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Physik » Schwingungen und Wellen » Modale Analyse eines Mehrkörpersystems
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Universität/Hochschule Modale Analyse eines Mehrkörpersystems
b-eng
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-06-05


Hallo,

Ich bin Master Student für Computational-Engineering und bin grad wieder mit meinem Lieblingsfach Maschinendynamik zu Gange.

Ich rechne grade eine Übungsaufgabe aber ich komme leider nicht auf die Lösung aus dem Buch aber ich habe keine Ahnung was ich falsch mache.

Vielleicht könnt ihr mir helfen und beurteilen ob mein Vorgehen grundsätzlich richtig ist.

Bei der Aufgabe handelt es sich um ein Mehrkörpersystem mit 3 Freiheitsgraden.

Es handelt sich um ein proportional schwach gedämpftes  System mit harmonischer Kraftanregung



Ich möchte am Ende die Transferfunktion im Ausgangskoordinatensytem und die max. Amplitude erhalten.

Zur Notation großgeschriebene fette Buchstaben sind Matrizen und kleingeschriebene fette Buchstaben sind Vektoren. Skalare sind normal geschrieben.


fed-Code einblenden

Aber leider bekomme ich nicht dasselbe Ergebnis für die maximale Amplitude wie in der Lösung im Buch.

Ich weiß leider nicht mehr weiter, was mache ich falsch?



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holsteiner
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-06-08


Moinb b-eng,
willkommen auf dem Matheplaneten!
Deine Aufgabenstellung wird nicht klar, insbesondere schreibst Du nicht hin, wie Deine Variablen definiert sind. Was sind Konstanten, was sind Vektoren, was sind Matritzen? Es ist auch nicht klar, ob es sich um eine allgemeine mathematische Aufgabe oder eine spezielle Rechnung fűr ein gegebenes System handelt.

Viele Grüße
holsteiner



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b-eng
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-09


Ich habs geupdatet ich hoffe die Aufgabestellung wird nun klarer.

Sollte noch etwas unklar sein bitte einfach sagen.



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holsteiner
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-06-09


Moin,
ok. Ich brauch noch ein bisschen Zeit es durchzurechnen, ich melde mich.

Viele Grüße

holsteiner



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holsteiner
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-06-10


Moin,
Hallo b-eng, ich bin zwar kein Experte in Elastodynamik, trotzdem - die von Dir dargelegte Ausführung bzw. die Ableitung der Dämpfungsmatrix sind physikalisch gesehen nachvollziehbar, auch die Ableitung der Amplituden <math>q_i</math>.

Dein Beispiel habe ich jetzt noch nicht mit den konkreten Zahlen durchgerechnet, ich hab zuerst eine weitere Frage:
Du sagst, Dein Ergebnis stimmt nicht mit dem Buch überein. Kannst Du evtl. noch mal angeben, was das Ergebnis des Buches ist? Was stimmt nicht womit überein, mit welcher Formel stimmt das hier präsentierte Ergebnis für die <math>|q_i|</math> nicht überein?

Ich habe das Buch, in dem Du liest sicher gerade nicht im Schrank...

Viele Grüße

holsteiner



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b-eng
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-11


Hallo Holsteiner,

Danke das du dir die Mühe machst mir da weiterzuhelfen.

Die Rücktransformation vom Modalraum/Hauptkoordinaten in das ursprüngliche Koordinatensystem müsste auch stimmen.

Im Buch wird als Endergebnis die maximalen Amplituden
fed-Code einblenden
als Lösung angegeben. Leider ist kein weiterer Rechenweg präsentiert.

Wenn ich mir die Amplitudenfrequenzgänge plotte und das Maximum bestimme erhalte ich: wmax = 8,6.... . Die Winkel habe ich grade nicht zur Hand aber die war zu weit weg um das als Rundungsfehler oder sowas durchgehen zu lassen.

Das wurde mit Mathematica gerechnet und für numerische Ungenauigkeiten finde ich die Abweichungen zu groß.





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holsteiner
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-06-11


Hallo b-eng,
ich hadere ein wenig mit den Freiheitsgraden. Der erste ist klar, Absenkung der Masse m1. Der dritte ist auch klar, Drehung um m2. Aber was ist mit dem zweiten? Meinst Du mit Schiefstellung die Bewegung zum Beobachter hin und vom Beobachter weg (z-Richtung?).

