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Lineare Algebra » Eigenwerte » Aus Eigenwert von f² auf Eigenwert von f schließen
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Universität/Hochschule Aus Eigenwert von f² auf Eigenwert von f schließen
HelpNeeded123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-04-23


Hallo,
ich habe hier eine Aufgabe, bei der mir irgendwie der Ansatz fehlt:

Sei V ein reeller Vektorraum und f ein Endomorphismus. Zeigen Sie:
a) Hat f^2 einen nicht-negativen Eigenwert, so hat f breits einen Eigenwert. Hinweis: Betrachten Sie cv+f(v) für einen Eigenvektor v von f^2 und geeignetes c ∈ R.

b) Ist dimR(V) = 2 und hat f^2 einen negativen Eigenwert, so hat f gar keinen Eigenwert.

Mir fehlt irgendwie der Ansatz dazu. Ich weiß, dass, wenn f=f^2 gilt, die einzigen Eigenwerte von f 0 und 1 sind, und dass f dann diagonalisierbar ist. Ich weiß nur nicht, wie man anfagen soll, bin also für jede Hilfe dankbar.



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hippias
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-04-24


Ich glaube nicht, dass <math>f</math> als idempotent vorausgesetzt ist, da die Aufgabenstellungen dann voellig witzlos waeren. Wie lautet denn die genaue Formulierung?

Im uebrigen nutze den Hinweis! Was erhaelst Du nach Anwendung von <math>f</math> auf <math>cv+f(v)</math>? Versuche nun <math>c</math> so zu waehlen, dass Du einen Eigenvektor erhaelst.



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HelpNeeded123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-24


Wow, das ist echt peinlich. Natürlich ist f nicht als idempotent  vorausgesetzt, da habe ich nicht genau hingeschaut :D.

Die Frage ist, wie meinst du, f auf cv+f(v) anwenden. Meinst du in f einsetzen und dann durch die Linearität so umformen, bis man auf ein bestimmtes Ergebnis kommt. Vielleicht komme ich einfach nicht drauf, aber mit dem Hinweis kann ich leider nicht viel anfangen, weil ich den nicht so ganz verstehe.



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hippias
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 06.01.2017
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-04-25


2018-04-24 21:37 - HelpNeeded123 in Beitrag No. 2 schreibt:
[...] Meinst du in f einsetzen und dann durch die Linearität so umformen, bis man auf ein bestimmtes Ergebnis kommt. [...]

Ja; wobei bestimmtes Ergebnis heisst: Eigenvektor.



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HelpNeeded123
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-25


Hmmh, da kann man schon ein bisschen umformen. Ich verstehe nur nicht, was ich aus den Umformungen ablesen kann.

fed-Code einblenden
fed-Code einblenden

Das ist so mein Stand. Tut mir echt leid, wenn ich auf dem Schlauch stehe :/



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haerter
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.11.2008
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Aus: Bochum
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-04-25


Hallo,

auf dem Schlauch stehen ist doch völlig ok, aber dann besser nicht stehen bleiben, sondern probieren, spielen, Ideen sammeln.

Vielleicht hilft es, sich alles einmal sauber hinzuschreiben, also z.B.

Sei <math>v</math> Eigenvektor von <math>f^2</math>, d.h. <math>f^2(v)=\alpha v</math>. Wendet man <math>f</math> auf den Vektor  <math>w=cv+f(v)</math> an, erhält man <math>f(w)=...</math>. Wozu könnte das gut sein?

Viele Grüße,
haerter


-----------------
"The best way to have a good idea is to have lots of ideas."
 - Linus Pauling



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HelpNeeded123
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-25


Hmmh, dann würde ich umformen und erhalten:

fed-Code einblenden

Da würde dann nur irgendwie fehlen, dass der Eigenwert von f^2 nicht negativ ist...



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haerter
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.11.2008
Mitteilungen: 1477
Aus: Bochum
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-04-25


Hallo,

den "Dann einsetzen"-Schritt kann ich nicht nachvollziehen. Die rechte Seite ist ja nicht gleich 0, von daher sollte es
<math>f(w) = cf(v)+\lambda v</math> heißen.

Man könnte mal die ganzen <math>v</math>'s in <math>w</math>'s umrechnen und schauen, unter welchen Bedingungen <math>w</math> dann ein Eigenvektor ist...

Viele Grüße,
haerter


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 - Linus Pauling



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HelpNeeded123
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-25

\(\begingroup\)
Wie meinst du die v's in w's umrechnen. Meinst du für \(v=(w-f(v))/c\) einsetzen? Das würde dann ja quasi rekursiv so weitergehen.
Tut mir leid, ich weiß echt nicht weiter.
\(\endgroup\)


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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-04-25


2018-04-25 19:01 - HelpNeeded123 in Beitrag No. 6 schreibt:
... und erhalten:
fed-Code einblenden
Hi HelpNeeded123,
es muss f2(v) heißen, nicht f(v)2.
Zu Aufgabe a) kann man einen Eigenvektor v von f2 wählen.
Für w=cv+f(v) gilt dann f(w)=cf(v)+λv mit λ > 0.
v und f(v) sind linear unabhängig, sonst würde v ein Eigenvektor von f sein.
Der Ansatz f(w)=μw liefert durch Koeffizientenvergleich
cμ=λ und μ=c. Ermittle daraus c und μ und gib dann den gesuchten Eigenvektor w explizit an.
Gruß Buri



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HelpNeeded123
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-25


Vielen Dank für den formellen Hinweis und für die ausführliche und verständliche(!) Erklärung. Ich denke, ich habe das jetzt soweit verstehen und nachvollziehen können.

Wie würde man denn die b) zeigen. Würde man annehmen, dass f unter den genannten Voraussetzungen einen Eigenwert besitzt und demnach einen Widerspruch erhalten?



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haerter
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Aus: Bochum
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2018-04-26


Hallo,



Wie würde man denn die b) zeigen. Würde man annehmen, dass f unter den genannten Voraussetzungen einen Eigenwert besitzt und demnach einen Widerspruch erhalten?


Ja, das ist ein brauchbarer Ansatz. Wichtig ist dabei zu beachten, dass sich hier alles im Reellen abspielt. Es lohnt sich auch, Buris Kommentar zu (a) genau zu lesen, damit man alle Informationen parat hat, um einen Widerspruch herzuleiten. Ganz offensichtlich ist dieser Widerspruch nämlich nicht.

Viele Grüße,
haerter


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