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Mathematik » Topologie » topologische äquivalenz zweier Distanzen zeigen
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Autor
Beruf J topologische äquivalenz zweier Distanzen zeigen
sulky
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 1091
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-05-26

\(\begingroup\)
Hallo Zusammen,

Es geht darum zu zwei gegebenen Distanzfunktionen zu zeigen, dass sie topologisch äquivalent sind.

Ich habe eine Musterlösung, aber die ist unleserlich handgeschrieben.
Trotzdem kann ich aus der Musterlösung erkennen, dass man nicht die Definition von äquivalenten Normen verwenden soll.
Dies wäre zwar auch möglich, aber nicht im Sinne der übungsaufgabe.

Es gibt irgendwie einen satz, dass wenn sowohl eine stetige funktion
von $(\mathbb{C},d_1)$ nach $(\mathbb{C},d_2)$ als auch von $(\mathbb{C},d_2)$ nach $(\mathbb{C},d_1)$ existiert, dann sind $d_1$ und $d_2$ topologisch äquivalent.
Aber ich habe diesen Satz weder in unseren Unterlagen noch im Internet gefunden. Und es stellt sich die Frage, wie denn genau die Hypothesen dieses Satzes sind.

Die zwei gegeben Distanzen sind folgende:
\(d_S:(w,w')\in \mathbb{C} \times \mathbb{C} \to \|\phi(w)-\phi(w')\|_{\mathbb{R}^3}\in \mathbb{R}_{+}\)
wobei $\phi$ bereits in der vorhergehenden Aufgabe definiert wurde als:
$\phi:w\in\mathbb{C}\to(\frac{2Re(w)}{|w|^2+1},\frac{2Im(w)}{|w|^2+1},\frac{|w|^2-1}{|w|^2+1})\in S_{\mathbb{R}^3}-\{(0,0,1)\}$

Die andere Distanc ist:
$\delta:(w,w')\in \mathbb{C} \times \mathbb{C} \to |w-w'|\in \mathbb{R}_{+}$
Also die Normale Betragsfunktion.

Dann steht da noch eine Klammerbemerkung in der Aufgabenstellung.
Nämlich dass die konvergenten Folgen in $\mathbb{C}$ dieselben seien für die zwei Distanzen.

Klingt glaubhaft, dass dieselben Folgen konvergieren, wenn die Distanzen äquivalent sind, aber einen entsprechenden Satz habe ich nicht gefunden.

Wer kann mir den richtigen Satz zeigen, sodass ich die Aufgabe so lösen kann, wie sich der Aufgabensteller das vorstellt?
\(\endgroup\)


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Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 3648
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-05-26

\(\begingroup\)
Zwei Metriken $d,d'$ auf einer Menge $X$ sind genau dann topologisch äquivalent, wenn die Abbildung $(X,d) \to (X,d')$, $x \mapsto x$ stetig und auch die Abbildung $(X,d') \to (X,d)$, $x \mapsto x$ stetig ist.

Das läuft aber gerade auf die Gleichheit der Konvergenzbegriffe hinaus. So sagt etwa die Stetigkeit der zuerst genannten Abbildung, dass jede bezüglich $d$ konvergente Folge auch bezüglich $d'$ konvergiert, mit demselben Grenzwert.
\(\endgroup\)


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sulky
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 1091
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-27


Ja, jetzt sehe ich es auch,
vielen Dank Triceratops



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