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Logik, Mengen & Beweistechnik » Relationen und Abbildungen » Beweis, Gleichmächtigkeit
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Universität/Hochschule Beweis, Gleichmächtigkeit
Trueone
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-05-22


Hallo Leute.

Ich brauche Hilfe bei folgender Aufgabe:

Sei M die Menge den geraden ganzen Zahlen. Zeigen Sie, dass M und ℕ gleichmächtig
sind.

Meine Gedanken:

Es muss eine bijektive Abbildung von M -> ℕ gefunden werden um die Gleichmächtigkeit zu zeigen.

fed-Code einblenden

Vielleicht könnt ihr mir sagen, ob es richtig ist.

Gruß



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qwertzusername
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-05-22

\(\begingroup\)
Hallo,

deine prinzipiellen Gedanken scheinen richtig zu sein,
dein Aufschrieb ist es nicht.

- Wieso zeigst du Linkstotalität?
Du definierts dein f per Funktionvorschrift, nicht als Relation.
Funktionen sind per Definition linkstotal.
Selbes gilt für die rechtseindeutigkeit.
-Surjektivität:
-$\Rightarrow$ ist der Folgepfeil, er bedeutet, dass das rechts davon aus dem links davon folgt. Er ist kein Aufzählungszeichen.
Ich sehe insb. nicht, wie jeweils x un/gerade folgt, da jeweils der zweite Fall ja prinzipiell eintreten kann.
Genauso erstehe ich die jeweils nächste Zeile nicht insb. da ja aus x un/gerade folgen würde dass y=-x-1 gerade/ungerade folgen würde.
-Injektivität:
Was ist x? Du verwendest danach nur $x_1,x_2$.
Auch fehlt hier ein sehr wesentlicher Fall: $x_1,x_2$ können unterschiedliche Vorzeichen haben.
\(\endgroup\)


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Trueone
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-22

\(\begingroup\)
2018-05-22 00:56 - qwertzusername in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo,

deine prinzipiellen Gedanken scheinen richtig zu sein,
dein Aufschrieb ist es nicht.

- Wieso zeigst du Linkstotalität?
Du definierts dein f per Funktionvorschrift, nicht als Relation.
Funktionen sind per Definition linkstotal.
Selbes gilt für die rechtseindeutigkeit.


Also muss man diese nicht zeigen? Oder f als Relation definieren?


-Surjektivität:
-$\Rightarrow$ ist der Folgepfeil, er bedeutet, dass das rechts davon aus dem links davon folgt. Er ist kein Aufzählungszeichen.
Ich sehe insb. nicht, wie jeweils x un/gerade folgt, da jeweils der zweite Fall ja prinzipiell eintreten kann.
Genauso erstehe ich die jeweils nächste Zeile nicht insb. da ja aus x un/gerade folgen würde dass y=-x-1 gerade/ungerade folgen würde.
-Injektivität:
Was ist x? Du verwendest danach nur $x_1,x_2$.
Auch fehlt hier ein sehr wesentlicher Fall: $x_1,x_2$ können unterschiedliche Vorzeichen haben.

Hab es oben verändert.
\(\endgroup\)


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qwertzusername
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-05-22


f als Funktion zu definieren ist schon richtig.
Spart ja die ganze Arbeit.

Und deinen Ausgangspost zu ändern war keine gute Idee.
Zum Einen ist damit für spätere Leser überhaupt nicht mehr nachvollziehbar was wann geschrieben wurde, und zum Anderen hab ich keine Lust den Post nochmal durchzugehen was sich jetzt geändert haben könnte.

ETA: ein mathematischer Beweis besteht nicht nur aus Formeln. Erklärende Prosa ist sehr sinnvoll.



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Trueone
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-22


Okey, hab hier ein paar Sachen verändert:

fed-Code einblenden



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qwertzusername
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-05-22


Bei der Surjektivität unterscheidest du zwei Fälle. Danach steht mit Außnahme von (un)gerade exakt das selbe da.
Das macht schon mal keinen Sinn.
Die Folgerung, die du machst: Wozu dient die?

Als Beispiel wie man den Beweis schreiben kann, hier mal
der Fall y gerade.
Dann ist y insb auch gerade und ganzzahlig.
Es gilt f(y)=y.


