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Mathematik » Zahlentheorie » Können beliebig lange Primzahllücken unendlich lang sein?
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Kein bestimmter Bereich Können beliebig lange Primzahllücken unendlich lang sein?
Hutschi
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Aus: Dresden, Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-05-15


Bekanntlich kann man Primzahllücken mit beliebiger Länge finden. Dazu gibt es bekannte Beweise. Die will ich hier nicht wiederholen.

Ich habe aber eine Frage dazu:

Wenn die Lücken beliebig groß sein können, können sie dann auch unendlich groß werden?

Primzahl, unendlich große Lücke, Primzahl, ... Lücke ...

Man brauchte ein "Prinzahlverkleinerungsglas", um es auf dem Zahlenstrahl darstellen zu können. Nach der unendlich großen Lücke würden endliche Lücken folgen und dann wieder unendlich große Lücken.
Das kann sich unendlich oft wiederholen.

Ist das korrekt?

Trifft das nur in bestimmten Zahlenbereichen zu? (Z.B. Hyperreelle Zahlen, falls es dort zutrifft) oder gilt das bereits für natürliche Zahlen?

Ich denke, es müsste funktionieren, wenn ein Zahlenbereich unendlich als Zahl zulässt. Bei natürlichen und reellen Zahlen ist unendlich keine Zahl.

Wenn unendlich (in verschiedenen Hierarchien) als Zahl vorhanden ist, muss es auch unendlich lange Lücken geben.

Nach der unendlich langen Lücke muss es auch wieder Primzahlen geben, da es ja keine größte Primzahl gibt.
Die Primzahl hat dann unendlich viele Ziffern (Beweisansatz: Hätte sie endlich viele, wäre die Lücke nicht unendlich, weil die Primzahlen der Größe nach geordnet sind.)

Oder gibt es einen Beweis, dass Primzahllücken nicht unendlich groß werden können?



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DerEinfaeltige
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-05-15


Da es unendlich viele Primzahlen gibt, kann es offenbar keine unendlich großen Lücken geben.


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Why waste time learning when ignorance is instantaneous?
- Bill Watterson -



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ollie3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-05-15


hallo.
es gibt aber einen beweis, dass primzahlenlücken beliebig gross sein können.
Wenn du z.B. 99999 aufeinanderfolgende nichtprimzahlen haben willst, nimm
dann 1000000!+2, 1000000!+3, ... bis 100000!+99999. So einfach ist das...
gruss ollie3



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Hutschi
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 15.05.2018
Mitteilungen: 9
Aus: Dresden, Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-15


Genau. Primzahllücken können beliebig groß sein.
Das bedeutet im Grenzfall, unendlich groß.

n->unendlich
unendlich!+2, unendlich!+3, ... bis unendlich!+unendlich.

(Dabei wäre eine Frage: Ist unendlich! eine unendlich große Zahl, Rechnung mit unendlich ist nicht trivial, wie 1+2+3+4+5+6...=-1/12 zeigt.

Man sagt ja auch "Primzahlen können beliebig groß werden", genauer: "größer als jede beliebig große natürliche Zahl".

Was ohne Zweifel gilt und bewiesen ist:

Primzahlen können größer werden als jede beliebig große natürliche Zahl.
Primzahllücken können beliebig groß sein.

Unklar ist mir: Was bedeutet "beliebig" in Bezug auf unendlich.



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DerEinfaeltige
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.02.2015
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-05-15


Beliebig groß ist etwas völlig anderes als unendlich.
Mach das Problem nicht so kompliziert.

Auch natürliche Zahlen können beliebig groß werden.
Dennoch ist jede natürliche Zahl endlich.
Die Primzahllücken wiederum sind eine echte Teilmenge der natürlichen Zahlen.


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Why waste time learning when ignorance is instantaneous?
- Bill Watterson -



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Hutschi
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 15.05.2018
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Aus: Dresden, Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-15


Danke. Das heißt, im Bereich der natürlichen Zahlen lautet die Antwort "nein", weil unendlich nicht zu beliebige natürliche Zahlen zählt.

