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Mathematik » Stochastik und Statistik » Frage zu schwacher Konvergenz
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Beruf Frage zu schwacher Konvergenz
sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-04-26

\(\begingroup\)
Hallo Zusammen,

Bei folgender Aufgabe brauche ich Hilfe:

Sei \((X_n)_{n\ge 1}\) eine Folge unabhängiger reeler zV der gleichen Cauchyverteilung \(\mathcal{C}(1)\)

Für \(n\ge 1\) setzen wir: \(S_n=\sum_{k=0}^n X_k\)

Untersuche ob \(\frac{1}{\sqrt{n}}S_n\) in der Verteilung oder in der Wahrscheinlichkeit konvergiert.




Nun, die Musterlösung geht über die charachteristische Funktion.
Die Charakteristische Funktion einer bekannten Verteilung muss nicht berechnet werden, sondern kann nachgeschlagen werden:


\(\Phi_{\frac{1}{\sqrt{n}}S_n}=e^{-|t|\sqrt{n}}\)

Nun konvergiert die charakteristische Funktion punktweise gegen eine Grenzfunktion , welche in 0 unstetig ist.
Somit konvergiert \(\frac{1}{\sqrt{n}}S_n\) nicht in der Verteilung



Das verstehe ich nicht. Die Musterlösung prüft die Bedingungen des Satzes von Paul Levy. Aber Der Satz sagt, dass die Konvergenz nicht
"schwach" ist. Die Frage war aber, ob Konvergenz in der Verteilung vorliegt.

Einen Satz, dass das eine das andere impliziert habe ich nicht gefunden.
\(\endgroup\)


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targon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-04-27

\(\begingroup\) \(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\newcommand{\C}{\mathbb{C}}\newcommand{\norm}[1]{\mathop{}\left\lVert\,#1\,\right\rVert}\newcommand{\abs}[1]{\mathop{}\left\lvert#1\right\rvert}\newcommand{\eins}[1]{\textbf{1}_{\left\{ #1 \right\}}}\)
Hi sulky,

die Folge der Funktionen \(\Phi_{\frac{1}{\sqrt{n}} S_n} = e^{- \abs{t} \sqrt{n}}\) konvergiert doch punktweise gegen die konstante Funktion \((t \mapsto 1)\)? Oder sehe ich was falsch? Die wäre ja stetig in \(0\).

Konvergenz in Verteilung für eine Folge von Zufallsvariablen \(X_n\) gegen \(X\) heißt per Definition, dass die Folge der Wahrscheinlichkeitsmaße \((P_{X_n})\) schwach gegen \(P_X\) konvergiert. Das ist also quasi der gleiche Begriff für unterschiedliche Objekte. Deswegen geht die Musterlösung so vor.

Gruß
Targon
\(\endgroup\)


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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-27

\(\begingroup\)
Hallo targon,

vielen dank für die schnelle Antwort.


also \(e^{-|t|\sqrt{n}}\) geht gegen 1 wenn t=0 und gegen 0 sonst. Daher
\(e^{-|t|\sqrt{n}} \to 1_{\{0\}}(t)\)

Also wir nennen diese Art von Konvergenz "étroite".
Im internet habe ich kaum was darüber gefunden. Auch auf französisch nicht.
Ich frage mich, wie man dies auf Deutsch sagt. Somit bin ich mir nicht sicher, ob "schwache Konvergenz" dasselbe ist.

Die Definition geht so:

Sei \((\mu_n)_{n\in \mathbb{N}}\) eine Folge von Verteilungen auf \(\mathbb{R}\) und \(\mu\) eine Verteilung auf \(\mathbb{R}\). Man sagt dass die Folge von Verteilungen  \((\mu_n)_{n\in \mathbb{N}}\) "étroitement" gegen die Verteilung \(\mu\), falls für jeden stetigen Punkt x der Repartionsfunktion \(F_\mu\) von \(\mu\), \((F_{\mu_n})\mathbb{N}\) gegen \(F_\mu (x)\) konvergiert.



Nun, sagt der Satz von Paul Levi, dass keine "étroite" Konvergenz möglich ist wenn der Grenzwert  char Funktionen in 0 unstetig ist.


Für das Verständnis ist mir vorallem auch folgendes wichtig.
Nämlich dass "étroite konvergenz" eine Eigenschaft von Verteilungsfolgen ist.

