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Moderiert von Fabi Dune ligning
Lineare Algebra » Matrizenrechnung » Beweis symplektische Matrix
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Autor
Universität/Hochschule J Beweis symplektische Matrix
student99
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.05.2018
Mitteilungen: 78
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-05-25


Hallo zusammen,
ich hab hier eine Beweisaufgabe, bei der ich keine Ahnung hab, wie ich vorgehen muss:

fed-Code einblenden

Also, ich weiß, dass:

- für symplektische nxn-Matrizen S gilt:
n ist gerade und fed-Code einblenden
fed-Code einblenden fed-Code einblenden fed-Code einblenden

-
  fed-Code einblenden
fed-Code einblenden

Ich hab nur leider keinerlei Idee, wie ich an den Beweis rangehen soll.
Wäre super, wenn mir da jemand helfen könnte.
Viele Grüße, student99



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Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 45528
Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-05-25


Hi student99,
wieso ist Ω eine schiefsymmetrische invertierbare Matrix?
fed-Code einblenden
Gruß Buri



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student99
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.05.2018
Mitteilungen: 78
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-25


Hallo Buri,

ich verstehe nicht ganz, worauf deine Frage abzielt.
Dass fed-Code einblenden fed-Code einblenden

Gruß, student99



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Nuramon
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 408
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-05-26 13:33

\(\begingroup\)
Für jede schiefsymmetrische invertierbare Matrix $\Omega$ definiert man die Menge der (bezüglich $\Omega$) symplektischen Matrizen, als die Menge der Matrizen $S$ für die $S^t\Omega S = \Omega$ ist.

Für verschiedene $\Omega$ bekommt man also erst mal verschiedene Mengen.

Es ist aber jedes $\Omega$ von der Form $\Omega = A^tJA$, wobei $A$ invertierbar ist und $J=\begin{pmatrix}0 & E_n\\ -E_n & 0\end{pmatrix}$.

Damit erhält man, dass $S\mapsto A^{-1}SA$ einen Isomorphismus zwischen der Gruppe der symplektischen Matrizen bzgl. $\Omega$ und der Gruppe der symplektischen Matrizen bzgl. $J$ definiert. Darum betrachtet man häufig nur den Fall $\Omega = J$.

Den ersten Teil des Beweises hier math.stackexchange.com/questions/2451678/symplectic-group-spn-acts-transitively-on-the-unit-sphere-s4n-1 sollte man anpassen können um zu zeigen, dass die Behauptung für die Standard-symplektischen Matrizen (also für $\Omega = J$) gilt. Damit kann man dann die Aussage für beliebiges $\Omega$ folgern (ein bisschen Denkarbeit ist dafür aber noch notwendig).
\(\endgroup\)


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Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 45528
Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-05-26 14:56


Hi student99,
im Hinblick auf Nuramons Bemerkungen müsste es vielleicht S ∈ Sp(n,Ω) heißen und nicht Sp(n,K).
Gruß Buri



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student99
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.05.2018
Mitteilungen: 78
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-27 20:17


Vielen Dank an euch beide, dann versuch ichs jetzt mal so.
Viele Grüße, student99



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