Die Fragestellung würde also nur in einem erweiterten Zahlenbereich gelten.



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DerEinfaeltige
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.02.2015
Mitteilungen: 1573
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-05-15


Was ist denn deine Definition einer Primzahl und einer Primzahllücke außerhalb der natürlichen Zahlen?


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Why waste time learning when ignorance is instantaneous?
- Bill Watterson -



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Hutschi
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 15.05.2018
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Aus: Dresden, Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-15


Funktionieren würde es wahrscheinlich im Bereich der Hyperreellen Zahlen, bei denen unendlich große Zahlen auch Zahlen sind. (Es gibt noch weitere Zahlenbereiche dieser Art.)

Eine Primzahl ist nur durch sich und durch 1 teilbar.
Eine Primzahllücke ist die Anzahl der Zahlen zwischen zwei Primzahlen, zwischen denen keine Primzahl liegt.

---
Im endlichen Bereich ist ja alles klar.
Unklar ist mir, wie es sich im unendlichen verhält.
Bei natürlichen Zahlen spielt das keine Rolle, weil unendlich nicht dazu gehört.
Unendlich bildet Paradoxien. Ich habe im Moment nur intuitive Vorstellungen.

Eine Frage wäre, ob eine unendlich große Zahl überhaupt teilbar ist.
Wenn nicht, wird die Frage sinnlos. Aber zumindest im Bereich der potentiellen Unendlichkeit sollte das möglich sein.



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viertel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.03.2003
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Aus: Hessen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-05-15


Hi Hutschi

Willkommen auf dem Planeten

Mit der Unendlichkeit und der Anschauung ist das so eine problematische Sache. Da kann man sich schnell in Widersprüche verrennen (die nicht unbedingt Paradoxien sind).

Eigentlich hat Beitrag #1 deine Vermutung schon widerlegt. Wenn es immer noch eine neue größere PZ gibt, wo soll denn da eine unendlich große Lücke sein?

Andersrum gefragt: was soll denn nach einer (der?) unendlich großen Lücke noch kommen? Die Lücke müßte nach irgendeiner (beliebig großen, aber festen) Zahl kommen. Und würde dann den kompletten Rest nach dieser Zahl überdecken. Wie soll denn nach einer solchen Lücke wieder eine größere Zahl kommen? <math>\infty+1</math>?

Gruß vom ¼


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Bild



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Hutschi
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 15.05.2018
Mitteilungen: 9
Aus: Dresden, Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-15


Vielen Dank für die freundliche Begrüßung.
Ja, ungefähr so meine ich es.
Es kommen Zahlen wie <math>\infty+1</math>, <math>\infty+2</math>...
und solche der Art:
<math>\infty+1</math>+1+...+11+<math>\infty+1</math>

Ich nenne mal so eine Zahl Pu (Primzahl unendlich)

Wenn die Zahlen Primzahlen sind, lassen sie sich nur als Rechteck mit der einen Seite 1 und der anderen Seite dem Wert der Zahl darstellen.

Verwandt sind sie zu Zahlen, wie denen, die zwischen der kleinsten positiven reellen Zahl, die größer ist als 0, und 0 liegen. (Sie gehören zum Bereich der hyperreellen Zahlen.

Es sei H eine solche Zahl, Rk sei die kleinste reelle positive Zahl größer 0.

Dann gilt:

0<H<Rk

Und es gilt:
0<Pu<Rk

Aufschreibbar sind solche Zahlen nicht komplett.

Ein Beispiel für H ist
1-0,999... (... bedeutet unendlich viele Neunen)

Im Bereich der reellen Zahlen ist
1-0,999...=0

Der Kehrwert der unendlichen Primzahlen wäre also zwischen der kleinsten positiven reellen Zahl größer als Null und Null.

Man kann diesen Wert aufspreizen mit einer "Unendlichkeitslupe", dann werden die Kehrwerte sichtbar.





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DerEinfaeltige
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2018-05-15


2018-05-15 13:02 - Hutschi in Beitrag No. 9 schreibt:

Es sei H eine solche Zahl, Rk sei die kleinste reelle positive Zahl größer 0.


