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Mathematik » Analysis » Differenzierbarkeit
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Autor
Universität/Hochschule J Differenzierbarkeit
Chodebacca
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.06.2018
Mitteilungen: 16
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-06-14 13:35

\(\begingroup\)
Hallo,

ich soll folgende Funktion auf Differenzierbarkeit überprüfen:

\(
f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) =
\begin{cases}
  x^2 & , x < 0 \\
  \frac{x}{1+x} & , 0 \leq x < 1 \\
  \frac{1}{4}x+\frac{1}{4} & , x \geq 1
\end{cases}
\)

Bisher problemlos war folgendes.
-------------------------------------------------------------------------

Als Komposition stetiger Teilfunktionen ist $f$ stetig auf $\mathbb{R}\setminus\{0,1\}$.

Zu untersuchen sind also nun $x_0 = 0$ und $x_0 = 1$.

$x_0 = 0$:
\(
\lim\limits_{x\nearrow 0}{\frac{f(x)-f(x_o)}{x-x_0}} = \lim\limits_{x\nearrow 0}{\frac{x^2-0}{x-0}} = 0 \\
\lim\limits_{x\searrow 0}{\frac{f(x)-f(x_o)}{x-x_0}} = \lim\limits_{x\searrow 0}{\frac{\frac{x}{1+x}-0}{x-0}} = \lim\limits_{x\searrow 0}{\frac{x}{x(1+x)}} = 1
\)

Also ist f nicht in 0 differenzierbar.

-------------------------------------------------------------------------

Nun habe ich aber ein Problem mit den Grenzwerten der letzten beiden Teilfunktionen (laut Wolfram Alpha differenzierbar in $x_0 = 1$).

$x_0 = 1$:

\(
\lim\limits_{x\nearrow 1}{\frac{\frac{x}{1+x}-\frac{1}{1+1}}{x-1}} = \lim\limits_{x\nearrow 1}{\frac{\frac{x}{1+x}-\frac{1}{2}}{x-1}} = ?\\
\lim\limits_{x\searrow 1}{\frac{\frac{1}{4}x+\frac{1}{4}-\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)}{x-1}} = \lim\limits_{x\searrow 1}{\frac{\frac{1}{4}x-\frac{1}{4}}{x-1}} = \lim\limits_{x\searrow 1}{\frac{1}{4}\frac{x-1}{x-1}} = \frac{1}{4}
\)

Irgendwie fällt mir nicht ein, wie ich den linksseitigen Grenzwert vereinfachen könnte. Ich darf auch kein L'Hôspital verwenden. Was übersehe ich?


Gruß, Chodebacca
\(\endgroup\)


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Caddarina
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 21.11.2015
Mitteilungen: 10
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-06-14 13:42


Versuch mal den Zähler zusammenzufassen indem du beide Terme auf den Hauptnenner bringst smile

LG



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Chodebacca
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.06.2018
Mitteilungen: 16
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-14 17:52


Danke, das wars :)



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