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Mathematik » Topologie » Quotient von Banachraum durch Untervektorraum ist ein Banachraum
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Beruf Quotient von Banachraum durch Untervektorraum ist ein Banachraum
sulky
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 21.12.2009
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-05-21

\(\begingroup\)
Hallo Zusammen,

Ich versuche gerade den Beweis zu verstehen, dass
der Quotient eines Banachraumes durch einen Untervektorraum wieder ein Banachraum ist.


Der Beweis beginnt so:
Zeigen wir dass $E/F$ die Komplettheit von E erbt, indem wir zeigen, dass
jede Cauchyfolge $(\hat x_n)$ in $E/N$ eine konvergente Extraktion hat.

Bemerkung: Hier wird es für mich schon sehr unklar. Erstens ist der Begriff "Extraktion einer Folge" nicht defniniert. Ich vermute, dass eine
Unterfolge gemeint ist, aber sicher bin ich nicht.
Sollte es sich tatsächlich um eine Unterfolge handeln, dann wäre dies für mich unklar.
Die Existent von konvergenten Unterfolgen gehört ja schliesslich zu Kompaktheit und nicht zu Komplettheit.

Es ist mir bekannt, dass Komplette Räume oft auch Kompakt sind.
Aber hier sehe ich den Zusammenhang gerade nicht.
Aber  mal weiter im Beweis:



Fixieren wir einen Punkt $x_n\in E$ in jeder Klasse $\hat x_n \in E/F$ und konstruieren wir eine Folge $(x_n)$ von Punkten, welche folgender Hypothese genügen...



Bemerkung: Mit der Nachfolgend genanten Hypothese ist die konvergenz der Cauchyfolge gemeint. Ich bin aber verwirrt durch die Doppelbezeichnung von $x_n$ im einen Falle ist $x_n$ fixiert, im anderen Falle ist es eine Folge.


Wenn doch $x_n$ fixiert ist, weshalb kann dann für jedes $n\ge N$ gelten dass $\forall m \in \mathbb{N}, \;||x_n-x_{m+n}||_F<\epsilon $?

Wer kann da Klarheit schaffen?
\(\endgroup\)


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darkhelmet
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Mitteilungen: 2486
Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-05-21

\(\begingroup\)
Was Extraktion hier heißt, weiß ich auch nicht.

Die Notation $\hat{x_n}$ ist sehr unglücklich, insbesondere wenn man danach (!) definiert, was $x_n$ sein soll.

Eine Cauchyfolge im Quotientenraum ist eine Folge von Äquivalenzklassen. Um zu betonen, dass es sich um Mengen handelt, würde ich vorschlagen, sie mit Großbuchstaben zu bezeichnen, also z.B. $(S_n)_{n\in\mathbb{N}}$.

2018-05-21 00:19 - sulky im Themenstart schreibt:
Fixieren wir einen Punkt $x_n\in E$ in jeder Klasse $\hat x_n \in E/F$ und konstruieren wir eine Folge $(x_n)$ von Punkten, welche folgender Hypothese genügen...

Damit ist gemeint: Definieren wir eine Folge $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ von Elementen von $E$ so, dass $x_n\in S_n$ für alle $n\in\mathbb{N}$ und außerdem folgende Hypothese gilt...

Dass es so eine Folge gibt, muss dann bewiesen werden (bzw. wird dem Leser überlassen, wenn es einfach ist).
\(\endgroup\)


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sulky
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-21

\(\begingroup\)
Hallo Darkhelmet,

Vielen Dank für die schnelle Antwort.

Ich werde also mal versuchen, das \(x_n\) umzubenennen.

Aber zuerst noch folgende Frage:
Ich habe auf Wikipedia den Begriff der "Totalen Beschränktheit" gefunden.
Diesen Begriff kannte ich bisher noch nicht.
Wenn tB vorliegt, dann ist "vollständig" und "kompakt" dasselbe.

Hier im Beweis setzt man voraus, dass jede beschränkte Folge eine konvergente Unterfolge besitzt.
Aber diese Eigenschaft gehört zu Kompakt und nicht zu Vollständig!
Hat es damit zu tun, dass totale Beschränktheit vorliegt, oder liegt da eine andere Verwechslung vor?

Oder kann man etwa soweit gehen, dass Vollständig $\Rightarrow$ Kompakt?
\(\endgroup\)


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MeWi
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-05-21

\(\begingroup\)
Ist der Text im Ausgangspost das Original oder deine eigene Übersetzung? Üblicherweise spricht man von vollständigen (und nicht kompletten) normierten Räumen und Folgen haben Teilfolgen, keine Extraktionen.

Ein normierter Raum ist nie (außer im trivialen Fall) kompakt, da er nicht totalbeschränkt, ja nicht einmal beschränkt ist. Mit Kompaktheit hat das Argument auch nichts zu tun. Vielmehr wird folgender Fakt benutzt: Eine Cauchyfolge ist genau dann konvergent, wenn sie eine konvergente Teilflge hat. Falls dir das nicht bekannt ist, versuche es einmal zu beweisen (es ist vergleichsweise einfach).

Im Übrigen sollte vorausgesetzt werden, dass der Unterraum $F$ in deinem Beweis abgeschlossen ist.
\(\endgroup\)


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