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Schulmathematik » Ableitungen » Stetigkeit und Differenzierbarkeit
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Schule Stetigkeit und Differenzierbarkeit
sven2803
Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 24.04.2018
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-04-25


Nabend Matheplant,
Ich schreibe demnächst einen Test im Mathe zum Thema Differenzierbarkeit und Stetigkeit von Zusammengesetzten Funktionen und hab da noch paar Schwierigkeiten.
Gegeben hab ich zwei Gleichungen und zwar einmal f_1(x)=x^2+18x+20 und f_2(x)=40x-20. Der Definitionsbereich der ersten Funktion geht von 0<= x <= 2 und der der anderen Funktion von 2<=x<=10. Ich soll zeigen, dass die Funktion f_2(x) stetig und differenzierbar ist an der Stelle x=2.
Meine Idee war es x=2 in beide Funktionen einzusetzen und zu sehen ob sie die gleichen y-Werte rauskommen und das war der Fall. D.h. ich habe einen Übergang ohne Sprungstellen und darum ist sie stetig. Stimmt das?

Für die Differenzierbarkeit verwende ich die erste Ableitung f'_1(x)=2x+18 undf'_2(x)= 40. Auch hier habe ich wieder x=2 in beide Ableitungen eingesetzt und hab unterschiedliche Werte raus. Damit wäre die Funktion nicht differenzierbar. Was mich irritiert, da in der Aufgabe steht das ich zeigen soll, dass die Funktion stetig und differenzierbar ist, was nur zum Teil zutrifft.
Kann mir da jemand helfen und sagen, wo meine Überlegung falsch ist?

Gruß Sven



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Kitaktus
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 5328
Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-04-25


Hallo und herzlich Willkommen auf dem Matheplaneten,

Im Text schreibst Du, dass die Differenzierbarkeit von f2(!) für x=2 zu zeigen ist. Das ist nicht das Gleiche wie die Differenzierbarkeit der _zusammengesetzten_ Funktion.

Ansonsten sind Deine Überlegungen richtig. Die zusammengesetzte Funktion ist stetig, hat aber in x=2 hat sie einen Knick.



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sven2803
Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 24.04.2018
Mitteilungen: 3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-25


Hallo Kitaktus,

Also kann ich das so aufschreiben bzw. wie würdest du das anders machen?
Bin für Verbesserungsvorschläge offen :-)

Gruß Sven




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Kitaktus
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 5328
Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-04-25


Ja, das kann man im Prinzip so aufschreiben.

Einige Hinweis:
Zur Frage nach der Stetigkeit/Differenzierbarkeit gehört noch ein Verweis, dass die beiden Teilfunktionen in ihrem Definitionsbereich stetig und differenzierbar sind und man daher nur die Übergangsstelle prüfen muss.
Außerdem kann man ruhig konkret schreiben f1(2)=22+18*2+20 = 60 = 40*2-20 = f2(2).



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sven2803
Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 24.04.2018
Mitteilungen: 3
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-25


okay :-) Danke für den Hinweis und die schnelle Hilfe :-)

Gruß Sven



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Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 45499
Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-04-25


Hi sven2803,
es handelt sich nicht um zwei Funktionen, sondern um eine einzige Funktion, die stückweise definiert ist.
Gruß Buri

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]



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