Das schwierige an Computer-Rechnungen ist, dass man nicht immer weiß was der Computer eigentlich gerechnet hat. Siehe Douglas Adams :-)
Es hilft eine systematische Vorgehensweise.

Ich würde jetzt erst mal das Gleichungsystem für das oben angegebene Problem explizit hinschreiben. Du kannst es ja mal posten.  Wenn wir den Ansatz haben, können wir weitersehen, ob der Ansatz falsch ist oder ob es Rechenfehler gibt. So wie ich das sehe ist das System gar nicht so umfänglich, dass man es nicht auch ohne Computer hinschreiben könnte.

Viele Grüße

holsteiner



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b-eng
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-12


Ok das mache ich!

Ich hoffe du kannst das gut genug lesen..






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holsteiner
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-06-13


Moin b-eng,
wo hast Du die Feder <math>c_f</math> hingepackt?

Viele Grüße

holsteiner



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b-eng
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-13


Hallo holsteiner,

das habe ich jetzt nicht mehr explizit hingeschrieben aber die ist in der Steifigkeitsmatrix fed-Code einblenden enthalten.

fed-Code einblenden




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holsteiner
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2018-06-14


Moin,
ok. Rechnungen, in denen gleich die Zahlen eingesetzt werden sind in der Regel unübersichtlich und schwer nachzuvollziehen. Es ist besser, erst mit Formelzeichen zu rechnen und zum Schluss Zahlen einzusetzen. Dann werden die Schritte übersichtlicher.

Aber meine Frage von oben ist noch nicht beantwortet. Mir ist nicht plausibel, wie Du zum zweiten Freiheitsgrad kommst. Ich hab mal ein wenig im Netz gesucht und das hier von Prof. Wandinger Uni München gefunden:

hier

Das wesentliche steht in Kapitel 3.

Der erste Freiheitsgrad ist klar (Absenkung Masse1)
Der dritte Freiheitsgrad ist klar (Verdrillung Masse2)

Aber der zweite Freiheitsgrad nicht. Müßte die Biegung, die Du eingezeichnet hast (mittlere Figur) nicht auch zu einer Drehung der Masse 2 führen?
wenn nicht, wäre hier ein anderes Biegeprofil angebracht?  Wie kommst Du zu den Freiheitsgraden? Sind die vorgegeben?

Viele Grüße

holsteiner



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b-eng
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-15


Hallo Holsteiner,

sorry für die späte Rückmeldung bin zur Zeit beruflich ziemlich eingespannt, da habe ich es gestern nicht mehr geschafft.

Die Freiheitsgrade kommen aus dem Prinzip der virtuellen Verformungen (auch Teil des Buches),
da schaut man sich die theoretisch möglichen Freiheitsgrade an und ermittelt anhand von Einheitsverformungen in Kombination mit "virtuellen Verformungen" die Steifigkeitsmatrix für Balkenwerke.(Daher die Figuren)

Die Masse senkt sich ab bei Anregung durch Kraft F und ändert dabei auch ihren Winkel gegenüber dem Ausgangzustand. Das Massenträgheitsmoment führt dann theoretisch zu einem Biegemoment um die "Sichtachse", da es ja versucht um den Punkt zu rotieren.

Ok ich werden versuchen wenn möglich mehr in Formeln zu schreiben und dann erst die Endergebnisse zu präsentieren.






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holsteiner
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2018-06-15


Moin,
trotzdem verstehe ich nicht, warum Masse 2 sich nicht mitdreht, wenn man das Tragwerk so verbiegt wie fűr Freiheitsgrad 2 gezeichnet wurde. (Mittlere Zeichnung).

Viele Grűße

holsteiner



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b-eng
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-16


Hallo Holsteiner,
sry ich habe deine Frage nicht richtig verstanden gehabt.

