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Mathematik » Stochastik und Statistik » Aus einer Folge von Urnen ziehen
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Kein bestimmter Bereich Aus einer Folge von Urnen ziehen
Yor
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Dabei seit: 29.09.2009
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-04-15

\(\begingroup\)
Man ziehe aus der Urne_1 eine Zahl zwischen c und d. Danach darf man so oft aus Urne_2 ziehen. Diese enthält blaue Einsen und rote Nullen. So oft wie man blaue Einsen gezogen hat, darf man nun in Urne_3 ziehen. Diese enhält grüne Einsen und gelbe Nullen. Die Farbverteilung in Urne_2 und Urne_3 ist nicht bekannt. Jedoch konnte durch Tests die Wahrscheinlichkeit für geringe Anzahlen blaue und grüne Einsen ermittelt werden. Nun würde ich gerne ausrechnen, wie die Wahrscheinlichkeit für größere Anzahlen der grünen Einsen ist (oder für mindestens eine Anzahl). Geht das? Und wie?


Urne_1: uniform verteilt, mit zurücklegen, einschließlich c und d
Urne_2 & 3: sehr viele Kugeln, Anahme mit zurücklegen, Verteilung unbekannt


Beispiel: c=3, d=9
Nach dem ziehen aus Urne_1 kann ich also zwischen 0 und 9 blaue Einsen haben. Und somit nach dem ziehen aus Urne_2 zwischen 0 und 9 grüne Einsen. Aus einem Experiment weiß ich nun dass ich mit einer Wahrscheinlichkeit von \(b_0 = 0.25\) keine blaue Eins ziehe.



\[b_0=\sum_{n=c}^d (1-p)^n/(d-c+1) = \sum_{n=3}^9 (1-p)^n/(7) = 0.25\] wolframalpha :) sagt mir nun p für das ziehen einer blauen Kugel aus der Urne_2 ist etwa 0.22. Damit kann ich dann mit:

\[\sum_{n=3}^9  p^k  \binom{n}{k}(1-p)^{n-k}/7 = b_k \]
die Wahrscheinlichkeit für k blaue Kugeln berechnen. Das kommt auch mit meinen Messwerten hin (Abweichung zu Messwerten <1,5% für 0,1,2,3). Bei k=4 ist der Summand für n=3 gleich 0. Stimmt das so? Weil bei 4 habe ich schon eine Abweichung von über 11% zu den Messdaten (k=4 bei 3000 aus 94.000).


Damit kann ich jetzt die Wahrscheinlichkeit für keine grüne eins ausrechnen, unter Zuhilfenahme der ermittelten WKt. der Messdaten. 0 grüne hat die Wkt. von ca. 0.26.


\[g_0=\sum_{k=0}^d (1-x)^k b_k = \sum_{k=0}^9 (1-x)^k b_k = 0.26\]
und dann kann ich mit dem ermittelten Wahrscheinlichkeit x, wie oben für eine bestimmte Anzahl von m grünen einsen ausrechnen:

\[\sum_{k=0}^9  x^m  \binom{k}{m}(1-x)^{k-m}b_k = g_m \]



Stimmt das so? Kann man da noch etwas vereinfachen? Das scheint zu lang für wolframalpha :) Könnte man die 2. Urne weglassen und gleich \(g_m\) berechnen?
\(\endgroup\)


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Kitaktus
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Dabei seit: 11.09.2008
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-04-15


Für pb habe ich mit deinem Ansatz 0,2224621275 erhalten.
Daraus ergeben sich Wahrscheinlichkeiten für b0 bis b9 von:
k b_k
0 0,25	
1 0,3607123222	
2 0,2437952808	
3 0,1051025493	
4 0,0374733733	
5 0,0098878011	
6 0,0019047055	
7 0,0002605190
8 0,0000239879
9 0,0000013345
Mit der Annahme g0=0,26 kommt man dann auf eine Schätzung von pg = 0,9727836467.
Das ist durchaus ein sinnvoller Ansatz.

