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Gewöhnliche DGL » Theorie der Gew. DGL » Gewöhnliche Differentialgleichung höchstens eine Lösung
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Autor
Universität/Hochschule Gewöhnliche Differentialgleichung höchstens eine Lösung
Mandelbrot99
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.02.2017
Mitteilungen: 17
Aus: Heidelberg, Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-04-21

\(\begingroup\)
Hallo zusammen,
ich arbeite an folgendem Problem und stecke etwas fest.

Sei $T>0$ and $F:[0,T] \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ stetig mit
$$|t| \ |F(t,v) - F(t,w)| \leq |v-w| \quad \forall t\in [0,T], \ v,w\in \mathbb{R}^n$$
Zeige, dass
$$\begin{cases} \frac{du}{dt} = F(t,u) & t\in [0,T], \\
u(0) = u_0 \end{cases}$$
für jedes $u_0\in \mathbb{R}^n$ höchstens eine Lösung $u\in C^1([0,T], \mathbb{R}^n)$ hat.

Tipp: Betrachte für zwei Lösungen $v,w$ die Größe $D(t):= \frac{|v(t)-w(t)|}{t}$ for $t\in (0,T]$ für $t\in (0,T]$ und zeige, dass $\lim_{t\to 0} D(t) = 0$. Vergleiche dann das Maximum $D(t_{max})$ zu $\frac{1}{t_{max}} \int_0^{t_{max}} D(t) dt$.

Ich habe bereits gezeigt, dass $\lim_{t\to 0} D(t) = 0$ und, dass $D(t_{max}) \geq \frac{1}{t_{max}} \int_0^{t_{max}} D(t) dt$. Allerdings weiß ich gerade nicht, wie ich die Stücke zusammen puzzeln soll, insbesondere den letzten Teil. Außerdem habe ich folgende Abschätzung:
$$|v(t)-w(t)|\leq \int_0^t |F(\tau, v(\tau))- F(\tau, w(\tau))| d\tau \leq \int_0^t D(\tau) d\tau$$
Danke im Voraus für jeden Hinweis!
\(\endgroup\)


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haerter
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.11.2008
Mitteilungen: 1435
Aus: Bochum
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-04-24


Hallo,

ich sehe zwar auf die Schnelle nicht, warum <math> \lim\limits_{t\to 0}D(t)=0</math> ist, aber dafür habe ich vielleicht einen Tipp für den Schluss:

Wenn Du Deine letzte Abschätzung durch t teilst, erhälst Du für jede positive Zeit die Abschätzung
<math>\displaystyle D(t)\leq \frac{1}{t} \int_0^t D(\tau) d\tau</math>.

Da Du diese Abschätzung für <math>D(t_{max})</math> in umgekehrter Richtung auch schon gezeigt hast, muss also
<math>\displaystyle D(t_{max}) = \frac{1}{t_{max}} \int_0^t D(\tau) d\tau</math> sein.

Das sieht doch schon gut aus.

Viele Grüße,
haerter


-----------------
"The best way to have a good idea is to have lots of ideas."
 - Linus Pauling



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