Die Mathe-Redaktion - 04.04.2020 07:57 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte / Top 15
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
Listenpunkt? im neuen Schwätz
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Schwarzes Brett
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps für den MP

Werbung

Bücher zu Naturwissenschaft und Technik bei amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 478 Gäste und 7 Mitglieder online

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Dixon Orangenschale
Physik » Atom-, Kern-, Quantenphysik » Frei fallendes Teilchen, Eigenschaft des Überlapps
Druckversion
Druckversion
Autor
Universität/Hochschule J Frei fallendes Teilchen, Eigenschaft des Überlapps
Sigi7444
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 13.01.2018
Mitteilungen: 38
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-05-05


Hallo,

Ich hoffe mit kann jemand beim folgenden Problem helfen:

Es wird ein entlang der Z- Achse frei fallendes Teilchen betrachtet. Die Eigenkets des zugehörigen Hamiltonoperators haben in der Impulsdarstellung die folgende Form:

<p|E, t> = N*exp((i/h) *(E*t +p^3/(6*g*m^2)-E*p/(g*m))


Nun soll folgendes gezeigt werden:

<z|E, t> = <z+a|E - mga, t>

Ich habe mit dem Einschieben des Einheitsoperators (Integral über p |p><p|) begonnen. Damit ergibt sich ein Integral über <z|p>*<p|E,t> bezüglich p. (<z|p> ist die gewohnte Wellenfunktion p(z))
Wenn ich dann weiterrechne, und die E- Funktionen um die entsprechenden Terme erweitere (um auf die Rechte Seite der obigen Gleichung zu kommen) bleiben am Schluss im Integral von p abhängige Faktoren, wodurch ich den Einheitsoperator nicht wieder rausziehen kann.

LG, Sigi



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Tirpitz
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.01.2015
Mitteilungen: 752
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-05-05


Hi!

Ich habe scheinbar gerade in paar Tomaten auf den Augen, aber vielleicht hilft es dir ja weiter:

Mit dem Zeitentwicklungsoperator gilt ja \(\hat T(a)|z\rangle=|z+a\rangle\). Insbesondere ist \(\hat T(-a)\hat T(a)=\hat 1\). Außerdem ist evtl. bekannt, dass der Impuls der Generator der Translationsgruppe ist, also \(\hat T(a)=\exp({-\frac{\mathrm i}{\hbar}a\hat p})\).
Also: \[\begin{align*}\langle z|E,t\rangle&=\langle z|\hat T(-a)\hat T(a)|E,t\rangle\\&=\langle z+a|\hat T(a)|E,t\rangle\\
&=\int\limits_{-\infty}^\infty \mathrm dp'\langle z+a|p'\rangle\langle p'|\hat T(a)|E,t\rangle\\
&=\int\limits_{-\infty}^\infty \mathrm dp'\langle z+a|p'\rangle\langle p'|\exp\left(-\frac{\mathrm i}{\hbar}a\hat p\right)|E,t\rangle\\
&=\int\limits_{-\infty}^\infty \mathrm dp'\exp\left(\frac{\mathrm i}{\hbar}ap'\right)\langle z+a|p'\rangle\langle p'|E,t\rangle\\
&=\int\limits_{-\infty}^\infty \mathrm dp'\exp(\frac{\mathrm i}{\hbar}ap')\langle z+a|p'\rangle N\exp\left(\frac{\mathrm i}{\hbar}\left(Et+\frac{p'^3}{6gm^2}-\frac{Ep'}{gm}\right)\right)\\
&=\int\limits_{-\infty}^\infty \mathrm dp'\langle z+a|p'\rangle N\exp\left(\frac{\mathrm i}{\hbar}\left(Et+\frac{p'^3}{6gm^2}-\frac{(E-mga)p'}{gm}\right)\right)\\
&=\exp\left(\frac{\mathrm i}{\hbar}mgat\right)\int\limits_{-\infty}^\infty \mathrm dp'\langle z+a|p'\rangle N\exp\left(\frac{\mathrm i}{\hbar}\left((E-mga)t+\frac{p'^3}{6gm^2}-\frac{(E-mga)p'}{gm}\right)\right)\\
&=\exp\left(\frac{\mathrm i}{\hbar}mgat\right)\int\limits_{-\infty}^\infty \mathrm dp'\langle z+a|p'\rangle\langle p'|E-mga,t\rangle\\
&=\exp\left(\frac{\mathrm i}{\hbar}mgat\right)\langle z+a|E-mga,t\rangle
\end{align*}\]
Vielleicht findest du ja heraus, ob und wie man diese Phase loswird.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Sigi7444
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 13.01.2018
Mitteilungen: 38
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-05