So eine Zahl kann nicht existieren.
Von daher ist jede Folgerung daraus unsinnig.


Ohne ganz konkrete und klare Definitionen kommst du bei so einem Problem auch nicht weiter.
Du müsstest dir bspw. eine Definition einer Struktur mit "unendlichen" Elementen überlegen und diese dann ggf. so modifizieren, dass man sinnvoll über Teilbarkeit sprechen kann.


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hyperG
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2018-05-15


§1: Denkfehler vieler ist, dass Unendlich - konstante = Konstante
sein müsste -> ist es aber nicht!
Unendlich steht für theoretisch ohne je zum Ende zu kommen ... also praktisch nie zu erreichen.

§2: www.gerdlamprecht.de/Primzahlen.htm
Prime(x) Funktion, die nur Primzahlen ausspuckt
n*(Log[n] + Log[Log[n]] - 1) < Prime[n] < n*(Log[n] + Log[Log[n]]) ; n > 5

-> geht also gegen unendlich: Argument und Funktionswert

§3: Differenz daraus:
Prime(n+1)-Prime(n)
lim Prime(n+1)-Prime(n) =
 
lim ((n+1)*(Log[n+1] + Log[Log[n+1]] - 1 + (Log[Log[n+1]] - 2)/Log[n+1]))-(n (Log[n] + Log[Log[n]] - 1 + (Log[Log[n]] - 2)/Log[n]))
= UNENDLICH 

geht auch gegen unendlich.

Ein Paradoxon wird es nur dann, wenn man den Grenzpunkt als "angekommen" betrachtet.

Analog dazu gibt es 2 steigende Ganzzahl-Funktionen,
die als Bruch gegen Pi konvergieren.
Erst als Grenzwert kommt Pi heraus -> dieses NIE
muss als "Pi kann nie als Bruch" dargestellt werden.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.9 begonnen.]



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2018-05-15


2018-05-15 10:02 - Hutschi im Themenstart schreibt:
... gibt es einen Beweis, dass Primzahllücken nicht unendlich groß werden können?
Hi Hutschi,
ja, Primzahllücken können nicht unendlich groß sein.
Wir betrachten eine Primzahllücke, die mit einer Zahl n beginnt.
Weil es unendlich viele Primzahlen gibt, gibt es eine kleinste Primzahl p > n.
Mit dieser Zahl endet die Lücke, die Lücke besteht aus p-n Zahlen, also aus endlich vielen. Eine unendliche Primzahllücke kann es daher nicht geben.
Gruß Buri



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Hutschi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-15


Danke für die Antworten. Im Bereich der natürlichen Zahlen ist das auch einleuchtend. Hier werden ja verschiedenartige Unendlichkeiten nicht unterschieden. Und Un endlich ist keine natürliche Zahl.

Unterhalb einer gegebenen natürlichen Zahl gibt es auch nur endlich viele Primzahlen und endlich viele Lücken.

Das ist völlig klar. Das habe ich nach den Erläuterungen begriffen und vorher gefühlt.

---
Es gibt aber Zahlbereiche, bei denen die natürlichen Zahlen nur eine Teilmenge sind, wie die hyperreellen Zahlen.
Dabei ist natürlich die Frage, ob es für den größeren Bereich überhaupt Primzahlen gibt.

de.wikipedia.org/wiki/Hyperreelle_Zahl

Gibt es infinite Primzahlen? Oder beschränken diese sich auf den finiten Bereich der hyperreellen ganzen Zahlen? Das ist der erste Punkt. Wenn sie existieren, wie verhalten sie sich?
Das ist der zweite.

Eigentlich kommen diese Zahlen aus der Analysis. Mich interessiert aber die Verbindung zur Zahlentheorie.

---
Im Bereich der natürlichen Zahlen ist alles klar. Hier war mein entscheidender Irrtum, dass "beliebig viele" auch "unendlich viele" bedeuten könne.
Das geht bei den hyperreellen Zahlen, vielleicht sogar bei den surrealen Zahlen. Es gibt hyperreelle ganze Zahlen, die größer als die größte natürliche Zahl sind. (In der Wikipedia ist ein Beispiel gezeigt.)



