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Logik, Mengen & Beweistechnik » Mengenlehre » Mächtigkeit der "echt-größer-Relation"
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Kein bestimmter Bereich J Mächtigkeit der "echt-größer-Relation"
gere1001
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Aus: Österreich
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-05-21

\(\begingroup\)
Hallo,

Weiß jemand von euch eine explizite Bijektion, sodass man die Anzahl
von \(<_n:=\{(i,j): i<j\leq n\}\subseteq \mathbb{N\times N}\) für ein
\(n\in \mathbb{N}\) bestimmen kann?

Also
\(<_n\ \to A_{\frac{n(n-1)}{2}}\)

Wobei \( A_{\frac{n(n-1)}{2}}=\{1,....,\frac{n(n-1)}{2}\}\) bezeichnet.

P.S Ich weiß, dass man die Anzahl von \(<_n\) indirekt über die Anzahl
von \(A_{n}\times A_n\) bestimmen kann, aber ich interessiere mich explizit für
die Bijektion.
\(\endgroup\)


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Nuramon
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 828
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-05-21

\(\begingroup\) \(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Hallo gere,

kannst du bitte genauer erläutern was deine Frage ist? Was ist z.B. <?
Üblicherweise meint man damit die Kleiner-Relation, diese ist aber keine Teilmenge von $\mathbb N$ sondern von $\mathbb N\times \mathbb N$. Außerdem ist das eine unendliche Menge. Welche Anzahl suchst du also?
\(\endgroup\)


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gere1001
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Aus: Österreich
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-21

\(\begingroup\)
Oje sorry du hast recht!

Also \(<_n:=\{(i,j): i<j\leq n\}\subseteq \mathbb{N\times N}\) und gefragt ist eben nach
einer Bijektion \(<_n \to A_{\frac{n(n-1)}{2}}\).
\(\endgroup\)


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StrgAltEntf
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Mitteilungen: 4398
Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-05-21

\(\begingroup\)
Hi gere1001,

das müsste klappen:
\((i,j)\mapsto \frac{(j-1)(j-2)}2+i\)
\(\endgroup\)


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gere1001
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 13.09.2016
Mitteilungen: 26
Aus: Österreich
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-21


ja super passt perfekt danke dir!



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Nuramon
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 828
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-05-21

\(\begingroup\) \(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)

$f:(i,j)\mapsto i+\sum_{k=1}^{j-1}k$ definiert z.B. so eine Bijektion. Beweis: Wir versehen $<_n$ mit der totalen Ordnung $\leq$, die definiert ist durch $(i_1,j_1)\leq (i_2,j_2)$ genau dann, wenn $j_1<j_2 \vee (j_1=j_2 \wedge i_1 \leq i_2)$. Dann ist $f((i,j))$ genau die Anzahl aller Elemente von $<n$, die $\leq (i,j)$ sind. Man kann sich das auch leicht an einem Bild klar machen.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
\(\endgroup\)


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