Eine Funktion ist entweder injektiv oder nicht.
Sowas wie außer in den Fällen gibt es nicht.



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Trueone
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-22


2018-05-22 15:09 - qwertzusername in Beitrag No. 5 schreibt:
Bei der Surjektivität unterscheidest du zwei Fälle. Danach steht mit Außnahme von (un)gerade exakt das selbe da.
Das macht schon mal keinen Sinn.
Die Folgerung, die du machst: Wozu dient die?

Als Beispiel wie man den Beweis schreiben kann, hier mal
der Fall y gerade.
Dann ist y insb auch gerade und ganzzahlig.
Heißt es nicht "Dann ist x auch gerade und ganzzahlig" ?
Es gilt f(y) = y = x.

Beim anderen Fall wäre dann y ungerade.
Also wäre x ungerade und ganzzahlig.
f(y) = - y - 1 = x.

Wäre dies korrekt?



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Trueone
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-22


2018-05-22 15:09 - qwertzusername in Beitrag No. 5 schreibt:

Eine Funktion ist entweder injektiv oder nicht.
Sowas wie außer in den Fällen gibt es nicht.

Muss man also in den Fällen, wo fed-Code einblenden unterschiedlich Vorrzeichen haben zeigen, dass es auch verschiedene y sind?



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qwertzusername
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-05-24


Ja das kann man so machen.



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Trueone
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-24


Also zur Surjektivität:

fed-Code einblenden

Zur Injektivität:

Hier nur die 2 anderen Fälle mit verschiedenen Vorzeichen.

fed-Code einblenden



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qwertzusername
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2018-05-24

\(\begingroup\)
Surjektivität:
Der 2. Fall ist falsch aufgeschrieben.
Du zeigst, dass zu x ein y existiert. Es ist aber andersrum gefordert.

was aus -x_2 - 1 folgen würde.
Aus Aussagen kann gefolgert werden, $-x_2-1$ ist aber ein Zahl.

y sind verschieden
Nein. Es gibt hier nur ein y. Das kann nicht von sich verschieden sein.
Was du hier versuchen zu scheinst ist ein Beweis per Kontraposition.
\(\endgroup\)


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Trueone
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-25

\(\begingroup\)
2018-05-24 23:28 - qwertzusername in Beitrag No. 10 schreibt:
Surjektivität:
Der 2. Fall ist falsch aufgeschrieben.
Du zeigst, dass zu x ein y existiert. Es ist aber andersrum gefordert.

fed-Code einblenden


was aus -x_2 - 1 folgen würde.
Aus Aussagen kann gefolgert werden, $-x_2-1$ ist aber ein Zahl.
y sind verschieden
Nein. Es gibt hier nur ein y. Das kann nicht von sich verschieden sein.
Was du hier versuchen zu scheinst ist ein Beweis per Kontraposition.

Ja ich wollte Kontraposition anwenden. Man muss doch zeigen, dass bei ungleichen x, die y auch ungleich sind oder?

Ansonsten sieht man hier, dass bei verschiedenen x (gerade und ungerade) das gleiche y rauskommt. Somit wäre f ja nicht injektiv.

fed-Code einblenden

\(\endgroup\)


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helmetzer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2018-05-25


Anmerkung:

Der Beweis lässt sich in zweierlei Weise entscheidend vereinfachen.

Wahl einer anderen Abb. <math>f : M \to \IN</math>, nämlich <math>x \mapsto x/2</math>. Das geht, weil <math>x</math> ja gerade ist.

Angeben der Umkehrabb. <math>y \mapsto 2y</math>. Das ist meist einfacher, als Injektivität und Surjektivität nachzuweisen.

Edit: habe gerade gesehen, dass ja <math>\IN</math>, nicht <math>\IZ</math> als Wertemenge genannt ist. Die 2. Anmerkung bleibt im Prinzip richtig.




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Trueone
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-25


2018-05-25 10:23 - helmetzer in Beitrag No. 12 schreibt:
Anmerkung:

Der Beweis lässt sich in zweierlei Weise entscheidend vereinfachen.

Wahl einer anderen Abb. <math>f : M \to \IN</math>, nämlich <math>x \mapsto x/2</math>. Das geht, weil <math>x</math> ja gerade ist.

