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Mathematik » Zahlentheorie » Abschätzung n-te Primzahl
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Universität/Hochschule Abschätzung n-te Primzahl
kaeptainbalu
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 20.03.2013
Mitteilungen: 190
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-06-14

\(\begingroup\)
Hallo ich schreibe gerade eine Ausarbeitung und wollte fragen ob die folgende Bemerkung und der Induktionsbeweis richtig sind. Vor diesen steht der euklidische Beweis der Unendlichkeit der Primzahlen.

Der Beweis liefert ein Verfahren um Primzahlen zu finden. Man bildet wie eben im Beweis gesehen das Produkt über alle schon bekannten Primzahlen und addiert Eins. Das Ergebnis ist nach Euklid "entweder eine Primzahl oder nicht."

In beiden Fällen hat das letzte Ergebnis aber einen Primteiler, der keine der schon bekannten Primzahlen sein kann. Man erhält also, falls $\mathbb{P}=\{p_1,p_2\dots,p_n\}$ die schon bekannten Primzahlen sind, für die nächst größere Primzahl die Abschätzung: $p_n\leq p_1\cdots p_{n-1}+1$. Aus dieser Überlegung erhält man die folgende Abschätzung:



Für die n-te Primzahl $p_n$ gilt: $$p_n\leq 2^{2^{n-1}}$$.

Es gilt $p_1=2\leq2^{2^{1-1}}=2. $ Nehmen wir nun an, die Aussage gelte für alle natürlichen Zahlen kleiner einem beliebigen aber festen $n\in \mathbb{N}$. Dann gilt: $$p_n \leq p_1\cdots p_{n-1}+1\leq 2^{2^{0}}+2^{2^{1}}+\dots+2^{2^{n-2}}+1=2^{2^{0}+2^{1}\dots+2^{n-2}}+1=2^{\frac{2^{n-1}-1}{2-1}}+1=2^{2^{n-1}-1}+1<2^{2^{n-1}},$$ wobei wir bei der ersten Abschätzung die obige Bemerkung, bei der zweiten die Induktionsvoraussetzung und bei der darauf folgenden Gleichheit die geometrische Summenformel benutzt haben.

Mich verwirrt das die letzte Abschätzung ein echt kleiner ist.

Gruß kaeptain

Ich habe ein paarmal +1 vergessen. Denke aber jetzt dass die Abschätzung ein  kleinergleich ist. Ich überlege noch warum.

Edit: Mir fällt gerade auf, dass das äquivalent ist zu $2^{2^{n-1}-1}\geq  1$, was ja Äquivalent dazu ist, dass 2-er Potenzen größer Eins sind.  Muss ich das  auch durch Induktion beweisen? Ich denke schon, da im Seminar die natürlichen Zahlen über die Peano-Axiome eingeführt wurden. Der Beweis ist aber langweilig und ich werde ihn wohl auslassen. Ich wäre trotzdem über Kommentare sehr dankbar.
\(\endgroup\)


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Kitaktus
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 5489
Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-06-14

\(\begingroup\)
Ja, der letzte Schritt beruht darauf, dass für $n\geq 2$ auch $2^{2^{n-1}-1}>1$ gilt.

Du hast übrigens zwischendurch $+$ statt $\cdot$ geschrieben, den Fehler dann aber wieder eliminiert. Ist also vermutlich ein Tipp- (und Kopier-)Fehler.
\(\endgroup\)


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