Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Wally haerter
Gewöhnliche DGL » Lineare DGL 2. Ordnung » Anfangswertproblem lösen
Autor
Universität/Hochschule Anfangswertproblem lösen
MiMo
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 11.01.2016
Mitteilungen: 84
  Themenstart: 2018-04-28

Hallo Matheplanet-User! Es geht um folgende Aufgabe: Bestimme für a, \alpha \in \IR eine Lösung u \in C^2((0,\inf)\cut\ C^0([0,\inf)) des Anfangswertproblems u''=a(1-\alpha u') in (0,\inf) u(0)=0 u'(0)=0. Ist die Lösung eindeutig? Ich habe die Lösung mit Fallunterscheidung berechnet, bin mir aber nicht ganz sicher ob die Idee so stimmt, deshalb hier meine Lösung: Es gilt u''=a(1-\alpha u')=-\alpha *a*u' +a. Zuerst berechnen wir die Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung u''+au'\alpha=0. Wir berechnen dies mit dem Euler-Ansatz. Das charakteristische Polynom der DGL lautet \lambda^2+a\alpha \lambda =0 und die zugehörigen Nullstellen sind \lambda_1 = (-a\alpha -sqrt(a^2 \alpha^2-4))/2 und \lambda_2 = (-a\alpha +sqrt(a^2 \alpha^2-4))/2. Nun dachte ich mir dass man an dieser Stelle 3 Fälle unterscheiden muss. 1.Fall: |a\alpha| > 2, 2.Fall: |a\alpha|=2 und 3. Fall: |a\alpha|<2. Ist das soweit richtig? Dann habe ich die Lösung u für diese 3 Fälle bestimmt. Nun habe ich dann noch eine Frage zur Eindeutigkeit der Lösung: Ich dachte dass die Lösung u in diesem Fall eindeutig ist, da wir 2 Anfangswerte gegeben haben und es sich hier um eine DGL zweiter Ordnung handelt. Stimmt das? Ich bin mir mit der Eindeutigkeit sehr unsicher, wir haben nämlich DGL noch nie richtig behandelt, aber in dieser VL werden die gewöhnlichen DGL als bekannt vorausgesetzt und ich habe deshalb noch mit einigen Zusammenhängen ein paar Probleme. Würde mich deshalb freuen wenn jemand kurz über meinen Ansatz drüber schauen könnte. LG, MiMo


   Profil
gonz
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.02.2013
Mitteilungen: 4013
Wohnort: Harz
  Beitrag No.1, eingetragen 2018-04-28

Hallo MiMo, die Lösungen des char. Polynoms sehen verdächtig kompliziert aus, es ist doch \ \lambda^2 + a\alpha\lambda = 0 (\lambda+a\alpha) \lambda = 0 \lambda_1 = -a\alpha und \lambda_2=0


   Profil
MiMo
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 11.01.2016
Mitteilungen: 84
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-29

Ohja, da hatte ich mich verrechnet. Dann stellt sich die Frage mit den verschiedenen Fällen auch gar nicht mehr. Also ich habe dann folgende Lösung: \lambda_1 = 0, \lambda_2 = -a\alpha Dann ist die Lösung der homogenen DGL u_h(x)=c_1 + c_2 * e^(-a\alpha x). Die partikuläre Lösung kann man auch sofort berechnen, da wir b(x)=konstante haben: u_p(x)=x/\alpha. Insgesamt erhalten wir dann die Lösung u(x)= c_1 + c_2 * e^(-a\alpha x)+x/\alpha. Wenn wir nun noch die Anfangswerte beachten erhalten wir schlussendlich u(x)= -1/a\alpha^2 + 1/a\alpha^2* e^(-a\alpha x) + x/\alpha . Ich habe dann nun für a und \alpha verschiedene Werte eingesetzt, aber die Lösung und die Anfangswerte sind für diese verschiedene Werte immer erfüllt. Also ist unsere Lösung doch nicht eindeutig oder? LG, MiMo


   Profil
Wally
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9361
Wohnort: Dortmund, Old Europe
  Beitrag No.3, eingetragen 2018-04-29

So wie die Aufgabe gestellt ist, sind $\alpha$ und $a$ fest vorgegeben. Natürlich bekommt man für andere Werte davon andere Lösungen. Wally


   Profil
MiMo
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 11.01.2016
Mitteilungen: 84
  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-29

Ok, also für feste a, \alpha \in \IR ist die Lösung dann aber eindeutig oder? LG, MiMo


   Profil
Wally
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9361
Wohnort: Dortmund, Old Europe
  Beitrag No.5, eingetragen 2018-04-29

Das hast du doch ausgerechnet. Wally


   Profil
MiMo hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]