Angeben der Umkehrabb. <math>y \mapsto 2y</math>. Das ist meist einfacher, als Injektivität und Surjektivität nachzuweisen.

Edit: habe gerade gesehen, dass ja <math>\IN</math>, nicht <math>\IZ</math> als Wertemenge genannt ist. Die 2. Anmerkung bleibt im Prinzip richtig.


Also müsste dann gelten, falls es eine Umkehrabbildung zu f gibt, dass dann f bijektiv ist. Leider haben wir das in der Vorlesung nur flüchtig angesprochen und das auch nicht gezeigt.






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helmetzer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2018-05-25


Wenn das in der Vorlesung zu kurz gekommen sein sollte, du wirst es immer wieder brauchen. Allgemeiner:

Seien <math>f,g : A \to B, \; h: B \to C</math> Abb.
Ist <math>h \circ g</math> surjektiv, dann ist auch <math>h</math> surjektiv.
Ist <math>h \circ g</math> injektiv, dann ist auch <math>g</math> injektiv.

Wende das nun auf <math>f^{-1} \circ f = id_A</math> und <math>f \circ f^{-1} = id_B</math> an.




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Heinerich
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2018-05-25

\(\begingroup\)
2018-05-22 00:35 - Trueone im Themenstart schreibt:
Hallo Leute.

Ich brauche Hilfe bei folgender Aufgabe:

Sei M die Menge den geraden ganzen Zahlen. Zeigen Sie, dass M und ℕ gleichmächtig
sind.


Gruß


Mein Ansatz eine Bijektion zu finden, wäre $z=n \mod 2, \{0,1,0,1..\}$ und $y=z*2-1,
\{-1,1,-,1...\}$ und dann

$f:x \in \IN, m \in \IZ. \IN \to \IZ: m=ny+z,\{0,2,-2,4,-4,...\}$ ist linkstotal und linkseindeutig, eine Umkehrfunktion  f' für die Rechtstotalität und Surjektivität kann man finden denk ich.

\(\endgroup\)


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Trueone
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-25


2018-05-25 15:40 - helmetzer in Beitrag No. 14 schreibt:
Wenn das in der Vorlesung zu kurz gekommen sein sollte, du wirst es immer wieder brauchen. Allgemeiner:

Seien <math>f,g : A \to B, \; h: B \to C</math> Abb.
Ist <math>h \circ g</math> surjektiv, dann ist auch <math>h</math> surjektiv.
Ist <math>h \circ g</math> injektiv, dann ist auch <math>g</math> injektiv.

Wende das nun auf <math>f^{-1} \circ f = id_A</math> und <math>f \circ f^{-1} = id_B</math> an.


Ich bin jetzt irgenwie total verwirrt, da es zu der Aufgabe mehrere Lösungansätze gibt.

Ich  versuche das jetzt mal zu verstehen, also:


fed-Code einblenden





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helmetzer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2018-05-25


Ja, wenn <math>f = id_A</math>, aber i.a. gilt das ja nicht, <math>f</math> ist nur irgendeine Bijektion <math>f:A\to B</math>.

Dass es mehrere Lösungsansätze gibt, ist normal und sollte dich nicht verwirren. Die "Kunst" ist es, einen möglichst einfachen zu finden.



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Trueone
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2018-05-25 10:23 - helmetzer in Beitrag No. 12 schreibt:
Anmerkung:

Der Beweis lässt sich in zweierlei Weise entscheidend vereinfachen.

Wahl einer anderen Abb. <math>f : M \to \IN</math>, nämlich <math>x \mapsto x/2</math>. Das geht, weil <math>x</math> ja gerade ist.

Angeben der Umkehrabb. <math>y \mapsto 2y</math>. Das ist meist einfacher, als Injektivität und Surjektivität nachzuweisen.

Edit: habe gerade gesehen, dass ja <math>\IN</math>, nicht <math>\IZ</math> als Wertemenge genannt ist. Die 2. Anmerkung bleibt im Prinzip richtig.

Also muss man hier eine andere Abbildung finden, welche auch zu fed-Code einblenden passt?

Die Umkehrabbildung wäre dann fed-Code einblenden . Damit wäre die Bijektivität gezeigt.

Hab ich das richtig verstanden?






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helmetzer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, eingetragen 2018-05-25


Ich hatte mich doch vertan. Deine Abb. war schon goldrichtig. Nur dein Beweis recht umständlich.




