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Physik » Atom-, Kern-, Quantenphysik » Störungstheorie: Ein harmonischer Oszillator
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Autor
Universität/Hochschule J Störungstheorie: Ein harmonischer Oszillator
quarks
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-05-18


Hallo,

ich versuche mich gerade an folgendem ersten Beispiel zur Störungstheorie:


Zuerst mal der korregierte Energieeigenwert 1. Ordnung:

$$E_n^{(1)} = < n |H_1| > = \frac{\hbar\omega}{4}<n|a^2 + {a^+}^2 +2 \hat n + 1 |n>$$
Wendet man die Operatoren einzeln auf die Zustände an, folgt:

$$E_n^{(1)} = \frac{\hbar\omega}{4} \left( <n|(n-2)>\sqrt{n}\sqrt{n-1} + <n|(n+2)>\sqrt{n+1}\sqrt{n+2} + 2n + 1\right )$$
Ich bin mir nicht ganz sicher, ob die ersten zwei Terme der obigen Summe in der Klammer stimmen.

Jedoch weiß ich auch nicht, was ich falsch gemacht habe. Kann man das noch weiter vereinfachen?

Gruß
quarks



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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-05-19


Hallo quarks,

2018-05-18 13:34 - quarks im Themenstart schreibt:
$$\displaystyle E_n^{(1)} = < n |H_1| > = \frac{\hbar\omega}{4}<n|a^2 + {a^+}^2 +2 \hat n + 1 |n>$$

Du scheinst Teil (a) zu überspringen und Dich gleich mit Teil (b) zu beschäftigen. Es wäre nicht schlecht, wenn Du das auch dazuschreiben würdest.

2018-05-18 13:34 - quarks im Themenstart schreibt:
Ich bin mir nicht ganz sicher, ob die ersten zwei Terme der obigen Summe in der Klammer stimmen.
[...]
Kann man das noch weiter vereinfachen?

Die ersten beiden Terme stimmen, aber man kann sie tatsächlich noch deutlich vereinfachen. Was weißt Du denn über die Produkte $\langle n|n'\rangle$ für $n\ne n'$?

Grüße,
dromedar



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quarks
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-21


Hallo dromedar,

Danke für deine Antwort. Ich habe mich zuerst der Teilaufgabe (b) gewidmet, sorry habe ich vergessen zu erwähnen.

Also das Skalarprodukt $\langle n|n'\rangle$ ist nur dann Null, wenn $n \neq n'$. Und es verbleibt $E_n^{(1)}=\frac{1}{4}\hbar \omega \left( 2n + 1 \right)$. Das habe ich nun verstanden.

Bevor ich die 2. Ordnung der Energiekorrektur ausrechne, bestimme ich den Einergie-Eigenzustand der 1. Ordnung:$$|n\rangle^{(1)} = \sum_{m\left(\neq n\right)} |m\rangle^{(0)} \frac{\langle m^{(0)} | H_1 | n^{(0)} \rangle}{E_n^{(0)} - E_m^{(0)}}$$ Der Nenner ist einfach mit Hilfe der "Energie-Quantelung" zu bestimmen: $E_n^{(0)} - E_m^{(0)} = \hbar \omega \left(n-m\right)$

Der Zähler des Bruches ergibt:
$$\langle m^{(0)} | H_1 | n^{(0)} \rangle = \frac{1}{4}\hbar \omega\langle m^{(0)} | a^2 + a^{+2} | n^{(0)} \rangle = \frac{1}{4} \hbar \omega\left(\delta_{mn-2}\sqrt{n(n-1)}+\delta_{mn+2}\sqrt{(n+1)(n+2)}\right)$$
Aber wie gehe ich weiter vor? Ich sehe deutlich, dass sich der Term $\hbar \omega$ im Endeffekt wegkürzt, jedoch bleibt dann im Nenner $(n-m)$ übrig und der Bruch wird noch mit dem Zustand Nullter Ordnung $|m\rangle ^{(0)}$ multipliziert. Anschließend werden diese Zustände noch addiert, wobei n immer ungleich m sein muss.

Gruß
quarks





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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-05-21


2018-05-21 10:05 - quarks in Beitrag No. 2 schreibt:
Aber wie gehe ich weiter vor?

Nur in höchstens zwei Summanden verschwindet der Zähler nicht. Das sorgt doch schon mal für einige Vereinfachung...



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quarks hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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