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Mechanik » Bewegte Bezugssysteme » Relativmechanik - Bewegungsgleichungen
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Universität/Hochschule J Relativmechanik - Bewegungsgleichungen
nandroid
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-04-16




Hallo zusammen,

Das e__x , e__y Koordinatensystem ist das Inertialsystem und das andere das bewegte System.
Omega ist konst.

Meine Frage wäre nun, welche Kräfte ich eintragen muss? Bzw. ist es so richtig wie ich es habe?
Durch Auswerten der Kräftebilanz (nach D Alembert) jeweils in Xi- und Eta-Richtung sollen sich dann die beiden Bewegungsgleichungen ergeben.
Wie bekomme ich überhaupt die Projektion der Vektoren auf das bew. Bezugssystem hin ohne einen Winkel.

A__FT steht für Führungsbeschleunigung
A__cor für Coriolisbeschl.
A__rel Relativbeschl.
Hoffe man versteht das mit der Skizze. :)

Ich wäre für Tipps sehr dankbar, da ich schon länger an der Aufgabe sitze.

LG
nandroid



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Orangenschale
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-04-16

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Hallo nandroid,

ich glaube, wenn du die vollständige Aufgabenstellung posten würdest wäre einiges klarer. Welche Bedeutung hat z.B. $\mu$, welche Kräfte (+Richtung) wirken auf $m$, wie genau wird die Bewegung der Masse $m$ eingeschränkt?

Erster kleiner Tipp: Der Winkel ist gegeben durch $\varphi=\omega t$.
Zweiter kleiner Tipp: Wegen der Koordinatentransformation kannst du auch mal hier schauen.

Viele Grüße
OS


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If one is working from the point of view of getting beauty into one's equation, ... one is on a sure line of progress.

P.A.M. Dirac
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nandroid
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-16


Hallo, hier die vollständige Aufgabenstellung.



Das mit dem Winkel ist mir bereits bekannt. Aber ich brauche ja eigentlich den Winkel zwischen der "Massenpunktstangente" und e__Xi oder?





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Orangenschale
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-04-16

\(\begingroup\)
Hallo nandroid,

ich habe jetzt etwas über diese Aufgabe nachgedacht und es ist nicht nötig, explizit von einem Bezugssystem in das andere zu transformieren. Eine Frage noch vorab: In deinem Bild im ersten Beitrag oben rechts in der Ecke steht die Musterlösung oder ist das deine Lösung?

Das d'Alembert Prinzip lautet ja ganz allgemein für einen Massepunkt $$(m\ddot{\vec r}-\vec F)\delta \vec r=0.$$ Im Inertialsystem wirkt nur die Reibungskraft und die Gravitationskraft. Die Reibungskraft lässt sich allerdings einfacher in einem Bezugssystem beschreiben, das sich mit der Scheibe mitdreht und zwar derart, dass im bewegten Bezugssystem die Scheibe stillsteht. In diesem System wirkt die Reibungskraft immer Tangential zur gemessenen Geschwindigkeit des Massenpunktes.  
Nennen wir also die Koordinaten im bewegten Bezugssystem ${\vec r'}=\xi\vec e_\xi+\eta\vec e_\eta+z\vec e_z\equiv (\xi, \eta,z).$ Dann gilt im neuen Bezugssystem ebenso das d'Alembertprinzip unter Berücksichtigung der Scheinkräfte $$(m\ddot{\vec r'}-(\vec F_G+\vec F_Z+\vec F_C+\vec F_R))\delta \vec r'=0$$ mit den Abkürzungen $$\begin{align*}
\vec F_G & \ldots\text{Gravitationskraft}& = &-mg\vec e_z\\
\vec F_Z & \ldots\text{Zentrifugalkraft}& = & -m\vec\omega\times(\vec\omega\times\vec r ')\\
\vec F_C & \ldots\text{Corioliskraft} & = & -2m\vec\omega\times\dot{\vec r'}\\
\vec F_R & \ldots\text{Reibungskraft} & = & \ldots \text{das überlasse ich dir.}
\end{align*}.$$

Viele Grüße
OS


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nandroid
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-16


Hallo,
danke für die Mühe. Sind denn erstmal die Kräfte von mir richtig in die Skizze gebracht? Da war ich mir ja unsicher.

Und falls es richtig ist, werte ich ja das Kräfteggw. in Xi und Eta aus, oder? Oben rechts sind die beiden LÖSUNGSERGEBNISSE, auf die kommen möchte.