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Kay_S
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2018-05-15


Definiert man auf den natürlichen Zahlen eine andere Ordnung, z.B. von der Form

2 < 4 < 6 < ... < 1 < 3 < 5 < ...

(also die 'normale' Ordnung mit der Änderung, dass ungerade Zahlen größer als gerade Zahlen sind), so ergibt sich überraschend eine unendlich große Lücke zwischen den Primzahlen 2 und 3.  smile



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Hutschi
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 15.05.2018
Mitteilungen: 9
Aus: Dresden, Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-15


Das stimmt. Eine interessante Beobachtung.



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Kitaktus
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 5438
Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2018-05-16

\(\begingroup\)
Ja, man kann "Zahlen" konstruieren, die "nach unendlich" noch weitergehen und wenn man es möchte, können diese Zahlen-Bereiche auch unendlich viele unendlich lange Abschnitte enthalten.

Das eigentliche Problem ist eine sinnvolle Definition von "Primzahl" für solche Zahlbereiche. Ist $\infty + 2$ eine Primzahl?
Wenn Du in solchen Bereichen erklären kannst, wie Addition und Multiplikation funktionieren, dann kannst Du auch beantworten, ob es unendlich lange Primzahllücken gibt.

Ein mögliches Modell:
Wir betrachten Polynome, deren Koeffizienten alle ganzzahlig sind. Addition und Multiplikation sind so, wie wir es von Polynomen gewöhnt sind.
Ein Polynom $P\neq 1$(*) heißt prim, wenn aus $P=A\cdot B$ (für alle x) folgt, dass entweder $A=P$ oder $B=P$ gilt.
(*) Mit $1$ ist hier das Polynom gemeint, das konstant 1 ist.

Die Zahl der Polynome ist abzählbar.
Wir führen eine Ordnungsrelation ein. Ein Polynom A ist genau dann größer als B, wenn der Koeffizient vor dem Term mit dem höchsten (nichtverschwindenden) Grad von A-B positiv ist.

Falls Dir noch nicht klar geworden ist, was das mit Deiner Anfrage zu tun hat. Die Variable x in einem Polynom P(x) nimmt die Rolle von "unendlich" ein.
Nach den natürlichen Zahlen $0, 1, 2, \dots$ kommen die Zahlen der Form $\dots,x-3,x-2,x-1,x,x+1,x+2,\dots,2x-3,2x-2,2x-1,2x,2x+1,2x+2,\dots$
Irgendwann kommt dann auch mal $x^2$ (also unendlich mal unendlich) usw.

Hiermit könnten wir jetzt herumspielen und Primzahlen und Primzahllücken suchen. Leider sind diese "Zahlen" bezüglich Primzahl-Mustern nicht ganz so spannend, weil es hier viel mehr Primzahlen gibt.
Es gibt zum Beispiel unendlich viele aufeinanderfolgende Primzahlen der Form $x+c$ mit $c\in\IN$.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.11 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Hutschi
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 15.05.2018
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Aus: Dresden, Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-17


"Nach den natürlichen Zahlen 0,1,2,… kommen die Zahlen der Form …,x−3,x−2,x−1,x,x+1,x+2,…,2x−3,2x−2,2x−1,2x,2x+1,2x+2,…
Irgendwann kommt dann auch mal x2 (also unendlich mal unendlich) usw."

Danke, Kikatus. Solche Zahlen meinte ich.
 
Und in diesen gibt es unendlich lange Primzahllücken, natürlich nach jeder Lücke auch weitere Primzahlen.

Es ist nicht einfach, es sich vorzustellen.

Diese Zahlen sehen sehr stark aus, wie die unendlichen positiven ganzen hyperreellen Zahlen.

Interessant wäre, wie dünn die Bereiche besetzt sind und ob das Verteilungsgesetz noch gilt.