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Trueone
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2018-05-25 21:20 - helmetzer in Beitrag No. 19 schreibt:
Ich hatte mich doch vertan. Deine Abb. war schon goldrichtig. Nur dein Beweis recht umständlich.

Oh okey. Also irgendwie so?

fed-Code einblenden

Ich verstehe nur nicht wie man auf dieses y = 2y kommt. Was kann man für y einsetzen?



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helmetzer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, eingetragen 2018-05-26


Du hast dich total verrannt. Was soll das heissen: <math>y = 2y</math> ? Das ist keine Abb., sondern eine Gleichung, aus der gewöhnlich <math>y = 0</math> folgt.

Ich schreibe dir jetzt <math>g: \IN \to M</math> hin:

<math>g(y) = y</math>, falls <math>y = 0,2,4, \dots</math>
<math>g(y) = -y - 1</math>, falls <math>y = 1,3,5, \dots</math>

Du musst noch zeigen, dass <math>g</math> so tatsächlich "wohldefiniert" ist, d.h. <math>g</math> ordnet jeder natürlichen Zahl eine gerade ganze Zahl zu.

Und dass <math>f</math> und <math>g</math> Umkehrabb. sind.





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Trueone
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-26


2018-05-26 09:07 - helmetzer in Beitrag No. 21 schreibt:
Du hast dich total verrannt. Was soll das heissen: <math>y = 2y</math> ? Das ist keine Abb., sondern eine Gleichung, aus der gewöhnlich <math>y = 0</math> folgt.

Ich schreibe dir jetzt <math>g: \IN \to M</math> hin:

<math>g(y) = y</math>, falls <math>y = 0,2,4, \dots</math>
<math>g(y) = -y - 1</math>, falls <math>y = 1,3,5, \dots</math>

Du musst noch zeigen, dass <math>g</math> so tatsächlich "wohldefiniert" ist, d.h. <math>g</math> ordnet jeder natürlichen Zahl eine gerade ganze Zahl zu.

Und dass <math>f</math> und <math>g</math> Umkehrabb. sind.


Ich versuche mal, ein bisschen Verständniss zu schaffen.

Also wir wissen dann ja, dass fed-Code einblenden . Denn jedem geraden x auf f wird eine natürliche Zahl y zugeordnet und jeder natürlichen Zahl y aus g wird eine gerade ganze Zahl x zugeordnet.

Dann kann man sagen:

fed-Code einblenden

Somit wäre ja die Voraussetzung aus dem Vorlesungsskript, aus dem Beitrag #20 erfüllt.




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Heinerich
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, eingetragen 2018-05-26

\(\begingroup\)
2018-05-25 16:20 - Heinerich in Beitrag No. 15 schreibt:
2018-05-22 00:35 - Trueone im Themenstart schreibt:
Hallo Leute.

Ich brauche Hilfe bei folgender Aufgabe:

Sei M die Menge den geraden ganzen Zahlen. Zeigen Sie, dass M und ℕ gleichmächtig
sind.


Gruß


Mein Ansatz eine Bijektion zu finden, wäre $z=n \mod 2, \{0,1,0,1..\}$ und $y=z*2-1,
\{-1,1,-,1...\}$ und dann

$f:x \in \IN, m \in \IZ. \IN \to \IZ: m=ny+z,\{0,2,-2,4,-4,...\}$ ist linkstotal und linkseindeutig, eine Umkehrfunktion  f' für die Rechtstotalität und Surjektivität kann man finden denk ich.

So hatte ich meine ich ein Abb $n \to m, n \in N, m \in Z$ ohne Fallunterscheidung hingeschrieben.

n:  0  1  2  3  4  5  6  7...
m: 0  2 -2  4 -4  6 -6  8 ...


Um dann ein rechtsinverses ohne Fallunterscheidung $f'(m)=n$ zu finden, dass die untere Zeile in die obere Zeile   $\forall m \in 2Z$ verwandelt kann nicht so schwer sein ...

Einfacher gesagt stehen in der unteren Zeile alle geraden aus $\mathbb Z$
und oben alle $n \in \mathbb N$, was uns eine Bijektion bringt und damit Gleichmächtikeit.
\(\endgroup\)


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