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Differentiation » Differentialrechnung in IR » Ameisenmodellierung
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Schule Ameisenmodellierung
Eddie1993
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-05-26 17:44

\(\begingroup\)
Hallo,

ich habe folgende Frage:
Angenommen die Zeit t(x) die eine Ameise für das Graben eines Tunnels der Länge x braucht wird betrachtet. So ist d(x,h): = t(x+h)-t(x) die Zeit, die die Ameise für das Stückchen zwischen x und x+h braucht.

Ich will jetzt zeigen:
Ist x fest und h variabel sowie klein (etwa in Greifweite der Ameise) so gilt, dass:

$d(x_0,h) \thicksim h$ .

Mit anderen Worten will ich also zeigen:

$d(x_0,h)=kh$ mit k konstant.


Allerdings kriege ich es nicht hin, d als eine Funktion von h zu schreiben, hier wäre ich für Hilfe dankbar.

Viele Grüße
Eddie
 
\(\endgroup\)


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BerndLiefert
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Aus: Lehramtplanet
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-05-26 17:46


Hallo,

kennst du den Beweis für Maulwürfe? Der lässt sich auf Ameisen übertragen, indem man die Länge entsprechend skaliert.



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Eddie1993
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Dabei seit: 22.04.2018
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-26 17:53


Hallo,
vielen Dank für deine Antwort. Nein, den kenne ich nicht. Hättest du zufällig einen Link?
Viele Grüße
Eddie



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-05-26 19:27

\(\begingroup\)
Für Regenwürmer (die graben ihre Tunnel so, dass $t$ differenzierbar ist) könnte man $\lim_{h\rightarrow 0}\frac{t(x+h)-t(x)}{h} = t'(x)$ benutzen, woraus folgt, dass für kleine $h$ näherungsweise $d(x_0,h)=t'(x_0)h$ gilt. (Genauer gilt: Für jedes $\varepsilon >0$ hat man für alle genügend kleinen $h\geq 0$ die Ungleichung $(t'(x_0)-\varepsilon)h\leq d(x_0,h)\leq (t'(x_0)+\varepsilon)h$.).

Funktioniert das auch für Ameisen?
\(\endgroup\)


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Eddie1993
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Dabei seit: 22.04.2018
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-27 19:33

\(\begingroup\)
Hallo,
vielen Dank für eure Antworten. Leider ist es so, dass ich mich in einem festen Rahmen  (Unterrichtsvorschlag) bewege, der über die Proportionalität mit h auf die Funktion schließen will. Es wird dazu der Differenzenquotient gebildet und man erhält t als Stammfunktion.
Ich würde es gerne zeigen, indem ich d(x,h) umschreibe, aber ich kriege es nicht hin für ein variables h. Für x variabel und h fest konnte ich zeigen: d(x,h) ~ x, aber ich kann den Weg nicht so einfach übertragen.
Mein Ansatz wäre zu sagen: $d(x_0,h)= 2*n*W_A$, wobei die Ameise jedes mal ihre maximale Zuladung nutzt und somit für h n-mal gehen muss, was sie mit Hin- und Rückweg 2-mal tut. $W_A$ ist die konstante Zeit, die sie zum Ausgang braucht (konstante Geschwindigkeit wird angenommen). Ich kriege es hier aber nicht hin, dass ich h reinkriege. Habt ihr da eine Idee?
Viele Grüße
Eddie
\(\endgroup\)


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Nuramon
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Dabei seit: 23.01.2008
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-05-27 21:26

\(\begingroup\)
Kannst du bitte die gesamte Aufgabenstellung nennen?

Ich vermute, dass du etwas falsch verstanden oder falsch wiedergegeben hast. Für beliebige $t$ gilt halt einfach nicht, dass $d(x_0,h)$ (exakt) proportional ist zu $h$. Denn wenn $d(x_0,h)= kh$ für alle genügend kleinen $h$ ist (sagen wir für $|h|<\epsilon$), dann gilt $t(x_0+h)=kh+t(x_0)$, also müsste $t$ auf dem Intervall $(x_0-\epsilon, x_0+\epsilon)$ linear sein.
\(\endgroup\)


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Eddie1993
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Dabei seit: 22.04.2018
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-28 13:42


Lieber Nuramon,
Es handelt sich um einen kommentierten Lösungsvorschlag im Zusammenhang mit einem Unterrichtsentwurf.
Dort formulieren die Autoren die Überlegungen zu t, die ich oben bereits formuliert habe. Sie münden dann in der Frage:

Warum ist es vernüftig, davon auszugehen, dass diese Zeitspanne (d(x,h)) zum einen - bei festem Zuwachs h - proportional zu x, zum anderen - bei festem Abstand x - proportional zu h ist (für genügend kleine h)?

Für die Berechtigung des zweiten Ansatzes (prop. zu h) bemerken die Autoren ferner:

Um die Berechtigung des Ansatzes einzusehen, mache man sich klar, dass eine Verdopplung von h eine Verdopplung des wegzuschaffenden Sandvolumens bedeutet, die Ameise denselben Weg x also doppelt so oft laufen muss.