Die Figuren sind die Verformungen die entstehen wenn man immer nur einen Freiheitsgrad bewegt und alle anderen festhält. Darum verdreht sich die Masse 2 in Figur 2 nicht mit. Das ist die Vorgehensweise bei dem Prinzip der virtuellen Verformungen (wird auch im Buch vorgestellt).  Diese einzelnen Verformungen werden dann überlagert und daraus entsteht die Steifigkeitsmatrix. Diese Einheitsverformungen (also Verformung die entsteht wenn man einen Freiheitsgrad bewegt und alle anderen festhält) sind als Tabelle im Buch gegeben.

Also im Prinzip werden die einzelnen Verformungen als Spalten und Zeilenvektor dargestellt und dann das dyadische Produkt gebildet um die Steifigkeitsmatrix zu erhalten. Ich habe unten nochmal die Matrix mit den Vektoren dargestellt.






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holsteiner
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2018-06-16


Hallo b-eng,
der linke Balken hat beim ersten Freiheitsgrad links ein freies Ende und rechts ein festes Ende (Kragbalken). Das ist ok.
Fűr den dritten Freiheitsgrad hat der Balken links ein festes und rechts ein bewegliches Ende.  Fűr mich ok wäre, wenn Du links und rechts beweglichen Enden gewählt hättest. Warum nimmst Du das linke Ende hier fest an?
Im 2. Freiheitsgrad hast Du zwei bewegliche Enden eingezeichnet. Zu einer festen Masse 2 rechts gehört aber ein festes Ende, daher muss auch der Balken mit einem festen, also eingespannten Ende und einem beweglichen Ende gezeichnet werden. Sonst sind die Freiheitsgrade nicht unabhängig. Wie ist es hier mit J1? Geht das in Deine Rechnung ein?
Ich halte es fűr sehr unwahrscheinlich, das im 3. Freiheitsgrad Masse 1 nicht mitschwingt. Ebenso darf der Balken im 2. Freiheitsgrad an der Masse 2 nicht abknicken.

Prűfe  daraufhin noch mal Freiheitsgrad und Deine Rechnung. Ich hab jetzt nicht nachvollzogen, ob nur die Zeichnung ungenau ist.

Viele Grüße

holsteiner



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holsteiner
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2018-06-16


Moin,
hier noch ein Zusatz. Ich habe den ganzen Beitrag 14 nochmal umgearbeitet, um dann zu sehen, dass Du den linken Balken in Beitrag 7 Freiheitsgrad 3 anders gezeichnet hast als in Beitrag 13. Bitte Űberprűfe noch mal genau die Enden Deiner Balken incl. Drehung der Massen.

Die Massen M1 M2 können sich gegeneinander, miteinander drehen, oder jeweils eine Masse dreht sich und die andere bleibt fest. Dementsprechend habe ich aber auch bewegliche oder feste, jedoch keine freien Enden.


Viele Grüße

holsteiner



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-18


Hallo Holsteiner,

sorry für die schlechten Skizzen.

Du hast natürlich Recht die Skizze für Freiheitsgrad ist insofern falsch das der linke Balken abknickt, er müsste tangential auslaufen.

Die Skizze habe ich so gehalten das Sie dem Ursprungsmodell entspricht und habe versucht die Verformungslinien zu zeichnen.

Freiheitsgrad 1 Absenkung w --> phi1 & phi2 fest. Freiheitsgrad 2 phi1 --> Absenkung w und phi2 fest, Freiheitsgrad 3 phi 2 --> Absenkung w und phi 1 fest.

Das Massenträgheitsmoment J1 taucht in der Massenmatrix auf.

Ich update die Verformungslinien.







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holsteiner
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Hallo b-eng,
prima, nun sind wir beim eigentlichen Thema angelangt. Auf Basis dieser Skitzen läßt sich gut argumentieren.

Ich eine Frage zu Beitrag 16 dritte Skitze. Du hast zwei verschiedene Kombinationen von M1 / M2 Drehungen als Freiheitsgrade angegeben:
M1 fest M2 beweglich und
M1 beweglich, M2 fest.

Meiner Meinung nach kann das nicht richtig sein.

Im Prinzip gibt es ja 4 Möglichkeiten,

M1 fest M2 dreht,
M1 dreht M2 fest,

M1 und M2 drehen sich gegeneinander
M1 und M2 drehen sich miteinander.

