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Mathematik » Topologie » Wege in QxR /cup RxQ
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Universität/Hochschule Wege in QxR /cup RxQ
Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-05-02

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Aus diesem Thread LinkSind die Mengen (weg)zusammenhängend? ist folgende Fragestellung entstanden:

Sei $f:[0,1]\rightarrow D$ ein stetiger Weg im topologischen Raum $D:=\mathbb R \times \mathbb Q \cup \mathbb Q\times \mathbb R\subset \mathbb R^2$ und seien $x_1,x_2: D\rightarrow \mathbb R$ die Projektionen auf die erste bzw. zweite Koordinate. Gilt dann, dass es für jedes $t\in[0,1)$ ein $\epsilon >0$ gibt, so dass $x_1\circ f|_{[t, t+\epsilon]}$ oder $x_2\circ f|_{[t, t+\epsilon]}$ konstant ist?

Ich habe bisher ohne Erfolg versucht ähnlich zum Beweis für folgendes Lemma zu argumentieren:
Lemma: Sei $I\subset \mathbb R$ ein Intervall und sei $f:I\rightarrow \mathbb R$ stetig. Falls $f(\mathbb R \setminus \mathbb Q)\subset \mathbb Q$, dann ist $f$ konstant.
Beweis:

Aus dieser Voraussetzung folgt, dass das Bild von $f$ abzählbar ist. Nach Zwischenwertsatz ist das Bild von $f$ zudem ein Intervall und muss folglich aus nur einem Punkt bestehen.

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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-05-02


Hallo Numaron,

ich glaube nicht, dass dieses richtig ist. Hier hätte ich zwei mögliche Ansätze für ein Gegenbeispiel.

1) Konstruiere eine Treppe aus Strecken der Länge \(1/q^n\).

2) Ggf. läßt sich die Koch-Kurve etwas verändern, s.d. diese in D liegt und dann nirgends diese Bedingung erfüllt.



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-02


1) Den Ansatz mit der Treppe verstehe ich nicht. Meinst du sowas: Starte mit dem Weg von (0,0)-(1,0)-(1,1). Im nächsten Schritt verkleinere die Stufen zu (0,0)-(0.5,0)-(0.5,0.5)-(1,0.5) -(1,1) usw. Das würde doch gegen die Strecke (0,0)-(1,1) konvergieren, die verläuft aber nicht in D.

2) Ich kann mir vorstellen, dass das irgendwie klappt indem man statt 60° Winkeln 90° Winkel nimmt. Mir graut es ein bisschen davor zu zeigen, dass das Ergebnis in D verläuft, aber ich werde mal versuchen mich durchzukämpfen.



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-05-02


zu 1) nicht ganz. Ich hatte an den Weg (0;0)-(1;0)-(1;1)-(1,5;1)-(1,5;1,5)-(1,75;1,5)-... gedacht, d.h. die Treppenstufen werden entsprechend der geometrischen Folge kleiner. Der Grenzwert/Endpunkt liegt dann in \(\IQ\times\IQ\) und der Weg läßt sich durch \(1/(1-q),1/(1-q)\) stetig fortsetzen.

zu 2) Bei der Koch-Kurve hatte ich daran gedacht, das Dreick durch ein Quadrat zu ersetzen. Hier liegst Du glaub' ich richtig, dass das Ergebnis dann nicht mehr in D liegt.

Mit 1) erhält man ein Beispiel, wo die Bedingung "$x_1\circ f|_{[t, t+\epsilon]}$ oder $x_2\circ f|_{[t, t+\epsilon]}$ konstant" in einem isolierten Punkt nicht erfüllt ist. Die Frage ist nun, wie viele von diesen Punkten möglich sind (ähnlich zu "stetig und nirgends differenzierbar").




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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-02

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Ok, das ist clever! Damit wirklich ein Gegenbeispiel entsteht kann man dann $(1/(1-q), 1/(1-q))$ als Startpunkt des Weges nehmen. Oder man verlängert den Weg durch Spiegelung
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