Mir fehlt doch der Winkel zwischen r__rel und der e__Xi-Achse um jeweils zwei Gleichgewichte aufzustellen.. (in Lösung angedeutet, wenn ich es so richtig verstehe)

LG
nandroid



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Orangenschale
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-04-16


Hallo nandroid,

da die wirkenden Kräfte nicht nur von der Position der Masse, sondern auch dessen Geschwindigkeit abhängen, kann man meiner Meinung nach die Corioliskraft nicht so leicht "in allgemeiner Lage" einzeichnen. Grund dafür ist, dass die Reibung dazu führt, dass sich der Geschwindigkeitsvektor im Inertialsystem ändert. So ganz grob kann man sagen, dass die Coriolisbeschleunigung vom Massepunkt aus eher nach "rechts unten" zeigen müsste. Die Zentrifugalkraft zeigt immer radial nach außen.

Was du mit Relativbeschleunigung und Führungsbeschleunigung meinst ist mir leider unklar, vielleicht ist es ein spezieller Begriff für Ingenieure?

[EDIT:] Habe es herausgefunden. Die Relativbeschleunigung tritt hier gar nicht auf. Die Führungsbeschleunigung reduziert sich zur Zentrifugalbeschleunigung.  


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P.A.M. Dirac



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nandroid
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-17


OK, gibt es dann überhaupt ein v__rel? Und in welche Richtung wirkt es? Irgendwie bin ich kaum schlauer als am Anfang.
Wieso kann ich die Coriolisbschl. nicht eintragen? Kreuzprodukt von der Winkelgeschw. und der Relativgeschw. müsste die Richtung doch liefern?

Dieses Problem besteht weiterhin:
"Mir fehlt doch der Winkel zwischen r__rel und der e__Xi-Achse um jeweils zwei Gleichgewichte aufzustellen.. (in Lösung angedeutet, wenn ich es so richtig verstehe)"


EDIT: Kann es sein, dass die Relativgeschwindigkeit 0 ist? Weil sich der Relativvektor ja im bewegten Bezugssystem nicht ändert im Prinzip.

LG
nandroid



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Orangenschale
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-04-17


Hallo nandroid,

warum man die Coriolisbeschleunigung nicht sofort eintragen kann ist der, dass eben der Teilchenort allein nicht ausreicht, um ihre Richtung eindeutig anzugeben. Wie du schon selbst festgestellt hast, müsste man noch den Geschwindigkeitsvektor in "allgemeiner Lage" kennen. Dieser ist aber nicht a priori bekannt, sondern muss eigentlich ja erst bestimmt werden (abhängig von den Anfangsbedingungen). Aber die Näherung aus meinem letzten Beitrag ist eigentlich schon recht gut.

Ich hatte meinen letzten Beitrag gestern nochmals editiert: die Relativbeschleunigung kommt nicht vor.

Was ich nicht verstehe sind diese Gleichgewichte die du aufstellen willst.

Viele Grüße
OS


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-18


Also ich denke es gibt keine Coriolisbeschleunigung, da es keine Relativgeschwindigkeit gibt.

Wüsstest du denn wie man auf die Bewegungsgleichungen kommt? Denen liegen ja Kräftegleichgewichte zugrunde.

LG
nandroid



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Orangenschale
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-04-18

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Hallo nandroid,

mal langsam. Das d'Alembert Prinzip erlaubt das Aufstellen der Bewegungslgeicungen im bewegten Bezugssystem, dazu braucht man nur die wirkenden Kräfte und die Zwangsbedingung, in diesem Fall $z=0$, und diese habe ich dir in Beitrag 3 angegeben.

Und doch, es gibt eine Coriolisbeschleunigung, rechne es doch nach, z.B. für den einfachen Fall, dass sich die Masse $m$ im $(\xi,\eta)$ System zum Zeitpunkt $t=0$ im Koordinatenursprung befindet, und die Anfangsgeschwindigkeit nur eine Kompinente radial nach außen entlang der $\xi$-Achse besitzt, also $\vec v'(t=0)=v_\xi(t=0)\vec e_\xi = \dot\xi(t=0)\vec e_\xi$.

Viele Grüße
OS


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2018-04-19

\(\begingroup\)
Hallo nandroid,

ich hoffe ich konnte dir ein bisschen helfen.
Ich moechte dir noch zeigen, dass es immer eine Corioliskraft fuer $\omega\neq0$ gibt, solange die Masse $m$ im rotierenden Bezugssystem eine Geschwindigkeit besitzt. Dazu rechnen wir die Corioliskraft explizit aus: $$\vec F_C=-2m\vec\omega\times\dot{\vec r'}.$$ Wir kennen die beiden Vektoren $\vec\omega$ und $\dot{\vec r'}$, naemlich $$\vec\omega=\omega \vec e_z$$ und $$\dot{\vec r'} = \dot\xi\vec e_\xi+\dot\eta\vec e_\eta+\dot z\vec e_z.$$ Damit erhalten wir $$\vec F_C = -2m\omega (-\dot\eta \vec e_\xi + \dot\xi\vec e_\eta).$$ Nun sieht man ganz klar, dass es die Corioliskraft im rotierenden Bezgssystem unten den weiter oben gegebenen Bedingungen geben muss.