(Danckwerts & Vogel, 2001 - Ameisen und die Ableitung)

Ich habe das so intepretiert, dass es für kleine h eine exakte Proportionalität geben muss. Villeicht ist ja auch nur eine Näherungsweise gemeint, das müsste man doch dann aber auch zeigen können. Wie würde man das angehen?

Viele Grüße
Eddie



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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-05-29 10:23


Wenn x konstant und h klein ist, dann kann der Weg den die Ameise zurücklegen muss, um die Erde aus dem Tunnel zu schaffen als konstant gleich x angesehen werden.
Die benötigte Zeit ist dann nur noch linear von h abhängig.



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Eddie1993
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-29 11:26

\(\begingroup\)
Hallo Kitaktus,
genau so habe ich es ansetzen wollen. Ich hatte versucht einen Quotienten aus $\frac{h}{h_max}$ (im Nenner steht die maximale Zuladung der Ameise)zu nehmen, um so eine Anzahl an Wegtragevorgängen zu kriegen. Das hat mir aber Probleme bereitet, weil ich ja nicht zwingend ganzzahlige Ergebnisse erhalten muss.
Welche Konstante würdest du wählen?
Viele Grüße
Eddie
\(\endgroup\)


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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-05-29 14:54


Das Problem der Ganzzahligkeit kannst Du umgehen, in dem Du auf die Größe "Arbeit" (=Kraft * Weg) schaust. Der Weg ist proportional zu x, die nötige Kraft proportional zu h.

Welche Konstante würdest du wählen?
Von welcher Konstanten sprichst Du?



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Eddie1993
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-29 15:37

\(\begingroup\)
Hallo,
danke für deine Antwort. Das mit der Konstanten würde ich jetzt erst einmal ausblenden (ich meinte die Entsprechung zu der, die ich mit $\frac{h}{h_{max}}$ ansetzten wollte).
Wenn ich jetzt die Arbeit nehme, so sehe ich das mit dem Weg direkt ein. Die Kraft leuchtet mir in ihrer Proportionalität zu h noch nicht so ein. Verwendest du da F = m * a, wäre dann $a=\frac{dv}{dt}=0$ und damit nicht F=0, wenn ich eine konstante Geschwindigkeit annehme?
Viele Grüße
Eddie
\(\endgroup\)


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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2018-05-30 12:38


Wenn es bei der Argumentation hilft, dann stell Dir vor, der Tunnel würde senkrecht nach unten gegraben, dann ist die Kraft nötig, um die Erdanziehung zu überwinden, auch dann wenn die Ameise sich selbst gar nicht beschleunigt.



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Eddie1993
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-30 13:57

\(\begingroup\)
Hallo Kitaktus,
vielen Dank für deine Antwort. Ich hatte ja zu Beginn gesagt, dass ich unter der Annahme einer konstanten Geschwindigkeit ansetzten wil: $d(x,h)=2*n*W_A$, hierbei waren $n$ die Wegtragevorgänge und $W_A$ die konstante Zeit zum Ausgang. Wenn ich jetzt hier die Formel für die Arbeit mit $A=F*g=m*g*x_o$ verwende, so komme ich zu einem Ausdruck, der folgenden Form:

$d(x,h)=2*n*W_A=2*n*x_o*l$ (l ist die konstante Zeit für eine Längeneeineit (LE) des Tunnels)

mit dem vorigen erhalte ich ferner mit

$x_0=\frac{A}{F}$

$2*n*l*\frac{A}{F}= 2*n*l*\frac{A}{\pi*r^2*h*\chi \frac{g}{cm^3}*g}$.

Ich gehe jetzt aber einmal stark davon aus, dass du die Arbeit anders einbringen wolltest, da ich immer noch eine von h abhängige Arbeit habe. Wie meinst du, soll man die Zeit durch die Arbeit ausdrücken, das sehe ich noch nicht oder meinst du die Wegtragevorgänge durch die Arbeit auszudrücken? Ich bin leider etwas verwirrt.
Viele Grüße
Eddie
\(\endgroup\)


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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2018-05-30 17:00


Du führst immer mehr Beziehungen und Bezeichnungen ein, die vom Wesentlichen wegführen.
Man kann sich dem Problem von zwei Seiten nähern.
1) Die Ameise hat eine feste Traglast L. Wenn sie den Gang von x bis x+h gräbt, so entsteht Abraum, dessen Masse gleich h*Querschnittsfläche des Ganges*Dichte der Erde ist.
   Dafür muss sie h*Querschnittsfläche des Ganges*Dichte/L mal laufen. Abgesehen vom Problem der Ganzzahligkeit ist die Zahl der nötigen Transporte proportional zu h und der dabei zurückgelegte Weg ist proportional zu x (bei h<<x).
2) Wir betrachten die von der Ameise verrichtete Arbeit. Die Arbeit ist Kraft mal Weg und die Kraft ist Masse mal Beschleunigung.
   Die Arbeit ist also proportional zum zurückgelegten Weg (x) und zur bewegten Masse. Die Masse wiederum ist h*Querschnittsfläche des Ganges*Dichte der Erde, also proportional zu h (siehe 1).