Hallo Tirpitz,

Danke für deine ausführliche Antwort, damit sind wir schonmal einen großen Schritt in die richtige Richtung gekommen. Dass der Impuls der Erzeuger der Translation ist, war mir grundsätzlich bekannt, ich hatte das aber überhaupt nicht mehr im Kopf.

Eventuell könnte man argumentieren, dass die Phase eine globale Phase ist und damit beim Bilden von Erwartungwerten wegfällt. Da nur Erwartungswerte messbar sind, könnte man dann sagen, dass die Phase physikalisch nicht messbar, also irrelevant ist. (Phasen von Wellenfunktionen sind ja eigentlich nur bei Interferenzen relevant)
Ich muss mir dass aber nochmal durchdenken, will mich noch nicht auf diese Behauptung festlegen. Was hältst du davon?

Beste Grüße,
Sigi



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Tirpitz
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.01.2015
Mitteilungen: 752
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-05-05


Das kann man schon so sagen, nur steht davon in der Aufgabe nichts bzw. dann hätte die Aufgabe eher so wie \(|\langle z|E,t\rangle|^2=|\langle z+a|E-mga,t\rangle|^2\) lauten müssen. Einen Fehler meinerseits kann ich jedenfalls nicht finden.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Sigi7444
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 13.01.2018
Mitteilungen: 38
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-05


Fehler kann ich in der Rechnung auch keinen finden, ich bin jetzt auch mit einer anderen Herangehensweise (eben durch erweitern der e- Funktionen) zum gleichen Ergebnis gekommen.

Wenn man also davon ausgeht, dass die Rechnung stimmt (davon bin ich inzwischen überzeugt) bleibt nur zu schließen, dass die zu beweisende Behauptung - zumindest aus rein mathematischer Sicht - falsch ist. Ich denke ich werde das einfach genau so dazuschreiben.
Kann dir dann ja gerne hier schreiben, falls da noch was Interessantes dabei rumkommt :-)

LG



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Sigi7444
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 13.01.2018
Mitteilungen: 38
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-06


Ich habe mir jetzt nochmal die Rechnung angeschaut und bin beim Schritt von der vierten auf die fünfte Zeile spektisch geworden. Ich hab mir das am Papier durchgerechnet und bin zum Ergebniss gekommen, dass

fed-Code einblenden

Rechenfehler meinerseits will ich an der Stelle aber nicht ausschließen



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Tirpitz
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.01.2015
Mitteilungen: 752
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-05-06


Damit ein Operator auf einen Bra wirken kann, muss man seine Adjungierte betrachten, das würde m.E. dann das Vorzeichen vom Exponenten umkehren.

Aber unabhängig vom Vorzeichen löst das das Problem mit der Phase nicht.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Sigi7444
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 13.01.2018
Mitteilungen: 38
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-06


Hier ist die Rechnung zur obigen Behauptung (x soll komplexe Konjugation darstellen). Im letzten Schritt wird benutzt, dass phi ein beliebiger Zustand ist. Wenn man das in deine Rechnung einsetzt tauchen wieder die zusätzlichen, unerwünschten p- Faktoren auf.

fed-Code einblenden



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
dromedar
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 26.10.2013
Mitteilungen: 5123
Aus: München
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-05-06


2018-05-06 00:38 - Sigi7444 in Beitrag No. 5 schreibt:
Ich hab mir das am Papier durchgerechnet und bin zum Ergebniss gekommen, dass

fed-Code einblenden

Das ist auch richtig.

2018-05-06 00:55 - Tirpitz in Beitrag No. 6 schreibt:
Damit ein Operator auf einen Bra wirken kann, muss man seine Adjungierte betrachten, das würde m.E. dann das Vorzeichen vom Exponenten umkehren.