Die oberen beiden hast Du gewählt.
Im Prinzip weiß man aber, das _jede_ dieser Kombinationen eine eigene Schwingungsfrequenz hat.  Meiner Ansicht nach sind daher alle 4 Kombinationen von einander unabhängig und können eigene Freiheitsgrade
bilden, natürlich je nach Randbedingungen.

Ich bin sicher, dass, weil das linke Ende beweglich ist, die Schwingung gegeneinander viel relevanter ist und eine niedrigere Eigenfrequenz hat, als die Schwingung mit einem festen Ende auf der linken Seite.

Ich würde daher in der rechten Zeichnung einen Freiheitsgrad mit den gegeneinander Schwingenden Massen nehmen wollen, also in der rechten Zeichnung Beitrag 16 kein festes, sondern ein bewegliches linkes Ende verwenden.

Hintergrund: ich bin nicht sicher ob man aus Deinen beiden Freiheitsgraden den von mir vorgeschlagenen Freiheitsgrad mit den gegeneinander schwingenden Massen ableiten kann. (m.E. geht das nicht weil linear unabhängig).

Meine Sicht ist eine aus der Schwingungslehre und der Wellenmechanik abgeleitete Sicht. Was die Elastomechanik betrifft, habe ich leider die passenden Nachschlagewerke nicht zur Hand, in denen die Regeln zur Auswahl von Freiheitsgraden stehen.

Jedenfalls scheint in der rechten Zeichung der Freiheitsgrad mit einer festen Masse M1 irgendwie merkwürdig zu sein, so schwingt das Teil doch nicht?



Viele Grüße

holsteiner

 





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b-eng
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Hallo holsteiner,

die Freiheitsgrade dienen (in den Skizzen) nur zu Bestimmung der Steifigkeiten des Gebildes .



Richtig so schwingen die Knoten (wahrscheinlich) nicht.

 Aber diese Skizzen sollen auch nicht die Eigenformen darstellen, sondern sind Hilfswerkzeuge für das Prinzip der virtuellen Verformungen bzw. in diesem Fall der Deformationsmethode.


Ich habe die Tabelle nochmal geupdatet da hat irgendwie die Hälfte gefehlt.

Mit Hilfe der Skizze und der Tabelle unten werden die einzelnen Freiheitsgrade überlagert um die jeweilige Steifigkeit zu ermitteln.

Die Skizzen und die Matrix vereinfacht den DGL-System Erstellungsprozess nur.

Ob sich als Eigenformen dann später Schwingungen ergeben wobei sich m1 und m2 gegeneinander schwingen, weiß ich jetzt noch nicht möglich wäre es aber.








 




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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
holsteiner
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Moin,
ja, ich hab verstanden dass die Eigenformen űber die Deformationen verkoppelt sind. Meiner Meinung nach ist die von Dir benötigte Verformung nicht in der Tabelle enthalten. Es gibt jetzt zwei Möglichkeiten, warum Buch und Deine Rechnung voneinander abweichen:
1. Du hast Dich verrechnet, die Wahrscheinlichkeit scheint mir gering.
2. Die Verfasser haben mit anderen als in der Tabelle angegebenen Deformationszuständen gerechnet.

Wenn man die Lagrangegleichungen zu dem Problem aufstellt, dann wären die virtuellen Verrűckungen genau die Drehungen der Massen und die Absenkungen von M1. Die Potentiale wären dann die Summe der potentiellen Energien der Deformationen in Abhängigkeit der Verrűckungen. Meiner Meinung sind die von Dir benötigten Verformungen nicht in der Tabelle. Es kann aber eben auch sein, dass im Buch mit Näherungen gearbeitet wird.

Ich will mal suchen ob ich was dazu finde.

Nachtrag:
Möglicherweise passen doch die erste, die zweite und die vierte Verformung in der Tabelle zu Deinem Problem. Anders als in Deinem Ansatz müsste aber die erste Verformung auch eine Verdrehung von <math>\delta \varphi2</math> zur Folge haben (Ist in der Tabelle nicht angegeben). In diesem Fall wäre das rechte Ende der zweiten Verformung in der Tabelle identisch mit dem linken Ende Deines Problems. Wichtig wäre, dass die Verformung beide Massen dreht, weil Du ein bewegliches Ende hast.

Viele Grüße

holsteiner



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