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Physik » Atom-, Kern-, Quantenphysik » Energiebasis in der Quantenmechanik
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Universität/Hochschule Energiebasis in der Quantenmechanik
Skalhoef
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-06-13


Hallo,

die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung für den eindimensionalen harmonischen Oszillator lautet

$\displaystyle E_n \psi_n (x) = (- \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{m}{2} \omega^2 x^2 ) \psi_n (x)$.

Diese Eigenwertgleichung lässt sich analytisch lösen und man findet dann, dass die Eigenvektoren (mit geeigneter Normierung) eine ON-Basis von $L^2(\mathbb{R}^3)$ bilden.



Wie sieht es bei anderen Hamilton-Operatoren aus?

Etwa der Hamilton-Operator mit Pöschl-Teller-Potential:

$\displaystyle \hat{H} = (- \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} - \frac{V_0}{\cosh (\alpha x)^2}) $.

Hier kann man ähnlich wie beim harmonischen Oszillator einen Potenzreihenansatz machen der einem dann Eigenfunktionen und Eigenenergien liefert. Sind diese Eigenfunktionen dann auch eine Basis von $L^2(\mathbb{R}^3)$ oder betrachtet man dann einen anderen (Hilbert-)Raum? (=: Frage 1)

Oder der Hamilton-Operator eines geladenen Teilchens in einem EM-Feld:

$\displaystyle \hat{H} = \frac{1}{2m} ( \hat{\bf p} - q {\bf A})^2 + q \phi$.

Gibt es hierzu auch eine diskrete Eigenbasis mit Eigenenergien? (=: Frage 2)
Und noch als zusätzliche Frage: In wie fern kann man hier überhaupt von (Eigen-)Energien sprechen? (=: Frage 3)
Ich "erkenne" in obigem Ausdruck nicht wirklich die Gestalt "kinetische plus potentielle Energie".
Und wenn man sich die Herleitung des klassischen Ausdrucks anguckt (siehe z.B. hier), wird die obige Gestalt ja nur dadurch gerechtfertigt, dass man aus den (klassischen) Bewegungsgleichungen die Newton'schen Bewegungsgleichungen erhält.



Viele Grüße
Sebastian




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