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Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Integration » Eigenschaft Faltung zweier Funktionen
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Universität/Hochschule J Eigenschaft Faltung zweier Funktionen
TetrisCactus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-05-21

\(\begingroup\)
Hallöchen zusammen!

Ich habe folgendes Problem:

\(\int \limits_{-\infty}^{\infty}(f * g)(y)dy = \left(
\int \limits_{-\infty}^{\infty}f(x)dx\right)~\left(\int \limits_{-\infty}^{\infty}g(x)dx\right)\)

Definiert wurde die Faltung in der Aufgabe mit:

\((f * g)(x) :=\int \limits_{-\infty}^{\infty}f(y)g(x-y)dy\)

Durch den Satz von Fubini und die Linearität der Integration komme ich auf:

\(\int \limits_{-\infty}^{\infty}(f * g)(y) dy= \int \limits_{-\infty}^{\infty}\int \limits_{-\infty}^{\infty}f(x)g(y-x)dxdy = \int \limits_{-\infty}^{\infty}\int \limits_{-\infty}^{\infty}f(x)g(y-x)dydx = \int \limits_{-\infty}^{\infty}f(x) \int \limits_{-\infty}^{\infty}g(y-x)dydx \)

Laut matheraum.de/forum/Satz_von_Fubini_und_Faltung/t626795 muss man nur noch substituieren (z = y-x), aber ich schaffe es einfach nicht, auf das Ergebnis zu kommen.

Für einen Stupser oder Hinweis wäre ich dankbar.

Gruß, Tetris
\(\endgroup\)


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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-05-21

\(\begingroup\)
Hey TetrisCactus,

schau dir doch mal für ein festes \(x \in \mathbb{R}\) das innere Integral an, also \(\int_{-\infty}^{\infty} g(y-x) ~dy\) und führe die Substitution \(z=y-x\) durch
\(\endgroup\)


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TetrisCactus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-21

\(\begingroup\)
Hey Kampfpudel,

dann komme ich auf
\(\int \limits_{-\infty}^{\infty}f(x) \int \limits_{-\infty}^{\infty}g(z)dzdx = \left( \int \limits_{-\infty}^{\infty}g(z)dz\right) \left( \int \limits_{-\infty}^{\infty}f(x)dx \right) \)

Kann ich dann einfach für z = x schreiben?
\(\endgroup\)


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Wally
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Aus: Dortmund, Old Europe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-05-21


Du kannst das innere Integral doch rausziehen, und danach ist es egal, ob die Integrationsvariable <math>x</math>, <math>z</math> oder <math>Leberwurst</math> heißt.

Wally



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TetrisCactus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-27


Vielen Dank euch beiden!



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