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Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Rationale und reelle Zahlen » lim sup (a_n+b_n) <= lim sup a_n + lim sup b_n
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Universität/Hochschule J lim sup (a_n+b_n) <= lim sup a_n + lim sup b_n
Physics
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 29.04.2018
Mitteilungen: 178
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-05-15


Hallo liebes Forum,

die Aufgabe lautet:
fed-Code einblenden

Mein Ansatz zu a):
fed-Code einblenden

Ich verstehe Schritt iii) noch nicht ganz:
fed-Code einblenden

Mein Ansatz zu b)

Hierzu fallen mir keine Folgen ein...

Vorab danke für eure Hilfe,
VG Physics




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helmetzer
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Dabei seit: 14.10.2013
Mitteilungen: 1209
Aus: Helmbrechts, Franken
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-05-15


2018-05-15 14:48 - Physics im Themenstart schreibt:


Mein Ansatz zu b)

Hierzu fallen mir keine Folgen ein...


Wie wäre es mit <math>a_n = (-1)^n</math> und ...



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Physics
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 29.04.2018
Mitteilungen: 178
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-15


Danke erstmal.

Hat noch Jemand Tipps zur a)

VG,
Physics



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wessi90
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Mitteilungen: 1971
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-05-15


Rechts vom größten Häufungspunkt liegen nur endlich viele Folgenglieder. Diese sind nicht relevant, denn wenn du in deiner Teilfolge welche davon hättest, könntest du zu einer anderen Teilfolge übergehen, wo sie rausgestrichen wurden. Weil es nur endlich viele sind, ändert sich dabei nichts.




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Physics
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Mitteilungen: 178
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-15


Hi wessi90,

kann dir nicht ganz folgen. Anders gesagt bedeutet das ja nur: Der Häufungspunkt besitzt eben gerade die Grenzwert-Eigenschaft für eine Teilfolge, nämlich:

fed-Code einblenden

Doch hier ist doch der Absolutbetrag wichtig und kann nur weggelassen werden, sofern die Folge monoton fällt, weil dann immer:

fed-Code einblenden

Falls die Folge monoton steigt habe ich doch das Problem, dass gilt:

fed-Code einblenden



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StrgAltEntf
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Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 4517
Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-05-15


Hallo Physics,

den Beweis aus #0 ist nicht okay. Die beiden Teilfolgen, die gegen lim sup a_n und lim sup b_n konvergieren, brauchen nicht dieselbe Indexmenge zu haben. Z. B. könnten die a_n immer dann klein sein, wenn die b_n groß sind, und umgekehrt. Das war jetzt auch schon der Tipp für b.



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Physics
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 29.04.2018
Mitteilungen: 178
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-15


Hi StrgAltEntf,

dann wähle ich K=max{K1,K2}
Trotzdem ist mir noch nicht klar, wieso überhaupt gilt:
fed-Code einblenden

Dies ist doch nur für monoton steigende Folgen gegeben.

VG,
Physics



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Kampfpudel
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Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 1376
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-05-15

\(\begingroup\)
Wenn für reelle Zahlen \(a,b,\epsilon\) gilt:
\(|a-b| < \epsilon\), dann gilt doch INSBESONDERE
\(a < b + \epsilon\)...
\(\endgroup\)


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Physics
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-15


Hi Kampfpudel,

danke für deinen Input. Und diese Eigenschaft folgt dann einfach aus(?):

fed-Code einblenden

VG,
Physics



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StrgAltEntf
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Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-05-15


2018-05-15 20:05 - Physics in Beitrag No. 6 schreibt:
1. dann wähle ich K=max{K1,K2}

2. Trotzdem ist mir noch nicht klar, wieso überhaupt gilt:
fed-Code einblenden

Dies ist doch nur für monoton steigende Folgen gegeben.

zu 1: Ich verstehge nicht, was du damit meinst. Was ist den K1, K2 und was soll K werden?

zu 2: Was hat das mit "monoton steigend" zu tun? Verständnisfrage: Was ist der limsup der Folge a_n = 1/n ?



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Physics
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-15


Zu 1)
Eine Zahl ab welcher für alle k, die Grösser als diese sind, die Teilfolgen a_n und b_n echt kleiner als die Häufunfgspunkte + Epsilon sind für alle Epsilon > 0.

zu 2)
Hier ist der lim sup = lim inf = lim = 0

Monoton steigend insofern als dass es ja 2 beliebige Folgen a_n und b_n sein können. Wenn nun das n-te Folgenglied grösser als der Häufungspunkt ist gilt eben (sprich monoton fallende) dachte ich:

fed-Code einblenden



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StrgAltEntf
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Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2018-05-15

\(\begingroup\)
1. Ja, das sieht schon besser aus ... hatte aber mit deinen bisherigen Ausführungen nicht so viel zu tun.

