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Gewöhnliche DGL » Lineare DGL 2. Ordnung » Ansätze für inhomogene Differenzialgleichung
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Universität/Hochschule J Ansätze für inhomogene Differenzialgleichung
MisterBrown
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  Themenstart: 2018-05-02

Hallo, die letzte Zeit löse ich immer wieder DGL 2. Ordnung. Leider habe ich immer wieder das selbe Problem. Ich komme einfach nicht auf den richtigen Ansatz für den inhomogenen Teil. Zum Beispiel bei 1/cos(x) oder exp(x)+2x^2 habe ich einfach keinen richtigen Ansatz. Wie geht ihr da vor, um auf den richtigen Ansatz zu kommen? Umschreiben oder gibt es da sogar für jeden einzelnen Fall den richtigen Ansatz wie zum Beispiel für: a*exp(\lambda*x) -> b*exp(\lambda*x) würde mich über ein paar Tipps freuen.


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Kuestenkind
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  Beitrag No.1, eingetragen 2018-05-02

Huhu! Guck dir noch mal den Link an, welchen ich in deinem letzten Thread gepostet habe. Auf Seite 2 findest du für deine zweite Störfunktion den passenden Ansatz. Für \(\sec(x)\) sieht es da leider schlecht aus. Da funktioniert dann natürlich Variation der Konstanten. Gruß, Küstenkind


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MisterBrown
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-02

\quoteon(2018-05-02 19:28 - Kuestenkind in Beitrag No. 1) Huhu! Guck dir noch mal den Link an, welchen ich in deinem letzten Thread gepostet habe. Auf Seite 2 findest du für deine zweite Störfunktion den passenden Ansatz. Für \(\sec(x)\) sieht es da leider schlecht aus. Da funktioniert dann natürlich Variation der Konstanten. Gruß, Küstenkind \quoteoff Dankeschön :D


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MisterBrown
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-02

Darf ich dann meinen Ansatz einfach trennen und sagen: e^x -> A*x*e^x und 2x^2 -> B*x^2+C*x+D ?


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Kuestenkind
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  Beitrag No.4, eingetragen 2018-05-02

Das steht am Rand auf Seite 2 - ja. Es ist dir dann überlassen, ob du direkt die Summe bildest (also \(y_p(x)=...+...\)), oder schrittweise vorgehst (\(y_{p_1}=...\) und \(y_{p_2}=...\)) und hinterher die Summe bildest. Beachte allerdings, dass dein Ansatz für die exp-Funktion nur bei Resonanz richtig ist, z.B. also bei der DGL \(y''-y=\exp(x)\). Bei der DGL \(y''-5y'+6y=e^x\) tut es dann \(Ae^x\). Wie wäre nun der Ansatz für die partikuläre Lösung der DGL \(y''-2y'+y=e^x+2x\)? Gruß, Küstenkind


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MisterBrown
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-02

Auf den ersten Blick würde ich sagen, dass ich wiederum A*x^2*exp(\lambda*x)?


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Kuestenkind
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  Beitrag No.6, eingetragen 2018-05-02

Wie lautet denn die charakteristische Gleichung? Welche Lösungen besitzt sie? Gruß, Küstenkind edit: Das \(x^2\) stimmt nun. \( \lambda \) ist ja 1.


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MisterBrown
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-19

Hallo Küstenkind, bitte entschuldige meine lange Abwesenheit vom Matheplanet. die charakteristische Gleichung müsste hier lauten: \lambda^2-2\lambda+1=0 ich forme um: =(\lambda-1)^2=0 und erhalte als doppelte Nullstelle \lambda=1


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