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Lineare Algebra » Eigenwerte » Eigenwerte einer symmetrischen reellen Matrix sind reell
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Universität/Hochschule Eigenwerte einer symmetrischen reellen Matrix sind reell
Bibi90
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 17.11.2017
Mitteilungen: 39
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-05-18


Ich habe eine Frage zu der folgenden Aufgabe. Sei n ∈ N und A ∈ Mat(nxn, C) mit reellen Einträgen und sei A^t=A.
Nun die Frage: Sind alle Eigenwerte von A reelle Zahlen?

Also ich bin mir nicht ganz sicher, aber da A^t=A gilt und die Matrix A nur reelle Einträge hat, müsste der Beweis doch analog zu der Aussage "Sei
A ∈R(n,n)eine  symmetrische  Matrix  (alsoA^T=A).  Dann  sind  alle Eigenwerte von A reell" oder?
Und wenn nicht wie mache ich das sonst?



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Kitaktus
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 5374
Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-05-18


Ich verstehe Dein Problem nicht.
Du weißt, dass die Eigenwerte einer symmetrischen reellwertigen Matrix reell sind (siehe unten). Damit ist Deine Frage oben beantwortet.

Siehe auch hier.



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Bibi90
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 17.11.2017
Mitteilungen: 39
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-18


Also stimmt meine Aussage? Das ist dann der gleiche Beweis wie hier?

www.mathematik.tu-dortmund.de/scheer/Satz11,3.pdf



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Kitaktus
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 5374
Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-05-18


Da es die gleiche Aussage ist (zumindest so wie ich dich verstehe), kann man auch den gleichen Beweis verwenden.

An welcher Stelle siehst Du denn einen Unterschied zwischen beiden Aussagen?



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Nuramon
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 399
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-05-18

\(\begingroup\)
Vielleicht ist hier nicht so ganz klar, wie man Eigenwerte einer Matrix definiert?

Dem von Bibi verlinkten Beweis liegt diese Definition zugrunde:
Die Eigenwerte einer Matrix $A\in Mat(n\times n,\mathbb R)$ sind genau die Eigenwerte der $\mathbb C$-linearen Abbildung $\mathbb C^n\rightarrow \mathbb C^n, v\mapsto Av $.


Gemäß dieser Definition kann eine reelle Matrix also auch komplexe Eigenwerte haben.

Man könnte aber ja auch auf die Idee kommen Eigenwerte einer reellen Matrix wie folgt zu definieren:
Die Eigenwerte einer Matrix $A\in Mat(n\times n,\mathbb R)$ sind genau die Eigenwerte der $\mathbb R$-linearen Abbildung $\mathbb R^n\rightarrow \mathbb R^n, v\mapsto Av $.

Gemäß dieser Definition hätte dann aber jede(!) reelle Matrix (aufgefasst als Element von $Mat(n\times n,\mathbb R)$) ausschließlich reelle Eigenwerte. Der Satz, dass jede symmetrische reelle Matrix nur reelle Eigenwerte hat, wäre also ziemlich witzlos.

Da aber die erste Definition verwendet wird, muss nichts mehr gezeigt werden.
 
\(\endgroup\)


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Bibi90
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 17.11.2017
Mitteilungen: 39
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-19


Also irgendwie bin ich jetzt total verwirrt (kann aber auch an der späten Uhrzeit liegen :))
Meine ursprüngliche Frage war : Sei n ∈ N und A ∈ Mat(nxn, C) mit reellen Einträgen und sei A^t=A.
Nun die Frage: Sind alle Eigenwerte von A reelle Zahlen
und welchen Beweis verwende ich nun hierzu? Der selbe wie in dem von mir dargestellen Link?

Wäre toll wenn mir da jemand weiterhelfen kann um die Verwirrung in meinem Kopf zu beheben



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Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 45518
Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-05-19


Hi Bibi90,
di Eigenwerte reeller symmetrischer Matrizen sind reell, das besagt der Spektralsatz.
Gruß Buri



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Kitaktus
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 5374
Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-05-21


Ich kann mich nur wiederholen: An welcher Stelle siehst Du denn einen Unterschied zwischen beiden Aussagen?

In beiden Fällen geht es um die Eigenwerte symmetrischer Matrizen mit lauter reellen Einträgen!



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