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Logik, Mengen & Beweistechnik » Mengenlehre » Ungewohnte Notation für einen einfachen Beweis
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Universität/Hochschule Ungewohnte Notation für einen einfachen Beweis
Frege23
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-04-26

\(\begingroup\)
Hallo miteinander!

Sei \(M\) eine nicht-leere Menge.

Zeige, dass


\(\bigcup_{x \in M}\) {x} \( = M\)

Da ich nur indizierte Vereinigungsmengen kenne, bringt mich diese Schreibweise etwas durcheinander.

Meiner Meinung nach bedeutet \(\bigcup_{x \in M}\) \(:=\) {y: \(\exists x \in M: y \in \{x\}\)}

\(\subseteq\)


Sei also y ein beliebiges Element von \(\bigcup_{x \in M}\). Dann gibt es ein x \(\in\) {x}. {x} ist aber immer Teilmenge von \(M\). Also ist y \(\in\) \(M\).


\(\supseteq\)

Sei y ein beliebiges Element von M. Zu jedem Element y \(\in\) M gibt es eine Menge {x} \(\subseteq\) M, sodass y \(\in\) {x}. Damit ist y auch in \(\bigcup_{x \in M}\) enthalten.

Ich weiß, dass die Gleichung gilt, es ist bloß so ungewohnt (und deshalb vielleicht zu falschen Ergebnissen führend) mit nicht-indizierten Vereinigungsmengen zu arbeiten.

Alles Gute!
\(\endgroup\)


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darkhelmet
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Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-04-26

\(\begingroup\)
2018-04-26 18:04 - Frege23 im Themenstart schreibt:
Meiner Meinung nach bedeutet \(\bigcup_{x \in M}\) \(:=\) {y: \(\exists x \in M: y \in \{x\}\)}

Ich habe diese Notation noch nie gesehen. Als Definition macht das auch keinen Sinn, eben weil es immer gleich $M$ ist. Kennst du einen allgemeineren Ausdruck, von dem $\bigcup_{x \in M}$ ein Beispiel ist?

Also, ich bin skeptisch. Außerdem verstehe ich nicht, wieso du von "nicht indiziert" sprichst. Der Index ist ja gerade das, was da ist. Der Rest fehlt.
\(\endgroup\)


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ligning
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Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-04-26

\(\begingroup\)
Es muss $\bigcup_{x\in M} \{x\}$ gemeint sein.


-----------------
⊗ ⊗ ⊗
\(\endgroup\)


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Buri
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Mitteilungen: 45499
Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-04-26


Hi Frege23,
an diesem Mengenausdruck fehlt etwas.
Ich denke, es müsste
fed-Code einblenden
Gruß Buri

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]



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Frege23
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Mitteilungen: 52
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-26

\(\begingroup\)
Ihr habt natürlich Recht, ist schon verbessert. Ich weiß einfach nicht wie ich den Teil unter dem Vereinigungszeichen zu lesen habe.

\(\bigcup_{x \in M}\) (M\{x}) \( = M\) ist auch ein Problem. Ich weiß, dass diese Gleichung falsch ist, wenn M nur ein Element enthält. Damit habe ich diese Aufgabe auch schon gelöst.

Ich würde aber zusätzlich gerne wissen, ob sie immer noch falsch wäre, wenn M 2 oder mehr Elemente enthielte. Denn in diesem Fall, so denke ich zumindest, wäre sie wieder richtig.

Alles Gute!
\(\endgroup\)


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dromedar
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Dabei seit: 26.10.2013
Mitteilungen: 4954
Aus: München
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-04-26

\(\begingroup\)
Hallo Frege23,

die grundlegende Definition ist die Vereinigungsmenge eines Mengensystems (also einer Menge von Mengen):

    $\displaystyle
\bigcup{\cal A}=\bigl\{a\bigm\vert\exists A\in{\cal A}:a\in A\bigr\}$

Zur Abkürzung schreibt man nun auch

    $\displaystyle
\bigcup\,\bigl\{A_\lambda\bigm\vert\lambda\in\Lambda\bigr\}=:
\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\quad.$

In Deinem Fall ist $\Lambda=M$, $\lambda=x$ und $A_x=\{x\}$. Also ergibt sich

    $\begin{align*}
\bigcup_{x\in M}\{x\}
&=\bigcup\,\bigl\{\{x\}\bigm\vert x\in M\bigr\}=\\
&=\Bigl\{a\Bigm\vert\exists A\in\bigl\{\{x\}\bigm\vert x\in M\bigr\}:
  a\in A\Bigr\}=\\[1.5ex]
&=\bigl\{a\bigm\vert\exists x\in M:a\in\{x\}\bigr\}=\\[1.5ex]
&=\{a\mid\exists x\in M:a=x\}=\\[1.5ex]
&=\{a\mid a\in M\}=\\[1.5ex]
&=M\quad.
\end{align*}$

Grüße,
dromedar
\(\endgroup\)


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