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Integration » Integration im IR^n » Integrationsgrenzen umrechnen Doppelintegral
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Universität/Hochschule Integrationsgrenzen umrechnen Doppelintegral
hari01071983
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-05-22

\(\begingroup\)
Liebe Forumsgemeinde,

kann mir jemand erklären wie man korrekt Integrationsgrenzen umrechnet wenn man die Integrationsreihenfolge vertauschen will.

Z.B:
\[\int_{0}^{2}\int_{0}^{x^2} dydx = \int_{0}^{2}\left(\int_{0}^{x^2} dy \right)dx = \int_{0}^{2}\left( y \Big|_{0}^{x^2} \right)dx = \int_{0}^{2}x^2 dx= \frac{x^3}{3}\Big|_{0}^{2} = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3}\] So, bis hierher sollte es stimme. biggrin

Nun meine Frage: Wie beschriftet man die Integrationsgrenzen korrekt wenn man die Reihenfolge umdreht?
Mein Vorschlag:
\[\int_{0}^{4}\int_{??}^{??} dxdy\] Die neuen äußeren Grenzen sind einfach die alten äußeren Grenzen (0 und 2) in die inneren alten Grenzen (0 und \(x^2\)) eingesetzt. Also: \(f(x)= x^2 \) daraus folgt das \(f(0) = 0 \text{ und } f(2) = 4 \). Wie komme ich nun aber zu den korrekten inneren Grenzen?
Ich weiß dass die Umkehrfunktion von \(x^2\) gleich \(\sqrt{y}\) ist.

Wie ist nun die korrekte Belegung der neuen inneren Grenzen?

  1. \[\int_{0}^{4}\int_{0}^{\sqrt{y}} dxdy\]
  2. \[\int_{0}^{4}\int_{\sqrt{y}}^{2} dxdy\]
  3. \[\int_{0}^{4}\int_{\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} dxdy\]

Ich verstehe einfach nicht wo der Unterschied ist bei diesen 3 Varianten? Und vor allem, welche die richtige ist! frown

Könnte mir das bitte jemand erklären?
Vielen vielen Dank im Voraus
Hari
\(\endgroup\)


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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-05-23


Hallo, Hari,

am besten machst du eine Skizze des Gebiets. Dann siehst du, dass es von links durch den Punkt (0,0) und von rechts durch die Gerade <math>x=2</math> begrenzt wird.
Unten ist die <math>x</math>-Achse und oben die Parabel <math>y=x^2</math> die Grenze.

Soweit OK?

Jetzt willst du das umparametrisieren. Dazu fängst du diesmal mit den <math>y</math>-Werten an.

Der kleinste ist 0, der größte 4.

Jetzt nimmst du dir einen aus der Mitte raus, ohne besondere Eigenschaften.

Für diesen <math>y</math>-Wert bestimmst du die möglichen <math>x</math>-Werte, indem du eine Strecke parallel zur <math>x</math>-Achse in dein Gebiet malst.

Links ist die Grenze <math>y=x^2</math>, aufgelöst (du bist im Bereich der postiven <math>x</math>-Werte) heißt das <math>x=\sqrt{y}</math>. Der größte <math>x</math>-Wert auf der Strecke ist <math>x=2</math>.

Dieses zuletzt ermittelte Ergebnis kommt jetzt an das innere, die <math>y</math>-Werte an das äußere Integral:

<math>\displaystyle \int_{y=0}^4 \, \int_{x=\sqrt{y}}^2\, dx \, dy</math>

Wally

P.S. Viele Leute finden es nicht so gut, wenn man die Variablen an die Integrationsgrenzen schreibt, ich finde, das macht die Sache klarer.



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hari01071983
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-14 17:59

\(\begingroup\)
Habe mir das ganze grafisch aufgezeichnet und jetzt sehe ich auch die Lösung:

<math>
\begin{tikzpicture}
%---------some definitions ----------
\def\xstart{0.0} %x coordinate of the starting position
\def\ystart{0.0} %y coordinate of the starting position

\def\myarrowwidth{4.0}
\def\myarrowlength{6.0}
\def\myarrow{-{Straight Barb[scale=1,length=\myarrowlength,width=\myarrowwidth]}} % arrow for axes

\coordinate (point00) at ({\xstart},{\ystart}); %define Center Point
\def\intersectiony{ sqrt(\outerdiameter * \outerdiameter - \innerdiameter * \innerdiameter) }

%--------- Coordinate System  ----------
\def\xmin{-1}
\def\xmax{3}
\def\ymin{-1}
\def\ymax{5}
\foreach \y  in {\ymin,...,\ymax}
\draw [color=black!30] ($(\xstart + \xmin,\ystart + \y )$) -- ($(\xstart + \xmax,\ystart + \y )$) node[anchor=east] {};
\foreach \x  in {\xmin,...,\xmax}
\draw [color=black!30] ($(\xstart + \x,\ystart + \ymin )$) -- ($(\xstart + + \x,\ystart + \ymax )$) node[anchor=east] {};