Viele Gruesse,
OS


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nandroid
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-19


Ok, danke. Das macht schonmal Sinn.

fed-Code einblenden
Es entspricht ja nicht ganz der Lösung.

LG
nandroid



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Orangenschale
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2018-04-19


Hallo nandroid,

schau dir nochmal Beitrag Nr. 3 an und berechne erstmal alle Kräfte im rotierenden System, genauso, wie ich es dir in Beitrag No. 10 vorgemacht habe. Danach zeige ich dir, wie man die Bewegungsgleichung erhält.


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-19


Ist denn mein Ansatz richtig den ich geschrieben habe? So allmählich möchte ich schonmal an die Lösung kommen.

EDIT: Also ich komme nicht auf die Lösung nach wie vor.



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2018-04-19

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Wenn du nicht auf die richtige Lösung kommst, dann wird dein Ansatz nicht stimmen. Ich weiß ja nicht, wie ihr das d'Alembert Prinzip kennengelernt habt, aber es ist eigentlich wie ein Kochrezept. Und das versuche ich dir die ganze Zeit zu vermitteln. Es ist überhaupt nicht nötig, noch einen extra Winkel einzuführen.

Nehmen wir mal an, es wirkt nur die Schwerkraft und die Corioliskraft und zudem lautet die Zwangsbedingung $z=0$.

Dann lautet die d'Alembert Gleichung im rotierenden Bezugssystem nach Beitrag No. 3 erstmal $$\left(m\begin{pmatrix}\ddot\xi\\ \ddot \eta \\ \ddot z\end{pmatrix} +mg \begin{pmatrix}0\\0\\1 \end{pmatrix} +2m\omega\begin{pmatrix}-\dot\eta \\ \dot \xi \\ 0\end{pmatrix}\right)\delta\vec r'=0.$$ Dabei stehen die Vektorkomponenten für die Koordinaten im bewegten Bezugssystem (siehe Beitrag No.3).

Jetzt folgt der nächste Schritt im d'Alembert Prinzip, nämlich der Einbau der Nebenbedingung $z=0$, woraus folgt $$\delta\vec r' = \begin{pmatrix}\delta \xi \\ \delta \eta \\ \delta z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\delta \xi \\ \delta \eta \\ 0\end{pmatrix}.$$ Setzt man das oben ein, so ergibt sich die Gleichung ($m$ schon gekürzt) $$(\ddot\xi-2\omega\dot\eta)\delta\xi + (\ddot\eta+2\omega\dot\xi)\delta\eta=0.$$

Und nun der letzte Teil des d'Alember Prinzipz: die Bestimmung der Bewegungsgleichungen. Da die beiden Koordinaten $\xi$ und $\eta$ beide unabhängig voneinander sind, kann obige Gleichung nur stimmen, wenn die beiden Gleichungen $$\begin{align*}\ddot\xi-2\omega\dot\eta & = 0 \\ \ddot\eta+2\omega\dot\xi & = 0\end{align*}$$ erfüllt sind.

Wie gesagt gilt dieses Ergebnis nur, falls es nur die Corioliskraft und die Schwerkraft gibt, aber es ist immerhin der erste Teil der gegebenen Lösung. Jetzt bist du dran, den allgemeinen Fall zu behandeln.

Viele Grüße
OS



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-19


Ich lese gerade über D ALEMBERT. Also dieses delta_r hatten wir so gar nicht, sprich diese virtuelle Verrückungen. Wir hatten immer nur gesagt F - ma = 0 und -ma sind dann die Trägheitskräfte, die entgegengesetzt der Beschleunigung zu werten sind. Ich werde mich dann wohl da mal einlesen.

LG
nandroid



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\(\begingroup\)
Da du von d'Alembert gesprochen hast bin ich davon ausgegangen, dass dir das d'Alembert Prinzip, so wie ich es dir dargestellt habe, etwas sagt. Das was du schreibst ist einfach die Newtonsche Bewegungsgleichung. Du kannst diese Aufgabe auch leicht mit Newton lösen, da die Zwangsbedingung so einfach ist, dass man überall nur $z=0$ in die Newtonschen Bewegunsgleichungen einsetzen muss und von vornherein die Bewegung nur in zwei Raumdimensionen betrachtet.  Dann muss ich aber die Sinnhaftigkeit dieser Aufgabe (in Verbindung mit d'Alembert) in Frage stellen.


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So steht es im Skript, ich glaube deine Ausführung machen wir noch später.



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2018-04-20


Naja, wie auch immer. Dann hast du ja jetzt mehrere Möglichkeiten, die Aufgabe zu lösen. Am Beispiel (Beitrag No. 14) erkennst du ja, wie es prinzipiell geht. In deinem letzten Beitrag steht wirklich nur der klassische Ansatz nach Newton. Beide Wege führen zum Ziel.


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