Wenn Du feststellst, dass die Abweichung für b4 zu groß ist, dann kannst Du auch mehr Größen als b0 berücksichtigen.
Es ergibt sich dann zwar keine exakt auflösbare Gleichung mehr, aber ein Optimierungsproblem.

Schreibe hier doch mal alle von Dir ermittelten empirischen Wahrscheinlichkeiten rein. Dann können wir sehen, was sich daraus machen lässt.




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Yor
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-16

\(\begingroup\)
Hi, Kitaktus.
Ich hatte auch noch bisschen rumprobiert. Die Wahrscheinlichkeiten für b_k habe ich auch raus bzw seh ähnlich. Jedoch sagt mir das \(p_g\) nix. Ist dies mein x? Falls ja habe ich da etwas ganz anders raus und zwar 0.15.

Habe glaub die komplette Formel funktionsfähig hinbekommen:

www.wolframalpha.com/input/?i=sum_{k%3D0}^9+(sum_{n%3D3}^9+binomial(n,+k)+*+p^k+*+(1-p)^(n-k)%2F7+*+binomial(k,+m)*x^m+*+(1-x)^(k-m)),+where+p%3D+0.224080848591426,+x%3D0.1544550057226346,+m%3D0

Da kommt dann bei m=0 auch exakt das raus was gemessen wurde. Bei m=1 habe ich ein Abweichung von 21%, bei m=2 schon 37% Messwert. Bei m=3 streikt wolframalpha :). Ab 4 habe ich keine Messdaten mehr, da zu selten.

Ich habe für b_k mal noch eine umfangreichere Messreihe aufgenommen.

k wieOft  b_k
0  88642  0.248282314
1 129368  0.362354035
2  87808  0.245946317
3  37335  0.104573681
4  11012  0.030844124
5   2441  0.00683713283
6    360  0.00100834405
7     50  0.000140047784
8      4  0.0000112038227
9      0  0
+ 357020  1

Zumindest für k=0 bis 4 sollten sie der Wahheit recht nah kommen.

Die Messserie für g_m dauert viel länger, daher viel kleineren Umfang. Aber ich lasse gerade noch ein Laufen.

m  wieOft  g_m
0   818    0.8131212723658051
1   177    0.17594433399602383
2    11    0.010934393638170973
+  1006    1

Da mein g_m für m=1, m=2 recht genau ist, kann ich bei weiteren Versuchen k=0,1 ignorieren und bekomme dann noch Werte für höhere m.

m  wieOft  g_m
2      56  0.0107630213
3       2  0.000384393619
+    5203

Und hier noch der Versuch ab k=3
m  wieOft  g_m
3       3  0.000407608696
+    7360

...auch nicht mehr aussagekräftig

Bringt es auch Aussagen über g_m für das nur k > m verwendet wurden?


------
Da b_1 wahrscheinlicher als b_0, habe ich diesmal das verwendet, damit komme ich auf p_b=0.21953. (laut wolfram ist auch 0.123 möglich).
www.wolframalpha.com/input/?i=0.362354035+%3D+sum_{n%3D3}^9+n+*+p+*+(1-p)^(n-1)%2F7

Damit kann ich dann x für g_0 ausrechnen. Mit y = 1-x:
www.wolframalpha.com/input/?i=0.811507937%3Dsum_{k%3D0}^9+(sum_{n%3D3}^9+binomial(n,+k)+*+p^k+*+(1-p)^(n-k)%2F7+*+y^k+),+p%3D+0.21953
x=0.157657

Dann kann ich mit
www.wolframalpha.com/input/?i=sum_{k%3D0}^9+(sum_{n%3D3}^9+binomial(n,+k)+*+p^k+*+(1-p)^(n-k)%2F7+*+binomial(k,+m)*x^m+*+(1-x)^(k-m)),+where+p%3D+0.21953,+x%3D0.157657,+m%3D1
für einzelne g_m ausrechnen

m   g_m berechnet         g_m Messwert          gemessen/berechnet
0   0.811508              0.811507937           0.999999922
1   0.170467              0.135912698           0.797296239
2   0.0169282             0.0107873128          0.63723921
3   0.00105147            0.00039799411         0.378512093
4   0.0000446365
5   1.32097×10^-6
6   2.68707×10^-8
7   3.59276×10^-10
8   2.84981×10^-12
9   1.01804×10^-14
..