%--------- draw axes ----------
\draw[color=black,dash dot,\myarrow] ($(point00) + ({\xmin},{0.0})$ ) -- ($(point00) + ({\xmax},{0.0})$ ) node[right, xshift=0, yshift=0]{$x$};
\draw[color=black,dash dot, \myarrow] ($(point00) + ({0.0},{\ymin})$ ) -- ($(point00) + ({0.0},{\ymax})$ ) node[right, xshift=0, yshift=-\myarrowwidth]{$y$};

\def\tempa{2}
\def\linew{1pt}

%--------- draw fillings ----------
\fill [blue!10, domain=0:2, variable=\x]
(0, 0)
-- plot ({\xstart + \x}, {\ystart + \x*\x})
-- (2, 0)
-- cycle;

\draw[scale=1.0,domain=0:2,smooth,variable=\x,blue, line width=\linew] plot ({\x+\xstart},{\x*\x+\ystart});

\draw[scale=1.0,domain=0:2,smooth,variable=\x,blue, line width=\linew/2] (point00) -- ($(point00) + ({\tempa},{0})$ );
% \draw[scale=0.5,domain=-3:3,smooth,variable=\y,red]  plot ({\y*\y},{\y});
\node [color=black,below] (Label0a) at ($(point00) + ({\tempa},{0})$ ) {$(2,0)$};
\node [color=blue,above] (Label0a) at ($(point00) + ({1},{1.5})$ ) {$x^2$};
\node [color=black,left] (Label0a) at ($(point00) + ({0},{\tempa*\tempa})$ ) {$(0,4)$};

\node [color=blue,below] (Label0a) at ($(point00) + ({(\xmin+\xmax)/2},{\ymin}) $ ) {$\displaystyle \int_{0}^{2}\int_{0}^{x^2} \ \mathrm{d}y \ \mathrm{d}x$};
%----------------------------

\def\xstart{6.0} %x coordinate of the starting position
\def\ystart{0.0} %y coordinate of the starting position

\coordinate (point00) at ({\xstart},{\ystart}); %define Center Point
\def\intersectiony{ sqrt(\outerdiameter * \outerdiameter - \innerdiameter * \innerdiameter) }

%--------- Coordinate System  ----------
\def\xmin{-1}
\def\xmax{5}
\def\ymin{-1}
\def\ymax{5}
\foreach \y  in {\ymin,...,\ymax}
\draw [color=black!30] ($(\xstart + \xmin,\ystart + \y )$) -- ($(\xstart + \xmax,\ystart + \y )$) node[anchor=east] {};
\foreach \x  in {\xmin,...,\xmax}
\draw [color=black!30] ($(\xstart + \x,\ystart + \ymin )$) -- ($(\xstart + + \x,\ystart + \ymax )$) node[anchor=east] {};

%--------- draw axes ----------
\draw[color=black,dash dot,\myarrow] ($(point00) + ({\xmin},{0.0})$ ) -- ($(point00) + ({\xmax},{0.0})$ ) node[right, xshift=0, yshift=0]{$y$};
\draw[color=black,dash dot, \myarrow] ($(point00) + ({0.0},{\ymin})$ ) -- ($(point00) + ({0.0},{\ymax})$ ) node[right, xshift=0, yshift=-\myarrowwidth]{$x$};

\def\tempa{2}
\def\linew{1pt}


%--------- draw fillings ----------
\fill [blue!10, domain=0:\tempa, variable=\x]
(\xstart, \ystart)
-- plot ({\xstart + \x*\x}, {\ystart + \x})
-- (\xstart , \ystart+ \tempa)
-- cycle;

%  \draw[scale=1.0,domain=0:2,smooth,variable=\x,blue, line width=\linew] plot ({\x+\xstart},{\x*\x+\ystart});
\draw[scale=1.0,domain=0:2,smooth,variable=\y,red]  plot ({\y*\y+\xstart},{\y+\ystart});

\node [color=black,left] (Label0a) at ($(point00) + ({0},{\tempa})$ ) {$(0,2)$};
\node [color=black,below] (Label0a) at ($(point00) + ({\tempa*\tempa},{0})$ ) {$(4,0)$};
\draw[scale=1.0,domain=0:2,smooth,variable=\x,red, line width=\linew/2] ($(point00) + ({0.0},{\tempa})$ ) -- ($(point00) + ({\tempa*\tempa},{\tempa})$ );

\node [color=red,above] (Label0a) at ($(point00) + ({3},{1})$ ) {$\sqrt{x}$};

\node [color=red,below] (Label0a) at ($(point00) + ({(\xmin+\xmax)/2},{\ymin}) $ ) {$\displaystyle \int_{0}^{4}\int_{\sqrt{y}}^{2} \ \mathrm{d}x \ \mathrm{d}y$};
\end{tikzpicture}
</math>

Vielleicht hilft es ja noch jemanden! Lg
\(\endgroup\)


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