Hier übersiehst Du, dass sich bei diesem "Gegenargument" das Vorzeichen zweimal umdrehen würde: Für eine Funktion $f$ und somit insbesondere auch für $f(p)=\exp\left(-{i\over\hbar}ap\right)$ ist

    $\langle p'|f(\hat p)=\Bigl(f(\hat p)^+|p'\rangle\Bigr)^+=
\Bigl(\overline{f(p')}\,|p'\rangle\Bigr)^+=
\langle p'|f(p')$  .

Grüße,
dromedar



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Tirpitz
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.01.2015
Mitteilungen: 752
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-05-06


2018-05-06 01:57 - dromedar in Beitrag No. 8 schreibt:

Hier übersiehst Du, dass sich bei diesem "Gegenargument" das Vorzeichen zweimal umdrehen würde:

[...]

Hm, da erlag ich bei später Stunde wohl einer Art confirmation bias. Ich sollte beim Rechnen nicht so sehr auf das Endergebnis schauen. Jedenfalls bin ich mir jetzt sehr sicher, dass die zu zeigende Aussage \(\langle z+a,t|E-mga,t\rangle=\langle z|E,t\rangle\) hätte lauten sollen, mit \(\langle z+a,t|p\rangle=\exp\left(\frac{\mathrm i}{\hbar}\left( ap-mgat\right)\right)\langle z|p\rangle\) (folgt direkt aus Translations- und Zeitentwicklungsoperator \(\hat U(t)=\exp\left(-\frac{\mathrm i}{\hbar}mg\hat zt\right)\)). Den Rest schafft der TE sicher selbst.

Edit: Das kann so auch nicht stimmen, der der Zeitentwicklungsoperator ja noch einen kinetischen Teil braucht.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
dromedar
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 26.10.2013
Mitteilungen: 5123
Aus: München
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2018-05-06


Übrigens sieht schon die Impulsraum-Wellenfunktion im Startbeitrag nicht ganz richtig aus. Statt einer Zeitabhängigkeit $\propto\exp\left({i\over\hbar}Et\right)$ würde man doch eher $\propto\exp\left(-{i\over\hbar}Et\right)$ erwarten.

Wenn man diese Wellenfunktion entsprechend korrigiert,

    $\displaystyle
\langle p|E,t\rangle = N\exp\left[-{i\over\hbar}\left(
Et+{p^3\over6gm^2}-{Ep\over gm}\right)\right]$  ,

hat man

    $\begin{align*}
\langle p|\hat T(a)|E,t\rangle &=
\langle p|\exp\left(-{i\over\hbar}ap\right)|E,t\rangle =\\[1.5ex]
&=N\exp\left[-{i\over\hbar}\left(
Et+{p^3\over6gm^2}-{(E-agm)\,p\over gm}\right)\right] =\\[1.5ex]
&={\textstyle \exp\left(-{i\over\hbar}agmt\right)}\,
\langle p|E-agm,t\rangle
\end{align*}$

und somit bis auf das bekannte Phasenfaktor-Problem das erwartete Ergebnis:

    $\langle z|E,t\rangle =
\langle z|\hat T(a)^+\hat T(a)|E,t\rangle =
\exp\left(-{i\over\hbar}agmt\right)\,\langle z+a|E-agm,t\rangle$



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Sigi7444
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 13.01.2018
Mitteilungen: 38
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-06


Guten Morgen erstmal,

@dromedar
Tatsächlich gehört da ein minus (habs grade nochmal durchgerechnet). Würde mich interessieren, wie du das vom bloßen hinschauen schließen kannst.

@Tirpitz
Ich hatte noch keine Zeit das durchzurechen, würde mich aber auch bei dir interessieren, wie du zu dem Schluss kommst.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Sigi7444
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 13.01.2018
Mitteilungen: 38
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-06


2018-05-06 09:50 - dromedar in Beitrag No. 10 schreibt:

Wenn man diese Wellenfunktion entsprechend korrigiert,

    $\displaystyle
\langle p|E,t\rangle = N\exp\left[-{i\over\hbar}\left(
Et+{p^3\over6gm^2}-{Ep\over gm}\right)\right]$  

@dromedar jetzt hast du aber auch bei den beiden anderen Termen der e- Funktion das Vorzeichen gewechselt. Diese Wellenfunktion ist keine Lösung der Schrödingergleichung.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Tirpitz
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.01.2015
Mitteilungen: 752
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2018-05-06