Beide Ansätze führen qualitativ zum gleichen Ergebnis. Nur die konstanten Faktoren unterscheiden sich in ihrer Bedeutung.



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Eddie1993
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-30 17:28


Hallo Kitaktus,
Ich sehe, wie du argumentierst. Was sich mir bei dem zweiten Weg aber nicht erschließt ist der Bezug zur Zeit, die die Ameise braucht um den Tunnelabschnitt von x bis x+h anzulegen. Wie kommt die Zeit hier ins Spiel?
Viele Grüße
Eddie



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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2018-05-31 01:52


Die Zeit kommt ins Spiel, in dem man unterstellt, dass die Ameise eine konstante Leistung erbringt, d.h. pro Zeiteinheit eine konstante Arbeit leistet. Arbeit und Zeit sind daher proportional.

Bei 1) unterstellt man analog eine konstante Geschwindigkeit (Weg pro Zeit).



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Eddie1993
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-31 13:25

\(\begingroup\)
Hallo,
danke für deine Antwort. Ich würde dann ansetzen:

$d(x_0,h)=2*W_A=\frac{A}{A_{Zeiteinheit}}$, wobei $A_{Zeiteinheit}=\frac{A}{2*W_A}$.

Ich kriege dann als Ergebnis: $\frac{2*a*x_0*\pi*r^2}{A_{Zeiteinheit}}*Dichte*h$.

Jetzt hatte ich ja mein Problem mit der Beschleunigung, dass die bei konstanter Geschwindigkeit 0 wäre, die könnte man ja aber zumindest in guter Näherung als kleines $\epsilon>0$ ansetzen oder?

Viele Grüße
Eddie
\(\endgroup\)


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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2018-06-01 14:16


Natürlich verrichtet die Ameise auch eine gewisse Arbeit, um sich selbst auf eine Geschwindigkeit >0 zu beschleunigen, aber typischerweise vernachlässigt man diese Arbeit gegen über der Arbeit zu Überwindung der Erdanziehung, da die Beschleunigung der Ameise wesentlich kleiner ist als die Fallbeschleunigung und außerdem nur über einen kurzen Zeitraum erfolgt.



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Eddie1993
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-01 15:59


Hallo,
danke für deine Hilfe mit dem senkrechten Tunnel.
Jetzt würde mich aber abweichend von einem senkrechten Tunnel schon noch interessieren, wie ich die Aussage für einen waagerechten kriege ohne, dass ich 0 da stehen habe.
Gibt es da eine Möglichkeit, von dem Weg mit dem Problem der Ganzzahligkeit abgesehen, weil das sollte mir ja die Betrachtung der Arbeit gerade umgehen helfen?
Und bei dem waagerechten Gang würde ich einfach von einer konstanten Beschleunigung nahe bei 0 ausgehen, um hier nicht 0 zu kriegen, das ist aber etwas unsauber. In diesem Sinne hätte man dann eine Proportionalität in Näherung, wie es Nuramon eingangs betont hat.
Viele Grüße
Eddie



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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, eingetragen 2018-06-01 16:24


Auch wenn sich die potentielle Energie nicht ändert, verrichten Lebewesen bei waagerechten Bewegungen natürlich auch Arbeit. Es fällt uns nur schwerer dies mit einem einzigen physikalischen Vorgang zu beschreiben.
Eine Ameise gleitet in einem Erdtunnel nicht reibungsfrei dahin. Sie wandelt chemisch gespeicherte Energie um, hebt ihre Beine an und bewegt sie vorwärts. Beim Absetzen wird die potentielle Energie zunächst in kinetische Energie umgesetzt und wandelt sich letzten Endes in Wärme um.
Mag sein dass ein Teil der Energie in Muskeln, Sehnen oder ähnlichem gespeichert und wiederverwendet werden kann, aber ein gewisser Teil wandelt sich eben in Energieformen um, die die Ameise nicht weiter nutzen kann (Wärme, Verformung des Bodens).



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Eddie1993
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-04 11:18


Hallo Kitaktus,

vielen Dank für deine Antwort. Im Endeffekt heißt das, dass ich bei einer exakt geraden Fläche und kosntanter Geschwindigkeit keine Möglichkeit habe einen Wert außer 0 zu bekommen, korrekt?
Wie würde man das Ganze für eine schiefe Ebene ansetzten, da wäre der Winkel noch relevant und es ginge um auch um Kraftzerlegung, oder? Gilt dann das hier:

Arbeit = Weg · Kraftkomponente in Wegrichtung      
oder
Arbeit = Kraft · Wegkomponente in Kraftrichtung

Was meint hier die Wegkomponente? Ich denke dabei an die Strecke, die auf der schiefen Ebene zurückgelegt wird.

Viele Grüße
Eddie



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