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Analysis » Topologie » Metrik und streng monotone Funktion
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Universität/Hochschule Metrik und streng monotone Funktion
Axolotl
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 19.04.2018
Mitteilungen: 8
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-04-19

\(\begingroup\)
Ich bräuchte einen Tipp für meine Übungsaufgabe. Bis jetzt steh ich da echt auf dem Schlauch.

Für welche streng monotonen Funktionen g wird die Metrik \[d_{g}\]durch eine Norm auf \[\mathbb{R}\] iduziert?

\[d_{g}(x,y):=\vert g(x)-g(y)\vert\] danke schonmal im Vorraus
\(\endgroup\)


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Kampfpudel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 1300
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-04-19

\(\begingroup\)
Hey Axolotl,

was hast du dir denn für Gedanken zu der Aufgabe gemacht?
Nimm doch mal an, für eine gegebene Funktion \(g\) gibt es eine Norm, die die Metrik \(d_g\) induziert (was bedeutet das überhaupt formal?).
Was müsste dann alles erfüllt sein?
\(\endgroup\)


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Axolotl
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 19.04.2018
Mitteilungen: 8
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-19

\(\begingroup\)
Hallo Kampfpudel für deine Antwort. Heißt das, dass es eine Norm geben muss, die die Axiome für eine Metrik erfüllt? Müsste dann  nicht \[g(x)=x\] für alle \[x\] gelten?
\(\endgroup\)


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Kampfpudel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 1300
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-04-19

\(\begingroup\)
Ich hätte jetzt eine formale Antwort gewünscht.
Das heißt, es existiert eine Norm \( \|\cdot\|\), sodass
\(\| x-y \|=|g(x) - g(y)|\) für alle \(x,y \in \mathbb{R}\) gilt.

\(g(x)=x\) ist sicher eine Möglichkeit, aber gibt es keine Anderen? Welche Möglichkeiten gibt es noch und warum sind das dann alle?
\(\endgroup\)


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Axolotl
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 19.04.2018
Mitteilungen: 8
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-19

\(\begingroup\)
Ich glaub jetzt hab ichs.
Es existiert eine Norm \[\Vert \cdot \Vert\] sodas \[\Vert x- y \Vert = \Vert g(x) - g(y) \Vert\] für alle \[x,y, \in \mathbb{R}\].

Aus \[\Vert x- y \Vert = \Vert g(x) - g(y) \Vert\] erhält man durch teilen durch \[\Vert x- y \Vert\] \[1 = \frac{\Vert g(x) - g(y) \Vert}{\Vert x- y \Vert}= \frac{\Vert g(y) - g(x) \Vert}{\Vert y- x \Vert}=1\] Das entspicht genau der Definition für die Steigung. Die Aussage gilt also für alle Funktionen der Form: \[g(x)=x+a\] für alle \[x\in\mathbb{R}\]
stimmt das so?
\(\endgroup\)


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Kampfpudel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 1300
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-04-19

\(\begingroup\)
Nein.

Du solltest um den Ausdruck \(g(x) - g(y)\) keine Normstriche setzen, denn dort gehören Betragsstriche hin.
Dann kannst du natürlich auch nicht diese Rechnung machen, die du gemacht hast.

In einem anderen Thread hier hast du doch gezeigt, dass jede Norm \(\| \cdot \|\) sich von der Form \(\| \cdot \|= \alpha |\cdot|\) für ein \(\alpha>0\) darstellen lässt (wesentlich in dem Beweis ist ja die Homogenität der Norm, also dass \(\| \lambda x \|= |\lambda| \|x\|\) für alle \(x,\lambda \in \mathbb{R}\) gilt).
Benutze das doch hier mal.

Noch ein Hinweis: Betrachte mal die Hilfsfunktion \(\tilde{g}(x):= g(x) - g(0)\), das könnte vielleicht hilfreich sein.
\(\endgroup\)


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