@Siggi7444: Das war Blödsinn, ist zu ignorieren.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Tirpitz
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.01.2015
Mitteilungen: 752
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2018-05-06


Auch mal ganz ketzerisch gefragt: wo kommt die Lösung der SGL eigentlich her? Gehe ich recht in der Annahme, dass der Hamiltonian in Ortsdarstellung \(\hat H=-\frac{1}{2m}\frac{\partial^2}{\partial z^2}+mg\hat z\) lautet? Ist da auch kein Fehler?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Sigi7444
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 13.01.2018
Mitteilungen: 38
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-06


@Tirpitz

Was mich interessieren würde ist, wie du auf diesen Zeitentwicklungsoperator für |z(t)> kommst.
Der Hamiltonoperator des Systems ist ja

fed-Code einblenden

Und bei zeitunabhängigem Hamiltinoperator (und t_0 = 0)
gilt
fed-Code einblenden

Du benutzt für die Zeotentwicklung von z(t) hingegen
fed-Code einblenden

Wie kommst du darauf?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.13 begonnen.]



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Sigi7444
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 13.01.2018
Mitteilungen: 38
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-06


Ja da hast du richtig geraten. Es wurde aber die Implusdarstellung verwendet.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Tirpitz
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.01.2015
Mitteilungen: 752
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2018-05-06



Wie kommst du darauf?
War, wie gesagt, Unfug. Es bleibt dabei, da ist ein Phasenfaktor, den man nicht ohne die Aufgabenstellung zu verändern wegdiskutieren kann.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Sigi7444
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 13.01.2018
Mitteilungen: 38
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-06


HM.. das Beispiel hats in sich



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
dromedar
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 26.10.2013
Mitteilungen: 5123
Aus: München
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, eingetragen 2018-05-06


2018-05-06 11:44 - Sigi7444 in Beitrag No. 18 schreibt:
HM.. das Beispiel hats in sich

Schreib doch mal Deine Aufgabe hier wirklich vollständig hin.

Wenn der Hamiltonoperator tatsächlich

    $\displaystyle H={\,\hat p^2\!\over2m}+mg\hat z$

lautet, hast Du mit Deinem Hinweis in Beitrag No. 12 Recht:

2018-05-06 10:59 - Sigi7444 in Beitrag No. 12 schreibt:
@dromedar jetzt hast du aber auch bei den beiden anderen Termen der e- Funktion das Vorzeichen gewechselt. Diese Wellenfunktion ist keine Lösung der Schrödingergleichung.

Allerdings hat nur der Hamiltonoperator

    $\displaystyle H={\,\hat p^2\!\over2m}-mg\hat z$

etwas, das der in der Aufgabe genannten Eigenschaft nahekommt, wie man ganz unabhängig von einer Wellenfunktion nachrechnen kann (ich betrachte nur $t=0$): Für eine Eigenfunktion

    $\displaystyle
H|E\rangle=E|E\rangle$

ist

    $\displaystyle
HT(a)|E\rangle=T(a)\bigl[T(a)^+HT(a)\bigr]|E\rangle=
T(a)(E-mga)|E\rangle$

wegen

    $\displaystyle T(a)^+HT(a)=H-mga$

und somit

    $\begin{align*}
&T(a)|E\rangle\propto|E-mga\rangle&\iff\\[1.5ex]
&|E\rangle\propto T(a)^+|E-mga\rangle&\iff\\[1.5ex]
&\langle z|E\rangle\propto\langle z+a|E-mga\rangle\quad.
\end{align*}$



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Sigi7444
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 13.01.2018
Mitteilungen: 38
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-06


Danke, damit ist jetzt klar, dass die Angabe falsch war, wenn man das umstellt geht sich alles wie erwartet aus. (das Problemchen mit der Phase bleibt natürlich, ist aber handlebar)

PS:
Ich habe übrigens nicht fed-Code einblenden verändert sondern die zu beweisende Behauptung von
fed-Code einblenden

zu

fed-Code einblenden

verändert.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Sigi7444 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Sigi7444 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Sigi7444 wird per Mail über neue Antworten informiert.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP, that seems no longer to be maintained or supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]