Also: Sei \(h_a:=\limsup a_n, h_b:=\limsup b_n\) und \(h_{a,b}:=\limsup a_n+b_n\). Zeige: \(h_{a,b}\leq h_a+h_b\).

Sei dazu \(\epsilon>0\). Nach Voraussetzung gibt es \(k_1,k_2\), sodass (... jetzt du weiter)

2. lim sup = lim inf = lim = 0 ist richtig.

"Wenn nun das n-te Folgenglied grösser als der Häufungspunkt ist gilt eben (sprich monoton fallende) dachte ich:"

Den Satz habe ich nicht verstanden.

Und meinst du danach < statt >?

Den Satz habe ich trotzdem nicht verstanden.
\(\endgroup\)


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Physics
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-15


1)
fed-Code einblenden

2)
Hier wollte ich sagen, dass wenn eine Folge monoton steigt und einen Grenzwert hat, die Betragsklammer im Epsilon-N-Kriterium ja nicht einfach weggelassen werden kann, da ja a(n+1)>=a(n)
Ich verstehe einfach nicht wie man die 2 Ungleichungen unter 1) rechtfertigt.

Denn falls die Teilfolge monoton steigt gilt doch:
fed-Code einblenden




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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2018-05-15


2018-05-15 23:28 - Physics in Beitrag No. 12 schreibt:
1)
fed-Code einblenden

Das ist ziemliches Kauderwelsch. Bitte schreibe lieber vollständige Sätze, wenn du mit der mathematischen Schreibweise nicht vertraut bist.

Also: Es gibt k1 und k2, sodass
a_k < h_a + epsilon für alle k > k1 und
b_k < h_b + epsilon für alle k > k2

(Beachte: hier steht k und nicht n_k !)

Für k > max(k1,k2) gilt dann:
a_k + b_k < h_a + h_b + 2 epsilon

Hmm... blöd .. da steht jetzt 2 epsilon. Also noch mal von vorne:

Es gibt k1 und k2, sodass
a_k < h_a + epsilon / 2 für alle k > k1 und
b_k < h_b + epsilon /2 für alle k > k2

Für k > max(k1,k2) gilt dann:
a_k + b_k < h_a + h_b + epsilon

Somit
limsup a_n+b_n <= h_a + h_b

Was du bei 2 sagen wolltest, habe ich nicht verstanden.



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Physics
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-16


Okay danke StrgAltEntf. Sorry falls ich das alles bisschen dilletantisch betreibe, aber mit Analysis I tue ich mir echt schwer. Den Ablauf des Beweises habe ich nun auch so weit verstanden. Was ich nicht verstehe ist nur Folgendes:

Wieso kann ich die Annahme treffen:

fed-Code einblenden

Finde bei mir im Skript keinen Satz, der das aussagt. Ich weiss nur, dass für eine konvergente Folge folgendes gilt:

fed-Code einblenden

D.h. unendlich viele Folgenglieder liegen in dieser Umgebung. Kann  ich also die Annahme aus der Definition für eine konvergente Folge  herleiten?



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StrgAltEntf
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Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2018-05-16

\(\begingroup\)
Man beachte die Nuancen. Sei \((x_n)\) eine Zahlenfolge. Dann ist ...

... \(a\) der Grenzwert von \((x_n)\) genau dann, wenn \(\forall\varepsilon>0\exists k\forall n\geq k:a-\varepsilon<x_n<a+\varepsilon\). (In jeder Epsilon-Umgebung von \(a\) liegen irgendwann alle Folgeglieder.)

... \(a\) ein Häufungswert von \((x_n)\) genau dann, wenn \(\forall\varepsilon>0\forall k\exists n\geq k:a-\varepsilon<x_n<a+\varepsilon\). (In jeder Epsilon-Umgebung von \(a\) liegen unendlich viele Folgeglieder.)

... \(a\) ein obere Schranke von \((x_n)\) genau dann, wenn \(\forall n:x_n\leq a\).

... \(\limsup x_n\leq a\) genau dann, wenn \(\forall\varepsilon>0\exists k\forall n\geq k:x_n<a+\varepsilon\).

... \(\limsup x_n=a\) genau dann, wenn \(\limsup x_n\leq a\) und \(a\) ein Häufungswert von \((x_n)\) ist.



\(\endgroup\)


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Physics
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Danke dir StrgAltEntf! Problem ist damit gelöst gewesen.



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