"Konvergenz in der Verteilung" (oder im Gesetz) ist jedoch eine Eigenschaft einer Variablenfolge.
\(\endgroup\)


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targon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-04-27

\(\begingroup\) \(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\newcommand{\C}{\mathbb{C}}\newcommand{\norm}[1]{\mathop{}\left\lVert\,#1\,\right\rVert}\newcommand{\abs}[1]{\mathop{}\left\lvert#1\right\rvert}\newcommand{\eins}[1]{\textbf{1}_{\left\{ #1 \right\}}}\)
Sorry, klar. Da hab ich geschlafen bei der Konvergenz. Also diesen Konvergenzbegriff kenne ich unter dem Namen schwach. Also dabei nehme ich mal an dass die "Repartionsfunktion" (kenne ich dann unter Verteilungsfunktion) zu einem Wahrscheinlichkeitsmaß \(\mu\) definiert ist durch \[F_{\mu} (x) := \mu\left( (- \infty , x ] \right)\] passt das zu deinen Definitionen? Wie ist dann bei euch dann Konvergenz in Verteilung definiert?

Zum Satz von Levy: Meinst du diesen hier?
\(\endgroup\)


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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-27

\(\begingroup\)
Ja, es handelt sich eindeutig um diesen Satz.
Allerdings ist auf dieser Wikipediaseite eine ganze Auswahl von Variationen dieses Satzes.

In unserem Buch steht in 4 Zeilen geschrieben, was auf Wiki extrem Ausführlich steht.



Sei \((u_n)_\mathbb{N}\) eine Folge von Verteilungen auf \(\mathbb{R}^d\). Die Folge der charakteristischen Funktionen \((\Phi_{\mu_n})_\mathbb{N}\) konvergiert punktweise gegen eine eine Funktion \(\phi\) von \(\mathbb{R}^d\) in \(\mathbb{C}\), stetig in 0,
dann und nur dann, wenn:
Es existiert eine Verteilung \(\mu \) auf \(\mathbb{R}^d\) mit der charakteristischen Funktion \(\Phi_\mu=\phi\), sd. die Folge \((\mu)_\mathbb{N}\) étroitement gegen \(\mu_n\) konvergiert.


Nun beschreibt diese Version des Satzes das Konvergenzverahlten einer Funktionenfolge. Die übungsaufgabe jedoch fragt nach dem Konvergenzverhalten einer Zufallsvariablenfolge.
Die Musterlösung gibt vor, dass es das selbstverständlichste von der Welt wäre, dass es sich um dasselbe handelt.

Der Wikipediaartikel zeit, dass wenn man andere Versionen des Satzes anschaut, dann kann man tatsächlich noch viel mehr aus dem Satz gewinnen.


Möglicherweise wäre es eine interessante übungsaufgabe zu beweisen, dass die schwache konvergenz von \(\mu_n\) dasselbe ist, wie die Konvergenz in Wahrscheinlichkeit von \(X_n\). Einen entsprechenden Satz habe ich nicht gefunden.






\(\endgroup\)


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targon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-04-29

\(\begingroup\) \(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\newcommand{\C}{\mathbb{C}}\newcommand{\norm}[1]{\mathop{}\left\lVert\,#1\,\right\rVert}\newcommand{\abs}[1]{\mathop{}\left\lvert#1\right\rvert}\newcommand{\eins}[1]{\textbf{1}_{\left\{ #1 \right\}}}\)
Ja also wie gesagt, die Definitionen die ich kenne sind die Folgenden:

\(P_n , P \) Wahrscheinlichkeitsmaße auf \(\R\), \(F_n , F\) die entsprechenden Verteilungsfunktionen, \(C_F\) die Menge der Stetigkeitsstellen von \(F\). Dann konvergiert per Def. \(P_n\) schwach gegen \(P\), wenn \[F_n(x) \xrightarrow{n \to \infty} F(x) \quad \forall x \in C_F\] gilt.

Wiederum für Zufallsvariablen \(X_n , X\) definiert man die Konvergenz in Verteilung so: \(X_n\) konvergieren in Verteilung gegen \(X\) per Def. genau dann, wenn die Folge der \(P_{X_n}\) schwach gegen \(P_X\) konvergieren. Dabei sind \(P_{X_n} , P_X\) die transportierten Maße, also \(P_X (\mathcal{B}) := P(X^{-1} (\mathcal{B}))\) für jede messbare Menge \(\mathcal{B}\).

Und damit ist die Überführung von dem Satz von Lévy von Zufallsvariablen zu Wahrscheinlichkeitsmaßen bzw. andersrum tatsächlich einfach per Definition klar.


Gruß
Targon
\(\endgroup\)


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