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Physik » Sonstiges » Graphen einer impliziten Funktion plotten
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Universität/Hochschule Graphen einer impliziten Funktion plotten
Lenard92
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 18.10.2017
Mitteilungen: 29
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-05-25

\(\begingroup\)
Guten Tag zusammen,

ich würde gerne einen Plot einer Gleichung erstellen die ich in einem Paper auf Sciencedirect hier gefunden habe (Pdf herunterladen, S.205-206).
Die Gleichung lautet:

\[\tan(1/2 \cdot (\theta_j(t) - \Theta(t)) = \sqrt{\frac{1+\gamma(t)}{1-\gamma(t)}} \tan(1/2 \cdot (\psi_j - \Psi(t)) \quad (1)\]
Es soll \(\theta_j - \Theta\) gegenüber \(\psi_j - \Psi\) geplottet werden.

Im Paper wird gesagt, dass \(\Theta(t),\Psi(t)\) proportional zu t ist, also \(\Theta(t)=t\cdot c_1, \Psi(t)=t\cdot c_2 \qquad c_1,c_2 \in R_+\) und $\gamma(t)=const <1, \quad \psi_j=const$

An sich muss ich die obige Gleichung ja einfach nur umstellen
\[y:=\psi_j-\Psi(t)= f(\theta_j(t)-\Theta(t)):=f(x)=\dots\]
Der Punkt an dem ich nicht weiterkomme ist der folgende:
Die Entwicklung von \(\theta_j\) ist über (1) gegeben, weswegen ich nicht weiß, wie den Graphen plotten soll.


Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen.
\(\endgroup\)


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rlk
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.03.2007
Mitteilungen: 10288
Aus: Wien
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-05-25

\(\begingroup\)
Hallo Lenard92,
solange $|\theta_j(t) - \Theta(t)| < \frac{\pi}{2}$ gilt, kannst Du den Arkustangens auf Gleichung $(1)$ anwenden.

Servus,
Roland
\(\endgroup\)


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Lenard92
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-26 16:32


Danke für den Hinweis!



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Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 45528
Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-05-26 18:13


Hi Lenard92,
die Funktion kann durch eine Parameterdarstellung beschrieben werden.
Diese kann man zum Plotten benutzen, zum Beispiel gibt es in Mathematica die Fuinktion ParametricPlot.
Gruß Buri



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Lenard92
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 18.10.2017
Mitteilungen: 29
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-26 22:40


Guten Abend Buri,

könntest du näher erklären was du mit


die Funktion kann durch eine Parameterdarstellung beschrieben werden.

meinst? Ich benutze C++ um den Plot zu erstellen. Eventuell gibt es da eine ähnliche Funktion wie ParametricPlot, jedoch finde ich nichts zu ParametricPlot c++.



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hyperG
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 03.02.2017
Mitteilungen: 436
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-05-27 00:29


Typisch Professoren, machen alles mit griechischen Buchstaben und Index-Schreibweise komplizierter, als es ist.
beliebige Script Sprache
tan(x/2)=sqrt((1+aB[0])/(1-aB[0]))*tan(y/2)
y/2=atan(tan(x/2)/sqrt((1+aB[0])/(1-aB[0])))
y=atan(tan(x/2)/sqrt((1+aB[0])/(1-aB[0])))*2
f(x)=atan(tan(x/2)/sqrt((1+aB[0])/(1-aB[0])))*2 mit aB[0]=0...0.99

Da man die Gleichung leicht umstellen kann, muss man nicht auf Tricks
der Parameterdarstellung zurückgreifen, sondern kann mit der Pi-Grenze
bei x-Achse alles fein im primitiven Liniendiagramm plotten
(alles oberhalb von Pi bekommt Offset von 2Pi):

Universal Diagramm

Auf Anfrage kann ich gern alles auf Parameterdarstellung umstellen
und auch noch einen 2. Parameter variieren lassen
oder alles in 3D zeigen...



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Lenard92
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 18.10.2017
Mitteilungen: 29
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-28 15:36

\(\begingroup\)
Hallo hyperG,

danke für deine Antwort. Welches Programm benutzt du zum Plotten?
Was meinst du mit


(alles oberhalb von Pi bekommt Offset von 2Pi):

Ist es korrekt, dass die rote Kurve dem Fall \(\gamma=0\) bzw ab[0] und die schwarze kurve (am stärksten gekrümmt) dem Fall \(gamma=0.99\) bzw. ab[16] entspricht?

Könntest du mal die Achsen vertauschen, sprich \(x=g(y)\) für verschiedene Werte von \(\gamma\) bzw. ab[] plotten

\[tan(x/2)=sqrt((1+aB[0])/(1-aB[0]))*tan(y/2)\]
\[x=g(y)= 2\cdot atan ( sqrt((1+aB[0])/(1-aB[0]))*tan(y/2)\ )\]

Dann nochmal eine andere Frage. Kannst du mit dem Programm auch folgenden Fall plotten \(\theta_{j+1}=f(\theta_j)\) für die Gleichung.

\[\tan(1/2 \cdot (\theta_{j+1} - \Theta(t)) = \sqrt{\frac{1+\gamma(t)}{1-\gamma(t)}} \tan(1/2 \cdot (\theta_j - \Psi(t)) \quad (1)\]
Gruß
Lenard



\(\endgroup\)


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hyperG
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 03.02.2017
Mitteilungen: 436
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-05-29 15:15


Den LINK zum Programm sieht man doch im Bild:

www.gerdlamprecht.de/Liniendiagramm_Scientific_plotter.htm
oder
www.lamprechts.de/gerd/Liniendiagramm_Scientific_plotter.htm

Keine Fremdsoftware, sondern kostenlos mit Deinem Browser.

aB[0] ist einfach nur eine globale Variable, die man mit
"mehrere Kurven" und
"nach jeder Kurve"
beliebig mathematisch beschreiben kann.

Ob man nur als Abbruchbedingung aB[0] größer Grenze
oder iFarb>3
einsetzt, ist dabei egal (jeder kann selbst für sich entscheiden, was logischer ist)
Pro iFarb-Kurve {iFarb wird automatisch nach jeder Kurve um 1 inkrementiert} wird die Farbe von rot über grün , blau , ...
automatisch verändert (weniger Konfigurationsarbeit).

Vertauschen der Achsen geht leicht per Parameterdarstellung:
Einfach Laufvariable t so laufen lassen, wie x zuvor.
Die y-Achse wird zum t: y(t)=t
und die x-Achse übernimmt die Funktion: x(t)=...

Universal Diagramm

Als 3. Beispiel könnte man noch bei der Parameterdarstellung
die Umstellung der Anfangsgleichung auf halben Wege abbrechen
und bekommt dann 2 gleichwertige
x(t)...
y(t)=...

mit dem einzigen Unterschied der "Störfunktion" sqrt(...aB[0]...)
was Du immer mit griechischen Buchstaben verkomplizierst.

Das ist dann das, was Buri mit "ParametricPlot" meinte.
(nur ein anderer engl. Name, da anderes engl. Programm)

zu "Ist es korrekt, dass die rote Kurve dem Fall γ=0..."
iFarb beginnt immer mit 0, also Rot.
Jedoch hatte ich mit aB[0]=0.2 begonnen. Du kannst Deine Parameter setzen wie Du willst.

Zur letzen Bemerkung ".. kannst Du ... auch folgenden Fall Plotten..."

Nein, 5 griechische Variablen und ein unbekanntes j kann ich nicht plotten. (zu viele Unbekannte)

aber mit aB[iFarb], aC[iFarb] hat man sehr viele Freiheiten.



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