Die Abweichung wird ziemlich groß. Wie gerücksichtige ich mehrere größen, statt nur b_0 bzw hier b_1?


------
Addon:
Ich bin mir nicht ganz sicher warum ich auch die alternative Lösung für p und damit auch ein anderes x verwenden kann:
www.wolframalpha.com/input/?i=sum_{k%3D0}^9+(sum_{n%3D3}^9+binomial(n,+k)+*+p^k+*+(1-p)^(n-k)%2F7+*+binomial(k,+m)*x^m+*+(1-x)^(k-m)),+where+p%3D+0.123421,+x%3D0.280426,+m%3D3
kommen die selben Werte raus.
\(\endgroup\)


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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-04-17


Wenn Du für alle bk die relative Häufigkeit kennst, dann kannst Du einen Schätzer verwenden, der auf der relativen Häufigkeit von blauen Einsen beruht.
Anhand Deiner Daten komme ich auf durchschnittlich 1,33265363 Einsen pro Versuch (Achtung: Die Gesamtzahl der Versuche ist mit 357021 angegeben. Die Summation über k ergibt aber nur 357020!)
Da die Zahl aus Urne 1 im Durchschnitt 6 beträgt, ergibt sich daraus eine Wahrscheinlichkeit von 0,22210894. Das ist ein etwas geringerer Wert als in Beitrag #1.
Dieser Ansatz hat zwei Vorteile:
1) Er bezieht alle vorhandenen Daten mit ein.
2) Er lässt sich ohne approximative Verfahren berechnen.

Nun zur dritten Ziehung.

Dem Startpost hatte ich entnommen, dass man in 26% der Fälle am Ende keine grüne 1 erhält (vorletzte Formel).
Da man in 25% der Fällen schon keine blaue 1 hat, müsste die Trefferwahrscheinlichkeit in der dritten Ziehung relativ groß sein.
Laut Beitrag #2 liegt die Wahrscheinlichkeit für 0 grüne Einsen aber eher bei 80%. Das führt dann natürlich zu ganz anderen Ergebnissen.

Hier werden die Daten-Inkonsistenzen allerdings zu groß. Laut Zählung wurde 818 mal keine grüne 1 gezogen, 137 mal war es eine grüne Eins und 11 mal waren es zwei Grüne Einsen. Das sind zusammen 966 Versuche. Die Gesamtzahl ist aber mit 1008 angegeben.
Rechne ich mit 966 weiter, so führt der gleiche Ansatz wie vorher auf eine Erfolgswahrscheinlichkeit von 0,12351017.
Damit komme ich auf die Verteilung
Tabelle
k  g_k
0  0.84759773
1  0.14078820
2  0.01105318
3  0.00054230
4  1.81647056e-005
5  4.23800131e-007
6  6.79286266e-009
7  7.15412233e-011
8  4.46884062e-013
9  1.25695777e-015
Das passt relativ gut zu Deinen Daten.

Kitaktus



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Hi Kitaktus, danke für die Antwort.
Auch danke für den Hinweis mit der falschen Anzahl. In selten Fällen kommt es bei der Berechnung zu Fehlern, wie wahrscheinlich bei 357020. Bei 1008 war ich es aber, die Werteliste war noch vom Anfang, da hatte ich es noch nicht aufaddiert und somit falsch im Kopf gemacht. g_1 waren 177/1006 (bei 1006 wars wohl ein Fehler in der Berechnung). Habe es oben abgeändert.

Die 26% waren nur fürs Forum gerundet. Weiß nicht wie ich darauf gekommen war. Der genauste Wert ist jetzt 0.835413275456683  (4619/5529). Der genauste für b_0 0.2490125798722045 (aus über einer Million).

Ich weiß noch nicht genau, wie du drauf gekommen bist. Ich schaue es mir noch einmal genauer an.

Ich schreib noch mal (kann auch Tage dauern), wollte nur erst einmal antworten.



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