (r_2 \cos\beta-r1) + r_2^2 \sin^2 \beta + h^2= - r_1 r_2 \cos \beta + r_2^2 +h^2 </math>

<math>g_1^2 = r_1^2</math>
<math>g_v^2 = (r_2 \cos\beta-r1)^2 + r_2^2 \sin \beta + h^2= r_1^2-2 r_1 r_2 \cos \beta  +r_2^2 +h^2</math>
<math>g_2^2 =  r_2^2 + h^2</math>

jetzt bekomme ich aber für die Formeln in Betrag 3

<math> \cos \alpha_1 = \frac{(r_2 \cos \beta - r_1 )} {\sqrt{r_1^2-2 r_1 r_2 \cos \beta  +r_2^2 +h^2}} </math>

<math>\cos \alpha_2 = \frac{(-r_1 r_2 \cos \beta   +r_2^2 +h^2)}{\sqrt{r_2^2+h^2} \sqrt{r1^2-2 r1 r2 \cos \beta  +r2^2 +h^2}}</math>


Ich sehe nicht, wie Du auf Deine Formel für <math>\cos \alpha_2</math> in Betrag 3 kommst...

Viele Grüße

holsteiner






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