Ich bin bei den hyperreellen Zahlen noch am Anfang und es ist "nur" Hobby. Ich bin auch nicht sicher, ob sich außer der bloßen Existenz von Primzahlen und Lücken in diesen Bereichen konkrete Primzahlen feststellen lassen.



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Kitaktus
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.09.2008
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Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2018-05-18

\(\begingroup\)
2018-05-17 19:20 - Hutschi in Beitrag No. 17 schreibt:
Und in diesen gibt es unendlich lange Primzahllücken, natürlich nach jeder Lücke auch weitere Primzahlen.
Ich habe nicht behauptet, dass es unendlich lange Primzahllücken gibt, sondern, dass es unendlich lange Abschnitte gibt, in denen _nur_ Primzahlen vorkommen.
Viele Dinge, die uns von den natürlichen Zahlen vertraut sind, funktionieren hier nicht so ohne weiteres.
Die Frage "Gibt es eine Zahl, die größer ist als alle Primzahlen, lässt sich mit dem Euklidischen Trick im Bereich der natürlichen Zahlen leicht verneinen. Gäbe es eine solche Zahl, dann gäbe es nur endlich viele Primzahlen. Wenn man diese alle miteinander multipliziert und 1 addiert, so erhält man eine Zahl, die einen "neuen" Primteiler hat.
Diese Argumentation funktioniert in dem neunen Zahlenbereich nicht.
Es gibt unendlich viele Primzahlen kleiner als $x^2$. Wenn man sie alle multipliziert, dann hat man den Zahlbereich gesprengt.
\(\endgroup\)


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pzktupel
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Dabei seit: 02.09.2017
Mitteilungen: 487
Aus: Thüringen,Erfurter Raum
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, eingetragen 2018-05-18


Nein Hutschi, gibt es nicht.
Es gibt immer eine Primzahl x zwischen Primzahl p und 2p.
Wenn man das genau so sagen kann, müsste es eine größte Primzahl geben,
damit zwischen der nächsten es unendlich lang dauert.
Es gibt aber keine größte Primzahl. (Beweis Euklid)

Ist ähnlich wie mit den Parallelen, die sich im Unendlichen schneiden, aber per Definition sich eben nie schneiden.




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Hutschi
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 15.05.2018
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Aus: Dresden, Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-18


Es gibt aber auch keine größte Primzahllücke in diesem Sinn.
Und zwischen zwei Primzahllücken gibt es mindestens eine Primzahl.

Nach jeder Primzahl gibt es (mindestens) eine Primzahllücke, deren Zahlenwert länger ist, als die Primzahl.

Im Bereich der natürlichen Zahlen ist das ziemlich offensichtlich. (Es gibt einfache Beweise dafür.)

Im potentiell unendlichen Bereich (gekennzeichnet durch: beliebig groß und natürliche Zahlen ohne Unendlich) ist das alles klar.
2<P<=  <math>\infty</math>

Unklar ist es mir, wie ich schon sagte, im Bereich der aktual unendlichen Zahlen.

0, 1, ..., x x<<math>\infty</math>

Dieser ist gekennzeichnet, dass es verschiedene unendliche Zahlen gibt.

0,1,2, ..., n, ... , zzz...1, zzz...2 ... etc.
z ist eine Ziffer, zzz...1 ist eine ganze Zahl, die mit zzz beginnt und weitere unendlich viele Ziffern enthält, an die sich die Ziffer 1 anschließt. zzz...2 ist ihr Nachfolger.
Die Ziffern zzz... sind in beiden Zahlen gleich.
(Ich habe hier eine unkonventionelle Notation verwendet und hoffe, dass sie genügend klar ist.)


Dass das mit "einfachen" natürlichen Zahlen geht, habe ich nur ganz am Anfang gedacht, aber es widerspricht der Definition, dass unendlich keine natürliche Zahl ist.
Eine unendlich lange positive ganze Zahl kann aber in einem erweiterten Zahlenbereich solche Eigenschaften haben. Die Frage ist, ob es sie hat, wie sie aussehen, ob dort Primzahlen existieren und ob dort Lücken zwischen Primzahlen existieren.



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