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Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Stetigkeit » f gleichmäßig stetig auf jedem [x_j,x_ j+1]. Z.z. f gleichmäßig stetig auf [x_0,x_n]
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Autor
Universität/Hochschule J f gleichmäßig stetig auf jedem [x_j,x_ j+1]. Z.z. f gleichmäßig stetig auf [x_0,x_n]
Physics
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 29.04.2018
Mitteilungen: 101
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-06-11

\(\begingroup\)
Hallo Experten,

geht um Folgendes:


\(\textbf{Aufgabe}\)
Sei  \(x_0 < x_1 < ... < x_n\) und \(f\) gleichmäßig stetig auf jedem \(\lbrack x_j,x_{j+1} \rbrack,\;j=0...n-1\). Beweisen Sie, dass \(f\) auf \([x_0,x_n]\) gleichmäßig stetig ist.

\(\textbf{Ansatz}\)
\([x_j,x_{j+1}] \subsetneq [x_0,x_n]\;\forall j=0...n-1\). Damit folgt: \([x_0,x_n] =  \bigcup\limits_{j=0}^{n-1}[x_j,x_{j+1}]\). Damit ist f in jedem \(x_j \in [x_0,x_n],\;j=0,...,n\) gleichmäßig stetig, weshalb f auch auf  \([x_0,x_n]\) gleichmäßig stetig ist.

\(\textbf{Fragen}\)
Ist dies so korrekt, oder habe ich es mir hier zu einfach gemacht?

VG,
Physics
\(\endgroup\)


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StrgAltEntf
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 4280
Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-06-11

\(\begingroup\)
Hallo Physics,

nein, das reicht nicht aus. Es kommt mir so vor, dass du gezeigt hast, dass \([x_0,x_n]=\bigcup[x_j,x_{j+1}]\) und meinst, damit mit dem Beweis fertig zu sein.

Dass \([x_0,x_n]=\bigcup[x_j,x_{j+1}]\) gilt, ist aber eigentlich klar und muss gar nicht bewiesen werden.

Wenn in der Aufgabe "stetig" statt "gleichmäßig stetig" gestanden hätte, wäre die Aufgabe tatsächlich trivial. Denn Stetigkeit ist eine lokale Eigenschaft.

Gleichmäßige Stetigkeit ist aber eine globale Eigenschaft. Du musst zeigen, dass aus der gleichmäßigen Stetigkeit auf den kleinen Intervallen bereits die gleichmäßige Stetigkeit auf dem gesamten Intervall folgt.
\(\endgroup\)


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Wauzi
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 03.06.2004
Mitteilungen: 11210
Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-06-12


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-----------------
Primzahlen sind auch nur Zahlen



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Physics
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 29.04.2018
Mitteilungen: 101
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-12

\(\begingroup\)
Hallo StrAltEntf,

danke für dein Feedback. Dann versuche ich es mal so:

Gleichmäßige Stetigkeit ist gegeben, wenn gilt:
\(\forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 \forall x,x_0 \in D: \vert x-x_0 \vert < \delta => \vert f(x)-f(x_0) \vert < \epsilon \)

Nach Voraussetzung gilt:  \(\forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 \forall x,x_0 \in [x_j,x_{j+1}]: \vert x-x_0 \vert < \delta => \vert f(x)-f(x_0)
\vert < \epsilon \)

Annahme, dass f über \([x_0,x_n]\) nicht gleichmäßig stetig ist. Dann gilt: \(\exists \epsilon > 0 \forall \delta > 0 \exists x,x_0 \in [x_0,x_n]: \vert x-x_0 \vert < \delta => \vert f(x)-f(x_0)
\vert \geq \epsilon \)

Da \([x_0,x_n] = \bigcup\limits_{j=0}^{n-1} [x_j,x_{j+1}]\) existiert also ein Zahlenpaar \(x,x_0\) in einem bestimmten Intervall \([x_j,x_{j+1}]\). Über diesem Intervall ist f dann nicht gleichmäßig stetig. Dies widerspricht aber gerade der Voraussetzung. \(f\) muss also auf \([x_0,x_n]\) gleichmäßig stetig sein.




[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Nuramon
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 663
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-06-12

\(\begingroup\)
Vielleicht wollte Physics verwenden, dass eine stetige Funktion auf einem kompakten Intervall immer gleichmäßig stetig ist.

(Die Aussage

Damit ist f in jedem \(x_j \in [x_0,x_n],\;j=0,...,n\) gleichmäßig stetig
wird dadurch aber auch nicht weniger unsinnig.)

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Physics
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 29.04.2018
Mitteilungen: 101
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-13

\(\begingroup\)
Hallo Wauzi,

nur damit ich das richtig verstanden habe: Du willst also ein \(\delta\) konstruieren, das in dem Intervall \([x_0,x_n]\)  die Implikation erfüllt: \(\vert x-x_0 \vert < \delta => \vert f(x)-f(x_0) \vert < \epsilon \;,\; \forall x,x_0\)
Eventuell könnte ich hier einfach Delta so wählen, dass es gerade immer den Wert annimmt, in dessen Intervall es sich befindet, denn in diesem Intervall existiert ja mindestens ein solches Delta. Sprich:\(\delta:=\delta_j\).
Nun sagst du, dass es ausreicht nur die Randpunkte zweier sich überschneidender Intervalle zu betrachten, sprich \(x_1,x_2,x_3,x_4...x_{n-1}\). Ich würde sagen, dass dies ausreicht, weil in allen anderen Stellen \(x_0\) nach Definition gleichmäßige Stetigkeit vorliegt. Sprich wenn das gewählte \(\delta\) in einem der Intervalle \([x_j,x_{j-1}]\) liegt, entspricht es ja gerade dem \(\delta\), für welches die Funktion über diesem Intervall gleichmäßig stetig ist.
Ich weiß, dass gilt:
\(\vert f(x_1)-f(x_0) \vert < \epsilon/2\) und \(\vert f(x_2)-f(x_0) \vert < \epsilon/2 \)
\(\epsilon > \vert f(x_1)-f(x_0) \vert + \vert f(x_2)-f(x_0) \vert \geq \vert f(x_1)-f(x_0)+f(x_2)+f(x_0) \vert \geq \vert f(x_1)-f(x_2) \vert \)

Demnach ist dann auch gleichmäßige Stetigkeit an den Randpunkten gegeben.

Bin mir nicht sicher, ob das so in deinem Sinne war. Gerne würde ich dein Feedback hören!

VG,
Physics

\(\endgroup\)


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Physics
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 29.04.2018
Mitteilungen: 101
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-14


Hallo,

könnte vielleicht noch Jemand drüberschauen?  Ich vermute, dass ich da rechten Schwachsinn hingeschrieben habe.

VG und danke,
Physics



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Triceratops
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Dabei seit: 28.04.2016
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Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-06-14


2018-06-11 22:05 - StrgAltEntf in Beitrag No. 1 schreibt:
Wenn in der Aufgabe "stetig" statt "gleichmäßig stetig" gestanden hätte, wäre die Aufgabe tatsächlich trivial. Denn Stetigkeit ist eine lokale Eigenschaft.

Das "lokal" bezieht sich auf offene Überdeckungen. Hier geht es aber um abgeschlossene Intervalle. Bei den Randpunkten muss dann aufgepasst werden.



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Wauzi
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Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-06-14


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Physics
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-22


Hallo Wauzi,

entschuldige die späte Antwort, aber bin momentan gut eingebunden zeitlich. Wollte mich nur nochmal für deine Hilfe bedanken, hast mir damit sehr geholfen.

Schönes Wochenende dir,
Physics



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